1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Теория удара материальной точки 1. Основные понятия н определения. Теорема об изменении количества движения материальной точки имеет в дифференциальной форме вид с( (тп) = Р г(1. (1) Проинтегрируем обе части уравнения (1) в интервале от 1=0 до а=т, предполагая, что сила Р может быть представлена как функция времени; получим лгпо= ) Рог. (2) о Левая часть равенства (2) представляет собой приращение количества движения, а правая — импульс силы Р аа промежуток времени т.
Во всех предыдуших главах мы имели дело только с такими случаями, когда количество движения получало конечное приращение лишь за конечный промежуток времени; иными словами, количество движения всегда представлялось непрерывной функцией от времени. Сущность явления удара заключается в том, что при уларе происходит конечное изменение скорости и, а следовательно, и количества движения гнп за весьма малый промежуток времени, практически измеряемый тысячными и меньшими долями секунды, Обозначая среднее значение ударной силы Р в интервале очень малого промежутка времени т через Р'. получим из равенства (2) (по теореме о среднем значении) лгпо=Р т.
(3) Равенство (3) показывает, что прн малом т приращение количества движения будет иметь конечную величину, только в том случае, 11 если Р' очень велико (порядка — ), что действительно и наблюдается т)' ТЕОРИЯ УДАРА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ 287 во время удара. Измерять ударные силы непосредственно неудобно, ибо они достигают очень больших величин и к тому же во время удара не остаются постоянными. Поскольку приращение количества движения остается величиной конечной, постольку, как зто следует из равенств (2) и (3), гораздо удобнее при всех измерениях и расчетах оперировать не с ударными силамн, а с их нмпульсамн. Будем в дальнейшем ударный импульс обозначать через 8.
так что (4) Следовательно, .равенство (2) перепишется з виде В излагаемой ниже общей теории удара время удара т считается величиной бесконечно малой. Силы гт, которые, действуя в течение бесконечно малого промежутка времени т„ сообщают точке конечное изменение скорости, будем называть ударными силами. В дальнейшем будем отличать ударные силы от конечных сил, действием которых ва время удара т можно пренебрегать. В самом деле, из равенства (3) видно, что прн конечной величине Р" правая часть будет бесконечно малой величиной порядка т, а следовательно, и левая часть, т.
е. приращение количества движения, вызываемое конечными силами Р, будет также бесконечно мало. 2. Перемещения точки ва время удара. Докажем, что перемещение точки за время удара будет бесконечно мало. Заметив, что дг в= —, лт ' где г есть, радиус-вектор„определяющий положение рассматриваемой точки относительно некоторой системы отсчета, умножим обе части равенства (5) на А!г' и проинтегрируем в интервале от нуля до т; получим т У=ге+нет+ ж 1 Яг(1, ! Г О откуда 1 Лг= и — га — — пят+ — 3'т, ~П Здесь Я* есть среднее значение ударного импульса за время т. Учитывая, что ез и 3' суть величины конечные. а т бесконечно мало, приходим к выводу, что за время удара перемещение Гзг точки также бесконечно мало.
20* 288 тиогия тдлвл [гл. щг 3. Основное уравнение теории удара (теорема об изменении количества движения точки при ударе). Обозначим приращение количества движения то — тпс, которое может быть названо «приобретенным количеством движения», через Лтсй тогда из равенства (6) найдем (6) Этот результат можно сформулировать так: количество движения, приобретенное точкой за время удара, равно ударному импульсу. Так как в теории улара мы отказались от рассмотрения ускорений, которые весьма велики, и поскольку мы можем пренебрегать перемещениями при уларе (см.
п. 3), постольку уравнение (6), аналогичное уравнению Ньютона тсо = Г, является основным уравнением теории удара, с помощью которого можно сразу определить искомое изменение скорости точки по заданному ударному импульсу, или наоборот. Заметим, что это уравнение является конечным. а не дифференциальным уравнением; поэтому задачи теории удара точки и системы материальных точек в механике сводятся обычно к решению системы конечных уравнений. 4.
Теорема об изменении момента количества движения точки при ударе. Умножив обе части равенства (6) векторно слева на рзлнус-вектор г, получим г Х Л (то) = г Х Я или Л (г Х то) = г' Х Я, (7) потому что г Х Л (то) = Л (г Х то) — (Лг Х то) = Л (г Х то), ибо с точностью ло членов первой степени малости Лг= О (см. п. 2), Слеловательно, приращение за время удара момента количества движения точки относительно некоторого центра равно моменту ударного импульса относительно того же центра. б. Принцип Даламбера.
Перенося в уравнении (5) все члены в одну сторону, получим б+(то.— тю) = О, (8) или Я+( — Лто) =О. (8') Выражение в круглых снобнзх в лвух последних формулах представляет собой «потерянное количество движения», которое можно такьке назвать «ударным импульсом силы инерции». Если, кроме того, на точку наложены связи, то необходимо учесть еще ударные импульсы реакций. Таким образом, получим 3'-+Як+( — Лто) = О, (9) где 3«и ян — соответственно ударные импульсы активных ударных сил и ударных реакций связей. Таким образом, за время удара 8 881 ТЕОРИЯ УДАРА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ активные и пассивные ударные импульсы, действующие на точку, могут быть уравновешены уларным импульсом силы инерции — бтп. Это есть формулировка принципа Дзламбера в теории удара точки. 6.
