1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 44
Текст из файла (страница 44)
/ а'~ 1з бх (б) Из уравнения (б) имеем лУ (х) откуда, интегрируя, определяем у'(х); таким образом, задача свелась к одной квадратуре. Обозначая выражение Т"(х), полученное после интегрирования, через У (»; а, Р, л), будем иметь (с точностью до аддитизной постоянной) У(л; а, р, Ь) = ~ ( 2тд — о' — Р' — 2т'йх)з. Зт~д (в) Тогда В' ах+(1у+ У(х; а, (), Ь)+с. (г) где 1с есть произвольная постоянная. Первые и — 1 интегралов, т. е.
интегралы (14), называются геометрическими. Они пе содержат времени н в многомерном пространстве определяют кривую, которая является траекторией изображающей точки. Последний интеграл (16), содержащий время, называется кинематическим; он лает заков движения изображающей точки по траектории. Интегралы (15) называются промежуточными интегралами и служат для определения импульсов р, а также постоянных интегрирования. Пример. Найдем траекторию и закон движения тяжелой материальной точки массы т в однородном поле тяжести.
Направим ось Ох вертикально вверх; тогда 244 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ [ГЛ У Отсюда получаем интегралы движения (14) и (1б) ду' дГ дУ х+ — =бо у+ =б, да " дб ' д« или в явном виде х+ — Р(»;а,(), «) Ьь у+ — Г(»;а,(3, «)=Ьь тлн туб 1 — — Г (»; а, б, «) = Ф вЂ” бл тн (д) гле обозначено Р (»; а, (), «) Н. 'у' 2т« — аз — Р— 2та»», (л') Первые два интеграла в системе (д) геометрические; они являются уравнениями цилиндрических поверхностей, пересечение которых дает траекторию точки. Из этик интегралов сразу следует, что т.
е. что траектория лежит в плоскости, параллельной оси ». Если совместить плоскость Ох» с втой плоскостью, то будет умвб; тогда в равенствах (г) и (д) слелует положить () О. В этом случае первое из уравнений (д), которое можно представить в виде аа (х — б1 ) а — (2т « — ал — 2т'»»), т'д' дает уравнение траектории точки в плоскости Ох»; нетрудно видеть, что зто парабола с осью, параллелщюй оси».
Третий интеграл в системе (д) кинематический; он дает закон движения точки в виде 2т« — ал — ба — 2т'»» тгб г а — (ь го) следовательно, координата» при движении возрастает (или убывает) пропорционально (1 — Г,)'. Задача решена при шести произвольных постоянных а, б, Ьп Ьь «, Ьт которые определяются заданием начальных условий, т.
е. начального положения точки (три координаты) и начальной скорости (три ее проекции). Для определения этих постоянных надо еще составить трн промежуточных интеграла (15), имеющих вид Р»=а Ру=() Р» Р»(»~ щ р «) ° ° ° (е) Подстановкой начальных данных в равенства (д) и (е) определяются все шесть постоянных интегрирования. Таким образом, задача решена в самом общем случае и геометрические интегралы сразу охватывают все возможные траектории, чего не дают уравнения движения в форме Лагранжа. В втой большей общности получаемых результатов и заключается преимущество канонических уравнений. В 23. Метод Пуассона 1. Скобки Пуассона. В валачах механики часто случается, что по самому характеру данной задачи несколько интегралов канонической системы уравнений, определяющей движение, уже известно.
Метод Пуассона дает воаможность, зная два интеграла, найти третий МЕТОД ПУАССОНА 245 и таким образом получить в некоторых благоприятных случаях полную систему независимых между собой интегралов, а следовательно, и определить движение системы.
Прежде чем приступить к изложению самого метода, введем несколько предварительных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, Пусть !р я ф будут функции канонических переменных Ч, Р и времени г, т, е. ф'ф~Ч!' Ча' '''' Чл Р! Р! ''' Рл Выражение, составленное из этих функций, вида л носит название скобки Пуассона. Иэ этого определенна весьма просто вытекают основные свойства скобок Пуассона; отметим некоторые из этих свойств, которыми придется пользоваться.
