1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. уравнения движения в форме Лагранжа, С точки зрения вариацнонного исчисления уравнения Лагранжа являются уравнениями пучка экстремалей, причем та из них, которая проходит через точки А н В, дает экстремум интеграла ~ ЕсЕЕ нли, Со иными словами, дает зкстремум действия по Гамильтону; эта зкстремаль и будет истинной траекторией движения. 4. Обобсценне принципа Гамильтона на случаи немонсервативной и иеголономной систем. Для динамической системы принцип Гамильтона можно представить равенством са ~ (Ьт+Ьи) дЕ = О.
ибо (Ьдс],'=О, что нам уже встречалось. Имея в виду полученное равенство и подставляя его в уравнение (16), найдем я (16) с=! Равенство (16) также представляет собой математическое выражение принципа Гамильтона. Так как интервал интегрирования здесь произволен и вариации координат Ьдс неаависимы, то равенство нулю интеграла возможно только при условии равенства нулю подынтегрального выражения; следовательно, для действительного движения получим 267 интвгрлльные ПРинпипы $221 Введем в него вместо члена ЬУ. выражающего элементарную работу потенциальных сил, величину л Ь'А = „~~~ фбь7!.
(17) 1=1 т. е. элементарную работу сил непотенциальных, выраженную через обобщенные силы (здесь символ Ь' уже не обозначает вариацию какой-либо функции). Тогда получим ~ (Ьт+Ь'А) !11 = О илн (18) В этой форме принцип имеет место и для системы, находящейся под действием непотенциальных сил. Равенству (18) можно еще придать другой вид, если интеграл от ЬТ преобразовать так же, как зто было сделано в п, 3 с интегралом от ЬЬ, т, е. к виду, аналогичному (16).
Тогда получим выражение принципа Гамильтона для неконсервативной системы в виде (19) Отсюда сразу следует справедливость принципа в форме (18) для неконсервативной системы, так как его выражение (19) дает уравнения двим!ения этой системы. В самом деле, поскольку интервал 1! — (б произволен, а Ьь7! между собой независимы, то из (19) получаются уравнения движения системы в форме Лагранжа д гдТ! дг — — — = (,!! (! =- 1, 2, ..., и). юб! ~дьг! ! дьг! Можно убедиться, что принцип Гамильтона в форме (19) справедлив н для системы с линейными неголономпыми связями, так как из него можно получить и уравнения движения такой системы. Действительно, если на систему наложены г линейных неголономных связей, уравнения которых имеют вид (см. э 8, и.
9) Х Ар!Щ+АРН=О (р=1, 2...., г), ! ! влвилционные пгинципы мвхлники [гл. ш то при этом вариации координат должны удовлетворять соотношениям ~~~ А~,Ьу,=0 (9=1, 2, ..., л). с=1 Умножим каждое нз этих равенств на лагранжев множитель л и просуммируем по р. Полученное выражение, равное нулю, прибавим к сумме, стоящей под знаком интеграла (19). Тогда будем иметь л — — — ( —.) ч-ч,./.» е,А„1ч,м. де~ дс дд, я=1 т.
е. считая верхний предел у интеграла переменным. Дифференцируя теперь функцию о' по времени, получим ЫЯ М (20) Обратимся к уравнению Якоби (см. э 22, формула (7)) -~~-+н~р; ~~; г)=0, Теггерь выбором множителей Х обращаем в нуль р слагаемых в сумме, стоящей под знаком интеграла; тогда остальные слагаемые также должны быть равны нулю, поскольку оставшиеся под знаком интеграла а — г вариаций Ьу; между собой независимы.
В результате получим иввестное нам уравнение движения неголономной системы с множителями Лагранжа [см, Э 8, и. 9, уравнения (84)). Отметим в заключение, что принцип Гамильтона, обобщенный на случай неконсервативной н неголономной систем, уже не является вариационным, так как выражения (18) нли (19) не представляют собой вариацию какого-нибудь интеграла.
Принцип Гамильтона в вариационной форме (10) обладает тем важным преимуществом, что он не связан ни с какой системой координат; в его выражение входят лишь функция ь и время. Поэтому данный принцип при соответствующем обобщении понятий находит широкие приложения в различных областях физики. 5. Действие по Гамильтону н главная функция 5 в уравнении Якоби. Докажем, что действие по Гамильтону совпадает с главной функцией 8 в уравнении Якоби. Для этого рассмотрим о как функцию времени г, полагая 269 интегнлльиые пвинцнпы полный интеграл которого будет 5 — 5(рп 9т, ..., 9„; г; пи пт, ..., и„)+ и„эи Дифференцируя функцию 5, являющуюся полным интегралом уравнения Якоби, получим АЯ д5 'ьт дЯ вЂ” = — + — Ч" Ф дт лмч( дд~ г=1 дЯ что — = рп дрп Но из уравнения Якоби, принимая во внимание, имеем — „— — уу(ь р, у), дЯ дЯ кроме того, согласно определению импульса, — = д(9 дь р, = —.; поз- де; ' тому дЯ дс гтг +,2 ° 9 сЫ ддэ жч дЕ а так как тт"= — Л+ т —.пп то получим г=г д дЯ д( т.
