1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Казалось бы, что этим процессом можно получить все Ол интегралов системы, но это, к сожалению, не всегда удается. Часто случается, что скобка Пуассона от двух интегралов или является функцией уже найденных интегралов илн же тождественно обращается в нуль и, следовательно, не дает интеграла. Если мы возьмем систему интегралов УР У,, ..., У . причем Л 1м '''' Ут~ЧР Чм ''' Чп' Р1 Рг' '''' Р»' и если (/и г"А)= — О (К и=1, 2, ..., гн), то такая система носит название инволюционной системы интегралов следовательно, если мы имеем два интеграла, принадлежащих к инволюционной системе, например Л и г"ю то скобка Пуассона (Л, уа) нового интеграла не даст, ГЛАВА ШЕСТАЯ ВАРИАЦИОННЪ|Е ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ф 24.

Введение. Подразделение принципов |. Введение. Под термином «принцип» мы будем подразумевать такое аксиоматическое положение, которое, обладая достаточной общностью, является для данной области науки основным, так что все остальные положения вытекают из него как логическое следствие. В развитии наук всегда существовало и существует стремление свести систему данной науки к наименьшему числу исходных положений и в идеальном случае к одному основному принципу, который потенциально заключал бы в себе все содержание этой науки и объединял бы зсе ее положения. Это стремление. вызываемое, с одной стороны, требованием научной эстетики, ииеет, с другой стороны, целью найти наиболее общие законы природы.

Создание основных объединяющих принципов преследует цель не только исключительно компактной систематизации фактов, но и ставит более высокие залачн познания законов окружающего нас мира, к которому мы с прогрессом науки можем неограниченно приближаться путем наблюдения, опыта н логической обработки результатов. Очень важно. чтобы принцип удовлетворял не только присущим ему по существу логическим требованиям, но н обладал еще эвристической ценностью, т, е. чтобы из него. как следствие, вытекали не только те факты, синтезом которых он является, но и те, которые во время создания этого принципа не были известны; тогда мы можем сказать, что этот принцип действительно представляет собой найденный нами объективный закон природы (например, периодический вакон Менделеева, уравнения Максвелла и др.). 2.

Принципы механики. В истории развития механики принципы играли очень большую роль. Созданные на базе гениальных исследований Галилея законы Ньютона, являющиеся по существу принципами, легли в основу этой науки и в значительной степени послужили ее развитию; принцип )|аламбера дал могущественный метод для решения разнообразных задач, а принцип виртуальных 18 н. н. Букгольц 250 влгилционныв пвинципы мвхлники [гл. и перемещений Лагранж считал основным для всей механики, В настоящее время учение о принципах механики, в особенности вариационных, находится в достаточном развитии; мы имеем различные принципы механики, и все они обладают общим свойством: из них логически вытекают уравнения движения, а следовательно, и остальные положения механики, нбо, как известно, последние мы всегда можем получить из этих урзвнений.

Разница между различными принципами заключается в большей нли меньшей общности их применения по отношению к различным механическим системзм. Отсюла ясно, что из какого-либо одного принципа можно получить, как следствие, все остальные, причем область применимости этих остальных булет та же, что и исходного принципа. Принципы механики могут быть невариационные и варнационные; как те, так и другие разделяются также на дифференциальные и интегральные.

Невариационпып принцип представляет собой некоторое общее для всех движений свойство, которое имеет место или для данного момента времени (дифференциальный принцип), или для конечного интервала времени (интегральный принцип); например, принцип сохранения энергии есть невариационный интегральный принцип, а принцип Даламбера — дифференциальный. Вариационный принцип дает признак, отличающий истинное, реальное движение от класса других движений, кинематнчески возможных при тех же условиях, и состоящий в том, что дла истинного движения определенная функция, зависящая от координат и их производных, дает экстремум по сравнению с другими движениями, принадлежащими к определенному классу. Таким обрааом, для каждого вариационного принципа нужно установить: 1) функцию, которая для истинного движении обладает экстремальными свойствами, и 2) класс движений, по сравнению с которыми эта функция дает экстремум для истинного движения; отсюда следует, что получение уравнений движения из вариационцого принципа сводится к вариационной задаче при тех или иных дополнительных условиях.