1) Очевидны равенства (ф, ф) = — (ф. ф); (ф. — ф) = — (р. ф) =(ф. ф) 2) Далее, если с есть постоянная величина, то (!р, с)=0. 3) Найдем частную производную от (гр, ф) по 1; меняя порядок дифференцирования по г и Ч и по !' и р, получим Я. Тождество Пуассона. Возьмем три функпин у, !р, ф, причем У !Р ф~Ч! Чз ° ° ° Чл Р! Рг Рл' !. Тогда между скобками, составленными из этих функций, имеет место соотношение, которое называется тождествоч Пуассона; это тождество имеет внд (.г' (р, ф))+(!р, (ф У))+(ф (У р))— = О (3) Доказать это тождество можно непосредственным вычислением входящих в него двойных скобок Пуассона, но это вычисление, ~(~м ~~ Ф ~л (д~) г=! дф (дт ) дф дР, дР, др ! д( — )1 246 клнони~!еские уРАВнения дВижения системы !Гл у несмотря па свою простоту, довольно громоздко.
Для сокращения вычислений можно исходить из того соображения, что каждый член то1кдества должен обязателыго содержать производную второго порядка от функций у, ср или ф; поэтому, если мы докажем, что левая часть равенства (3) не будет содержать ни одной производной второго порядка, то это покажет, что она равна нулю, и тождество будет доказано. Так как левая часть равенства (3) симметрична относительно функций у, !р и ф, то доказательство можно провести только для одной функции, например для Г, что значительно сократит вычисления.
Для этого возьмем сумму двух членов, в которые могут входить вторые производные функции Г, т, е. и, вычисляя праву!о часть этого равенства, легко убедимся, что она вторых производных у содержать не будет. 3. Теорема Пуассона. Прежле чем доказать теорему Пуассона, найдем условие, которому должна удовлетворять функш!я у (д, р; Г) для того, чтобы у (д, р; 1) = с было интегралом канонической системы уравнений му до ар, дгг' — — — — — (1'= П 2, ..., и). (4) Ю др ' т дд Пусть /(б! !7з ° ° Че! р1, рг, ° °, ре, '1) = с есть интеграл системы (4).
Так как функция у постоянна для всех значений !у и р, определяемых системой (4), то (б) Подставляя в тождество (5) значения д! и р, из системы (4), получим и илн, пользуясь скобками Пуассона, ',~+(У, Н)= — 6. (6) условие (6), следовательно, неооходимо и, как легко показать, составляя уравнения характеристик для (6), достаточно для того, чтобы у = с было интегралом системы (4). Теперь докажем теорему Пуассона, которая состоит в следующем Если функции г(4а, р; Р)=а и ф(у, р; 1)=д будут нервы.ии инл!еграла.ии !саноничесной систежы (4), та функции МЕТОД ПУАССОНА (р, ф) = с будет тоже интегралом этой системы.
Действительно, так как ф=а и ф=д суть первые интегралы системы (4), то на основании тождества (6) будет —,',+(р, Н)=0. — „+(ф Н)=Ю. дй дф (7) Но по тождеству Пуассона (Н, (ф, ф))+(<р, (ф, Н))+(ф, (Н, гр))=01 (8) а так как из равенства (7) следует, что (ф, Н)= — — '. (Ф Н)= — — ' до дф дг * ' дг ' то. принимая во внимание соотношение (Н Ф)= — (ф Н)= дг и подставляя зти значения (Н, ср) и (ф Н) в равенство (8) почучим (и, (р, ф))+(р — д )+(ф д )=0, или ((В ф), Н)+(ф, — ")+( — ", ф)=0.
Так как то окончательно имеем '"„"+Иф, ф), Н)= — 0. (9) ф(о, р; г)=а, где а есть постоянная. Тогда на основании теоремы Пуассона функция (ф, Н)=с будет также интегралом системы (4). Но так как ф=а есть интеграл системы, то на основании тождества (б) имеем дй — ~ -1- (гр, Н) = О, дт Толгдество (9) показывает, что (ф, ф) = с есть интеграл системы (4), что и требовалось показать.
рассмотрим частный случай, когда функция Н не зависит явно от времени. В этом случае, как сказано в Э 21, и. 4, каноническая система уравнений (4) попускает обобшенный интеграл энергии Н = Ь. Предположим, что известен еше один интеграл системы (4) "248 канонические уРАВнения дВижения системы 1гл.
к отьу-а — — =(ф, Н), и мы получаем интеграл дт дà — — =с. де дг Таким образом, если ф= а есть интеграл канонической системы с функцией Н, явно от времени не зависящей, то — =с будет дв дг также интегралом этой системы, а следовательно, интегралами будут и фУплчнн — =си — =ст и т. д. Если же фУнкциЯ ф Явно от дар д'~р дГг ' дта времени не зависит, то — =О, и следовательно, (ф, Н)=— О; поде дГ этому (ф, Н) уже не будет интегралом системы (4). Итак, метод Пуассона дает способ, посредством которого можно по двум известным интегралам канонической системы найти третий н т, д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