Упругий и иеупругий удары точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления. Рассмотрим случай, когда точка массы лг, движущаяся со скоростью и, встречает на своем пути неподвижную поверхность (рис. 92). Благодаря мгновенному наложению связи, что создает удзрный импульс реакции, точка испытывает удар и мгновенно изменяет свою скорость. Обозначим скорость точки в конце удара через о'. На основании уравне- -т ния (6) получим (10) Разложим скорости и и о по направпениям нормали н касательной к но- рис. 92.
верхности в точке удара А (берем ту касательную к поверхности, которая лежит в одной плоскости с вектором и и нормалью). Тогда о = о„+и,, о' = л'+ и'. Будем предполагать связь идеальной, следовательно, ударный импульс реакции булет направлен по нормали, и поэтому составляющая скорости по направлению касательной к поверхности не изменится аа время улара, так что о =о. (11> В самом деле, проектируя обе части равенства (10) на направление касательной т, получим то' — иго =О, т с откуда следует справедливость равенства (11), Рассмотрим трн возможных случая удара: 1) и,', = О. Этот случай называют абсолютно неупругим ударом точки о связь, и саму связь называют абсолютно неупругой.
Здес происходит полная потеря нормальной составляющей скорости. 2) о„' = — Ол. Этот случай называют абсолютно упругим ударом точки о связь и саму связь — абсолютно упругой, Здесь нормальная составляющая скорости не изменяется по численной величине, а только меняет свое направление на противоположное. 2ЬО ТЕОРИЯ УДАРА 1гл. ш! т, е. коэффициент восстановления есть отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. При абсолютно неупругом ударе получим р= —, прн абсолютно упругом ударе !па=!йр, а=р и 2' при несовершенно упругом ударе !д и < !2 р, а < р.
7. Опытное определение коэффициента восстановления. Упругий шарик, падающий свободно на упругую горизонтальную неподвижную плоскость с высоты л, ударившись о плоскость, подскочит затем над ней нз некоторую высоту л'. Имея эти данные (Ь и л'), легко найти значение и, соответствующее материалу ударяющихся тел. Согласно формулам Галилея имеем (оставляя для скоростей обозначения предыдущего пункта) и= у'2д'й, О'= р'2дй'; тогда е' / л' и= — = в ° — р' л (14) В идеальном случае абсолютно упругих тел получим й'= л, а для абсолютно неупругого тела Ь'=О; для несовершенно упругих тел 3) и„'= — (гп,, где О < й < 1. Этот случай называют несовершенно упругим ударом и сэму связь — несовершенно упругой. Здесь имеет место изменение (частнчная потеря) нормальной составляющей скорости по численной величине.
Все эти три случая можно объединить одним равенством и'= — И. л л' где для 1-го случая л = О, для 2-го случая и = 1 н для 3-го О < и < 1, так что вообще и„'= — лп„(О <л <1). (12) Величина л, равная отношению модулей нормальных составлявших скорости точки в конце и в начале удара, носит название коэффициента восстановления (коэффицненга удара) и характеризует природу (упругость, пластичность) ударяющих тел. Знание этого коэффициента, введенного Ньютоном, необходимо для исследования явлений удара.
Обозначая через а и р углы, образованные нормалью с и и и', т. е. углы падения и отражения (см. рис. 92), получим !да.= — ', !я р= —,. мт Рт Ул Рл Отсюда, согласно равенству (12), найдем !Еа (13) 1и !! Рл ТЕОРИЯ УДАРА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 291 тел 0 с, л' ( й. Например, средние значения коэффициента Ф прн 5 о 3 м/сея таковы: для стали н пробки й = —, лля слоновой 9 ' 8 15 1 кости Ф= —, для стекла й= —, для дерева й= —.
Значение 9' 16 ' 2 ' скорости О, прн которой происходил удар, необходимо указать, ибо вообще величина коэффициента й также зависит от О. 8. Изменение кинетической энергии точки при ударе (теорем» Карно). Докажем теорему Карно, позволяющую определить изменение кинетической энергии в тех случаях, когда точка испытывает удар благодаря тому, что нз нее мгновенно накладывается или с нее мгновенно снимается абсолютно неулругая идеальная связь. Это значит, что связь, наложенная во время удара, будет продолжать существовать и после удара, а связь, снятая во время удара, будет отсутствовать и после удара. Так, например, в задаче, рассмотренной в п.
б, мы имели, что при абсолютно неупругой связи нормальная составляющая скорости точки после удара была равна нулю, т. е. точка после удара продолжала свое движение согласно со связью. Иными словами, доказываемая теорема относится к случаю абсолютно неупругого удара. Указанные два случая отличаются один от другого, но для обоих случаев будет справедлива формула (10): тп — тп=б . я (10) 1-й случай': мгновенное наложение связей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