Вариационные принципы, так же как и невариационные, равделяются на дифференциальные н интегральные; первые дают критерий истинного движения, отнесенный к моменту, а вторые — к конечному интервалу времени. В настоящей главе мы будем рассматривать только вариационные принципы, причем сначала дифференциальные, а затем интегральные. 5 Яб. Дифференциальные принципы 1.

Принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера — Лагранжа. Принцип виртуальных перемещений можно формулировать так: положение равновесия системы отличается от днфвсгвнцнлльныв пгннципы 281 а 251 смежных положений, совместимых со связями, тем, что толюсо для положения равновесия сумма злементарпых работ активных сил, действующих на систелсу, для всяких виртуальных перемещений системы равна нулю, т. е, для положения равновесия мы имеем илн, выражая все величины через их проекции и пользуясь обозна- чениями, оговоренными в $ 7, п. 1, гм ~~.", Х! бх! = О. с =.! Хотя в выражение этого принципа и не входит вариация какой- либо функции, но он имеет характер дифференциального вариационного принципа, потому что в левой части его аналитического выражения мы имеем линейную функцию вариациЯ координат, что, по существу, является вариационным выражением, Если предположить, что активные силы системы имеют потенциал, т.

е. если Х,= — 71=1, 2...„ЗМ), дУ дх! то ч и, следовательно, выражение принципа приобретает внд (2) В этом частном случае, т. е. когда система сил потенциальна, мы получаем, что для положения равновесия системы вариация от потенциальной функции должна равняться пуп!о, т. е. принцип имеет ум!е явно вариационный характер.

Соединяя принцип виртуальных перемещений с принципом Даламбера, мы получаем принцип Даламбера — Лагранжа, дающий критерий, по которому истинное движение в каждый момент отличается от кннематически возможного, т. е. совместимого со связями, что более полно формулируется следую1цим образом: во всякий момент врс.иеяи испи!иксе движение отличается от ссикематически возможного тем, что только для истинного движения сумма злемептпрных работ сил активных и сил инерции при всяких 18 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ~ГЛ, РГ виртуальных перемещениях системы риека нулю, т. е.

для истин- ного движения имеем ~ (Р,— т, —,) бг,— О, или, в проекциях, 1Х, — т, —,' ) бх = О. г 18) Здесь, так же как и в предыдущем случае, в выражение принципа входит не варьируемая функция, а линейная функция вариаций координат, которую можно рассматривать как результат вариационного процесса; поэтому принцип Даламбера — Лагранжа благодаря вариационному характеру принципа виртуальных перемещений (называемого часто принципом Лагранжа) является вариационным, и притом дифференциальным, так как движения сравниваются в каждый момент времени.

Из принципа Даламбера — Лагранжа можно вывести уравнения движения системы, когда на нее наложены связи голономные или неголономные линейные, в чем мы имели возможность убедиться при их выводе (гл. 11). 2. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Принцип Даламбера — Лагранжа не единственный принцип дифференциального типа. Принцип Гаусса, или принцип нзименьшего принуждения, также является дифференциальным принципом; его преимущество по сравнению с принципом Даламбера — Лагранжа состоит в том, что он дает возможность получить уравнения движения системы при каких угодно неголономных связях, в то время как из принципа Даламбера — Лагранжа эти уравнения получаются лишь в случае линейных иеголономных связей.

Таким образом, принцип Гаусса является наиболее общим принципом механики н обладает большой эвристической ценностью, благодаря которой он послужил основанием для дальнейшего развития механики. Достаточно указать на механику Г. Герца, которая возникла главным образом на основании идей, заключающихся в этом принципе Принуждением в данный момент Гаусс называет меру отклонения системы, движущейся под действием активных снл прн наложенных иа нее произвольных голоиомных и неголономных связях, от свободного двизксння, которое она имела бы, начиная с рассматриваемого момента, двигаясь под действием тех же активных сил, если бы с этого момента были устранены наложенные на нее связи. Пусть точка системы с массой т, находится в момент времени г в положении Мг 1рис.

Характеристики

Список файлов книги