е. то же, что и для производной по времени от действия по Гамильтону. Тзк как производные по времени от действия по Гамильтону и от главной функции Я в уравнении Якоби равны, то эти функции совпадают с точностью до аддитивной постоянной. 19 н. и. нтхтооьч 6, Замечание о характере экстремума действия ио Гамильтону. В принципе Гамильтона сравниваются движения за некоторый промежуток времени т, — Г, по прямому пути АВ н по окольным путям, проходящим через те же фиксированные точки А и В (см. п.
2, рнс. 90); при этом для движения по прямому пути действие 5 имеет экстремум. Остановимся иа двух связанных друг с другом вопросах: 1) будет ли при произвольном выборе точек А и В прямой путь единственным; 2) каким является характер экстремума действия (мииимум, максимум) прн движении по прямому пути. Наглядное представление о возможных ответах на эти вопросы дает следующий простой пример. Рассмотрим материальную точку, движущуюся по гладкой сфере радиуса уй пусть никакие активные силы иа точку ие действуют.
Тогда она будет двигаться по геодезической линии (см. ч. !, 9 38, и. 9), т. е. по дуге большого круга, с численно постоянной щ "о скоростью оо. При этом, очевидно, В = Т = — а- =- сопят и 5 Яо = шпо =- —" (г! — (0). 2 270 влиилционные пгинципы механики (гл, чг Если взять иа сфере две произвольные точки А и В (рис. 91), то через них пройдет два прямых пути: АВ (АВ < яр) и А» (АВ,В > пР). Исключение представляет случай, когда точка В совпадает с Вм т.
е. с точкой, диаметрально противоположной точке А; в этом случае через точки А и Вэ проходит множество бесконечно близких друг к другу прямых путей (меридианы). Такие две точки А и В,, через которые проходит множество бесконечно близких друг к другу прямых путей, называются сопряженными кинетическими фокусами / Тогда на основании данного примера можно сделать следующие выводы о характере зкстреб мума действии, справедливые и в общем случае: 1) если прямой путь не проходит через кинетический фокус, сопряженный начальной точке (в пашем примере путь мчи), то действие на нем имеет минимум (в нашем примере любой окольный путь будет больше дуги АВ, и чтобы пройти его за тот же промежуток времени г,— гэ, точка Вв должна двигаться со скоростью о > о,; поэтому на любом окольном пути 5 > 5«); Рис.
91. 2) если примой путь проходит через кинети- ческий фокус, сопряженный начальной точке (в нашем случае путь АВ,В), то действие на этом пути не имеет минимума (в нашем примере это следует из того, что при прямом нуги А« найдутся окольные пути, которые будут короче АВ,В; для этих путей будет о < о н 5 <5о). Таким образом, точки А и В можно всегда выбрать настолько близкими друг к другу, что действие иа прямом пути будет наименьшим (отсюда и термин «принцип наименьшего действия»); хля атого надо лишь, чтобы путь АВ не достигал кинетического фокуса, сопряженного точке А. 7. Принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа.
В 1У44 г. Мопертюи опубликовал принцип, согласно которому для действительного движения частилы интеграл от одз, взятый по отрезку траектории между двумя какими-либо ее тачками, есть минимум по сравнению с таиими жг интегралами, взятыми ло отрезкам других кривых, проведенных между тели же точками. Интеграл ~ и дз, где е — скорость частицы, Мопертюи назвал «действием», а самый принцип — принципом наименьшего действия. К этому принципу вначале отнеслись очень недоверчиво, так как автор не дал для него никакого доказательства, но Эйлер понял важность открытия Мопертюи и стремился дать его принципу строгое математическое обоснование, что удалось только впоследствии Лагранжу, вследствие чего этот принцип и носит название принципа Мопертюи †Лагран. Принцип Мопертюи †Лагран по своей конструкции похож на принцип Гамильтона и состоит в том, что действительное движение голономной консервативной системы между двумя конфигурациями А н В отличается тем свойством, что для него некоторая функция, 271 ннтпгвлльныв пгинципы выражаемая определенным интегралом н называемая действием по Лагранжу, имеет экстремум по сравнению со значением этой функции для других кинематически допустимых движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же энергией.
Таким образом, разница между принципами Гамильтона и Мопертюи — Лагранжа состоит в том, что. во-первых, действие по Лагранжу имеет вообще иной вкд, чем действие по Гамильтону, а во-вторых, в принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона сравниваемые движения совершаются за один и тот же промежуток времени. Возьмем выражение действия по Гамильтону для динамической консервативной системы между двумя конфигурациями А и 8, причем положим, что начальная конфигурация А соответствует моменту 1 = О, а конфигурация  — моменту 1 = 8,; при этом момент 1, здесь не является фиксированным, так как система, двигаясь по окольным путям с постоянной энергией, будет приходить в конфигурацию В в разные моменты времени (индекс 1 здесь указывает лишь то, что переменная величина 1, означает момент прохода системы в конфигурацию В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
