1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Тогда будем иметь о о Подставляя выражение и из интеграла энергии в выражение 8, получим Ю= ~ 2ТИ вЂ” лгм е Функция и м Ю"= ~ 2тг1г= ~ ~ т,.птг1г (21) О Ю=1 называется действием по Лагранжу и является всегда положительной и ограниченной только снизу. В результате находим 8 = 1т' — лг, или Ф'= 8+ лтм (22) Поскольку верхний предел интеграла 1н как было указано, является переменным, то, обозначая его через 1, можем переписать равенство (22) в виде Ю= Я+М. (22') Кроме того, так как система по условию консервативна, имеет место интеграл энергии т= и+д. ВАРИАЦИОННЫЕ ПГННЦНПЫ МЕХАННКН 1гл, чт 272 Л ~ 2Т Ж= — ЛФ'=О, е (23) где, как уже было сказано.
вариация берется полная. Действие по Лагранжу, так же как и действие по Гамильтону, имеет на прямом пути минимум (по сравнению с его значениями на окольных путях), если прямой путь не достигает сопряженного начзльной точке кинетического фокуса (см. п. 6). 8. Вывод принципа Мопертюи — Лагранжа из уравнений движения и уравнений движения из принципа Мопертюи — Лагранжа.
Найдем сначала выражение ЛЮ', исходя из равенства (22). Получим, учитывая, что й = совз1, ЛФ' = ЛВ+ д ЛЕо где 1,— переменный момент прихода системы в конечную конфигу- рацию В. Полученная формула показывает, что функция %' совпадает с характеристической функцией уравнения Якоби (см. й 22. п. 4). Далее, на сравниваемые движения налагается условие, чтобы эти движения совершались с одной и той же энергией й. Но, как это вытекает из интеграла энергии, кинетическая энергия Т, а потому и скорости точек системы зависят от У, т. е. зависят от положения системы в данный момент, Поэтому время, в течение которого система переходит из А в В, зависит от пути и им определяется. Следовательно.
времена перехода системы из конфигурации А в В по различным путям различны и зависят от этих путей, т. е., как было указано, предел ~, в интеграле (21) является переменным. Поэтому при переходе от одного пути к другому должны варьироваться не только координаты и скорости (как з случае принципа Гамильтона), но и время, т, е, в случае принципа Мопертюи — Лагранжа вариация должна быть полной. Если мы будем интерпретировать движение системы в виде движения изображающей точки в пространстве п измерений (где п есть число координат системы), то принцип Мопертюи — Лагранжа будет формулироваться следующим образом: действительное движение голокомкой консервативной системы между двумя заданными конфигурациями А и В отличается от кикематичвски возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же полной энергией те.и, что для действительного движении полная вариация действия по Лагранжу равна нулю; иными словами, для действительного движения действие по Лагранжу имеет стационарное значение.
Математически это означает, что для действительного движения ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 1гл. ш Но (Л~уг), я= 0 и (Ьд,),, = 0; последний результат следует из того. что здесь время варьируется, а в моменты Гн какими бы они ни были, система по условию приходит в одну и ту же конфигурацию В. Кроме того, для консервативной системы Т является однородной и ччдг. функцией второй степени от скоростей и т„—.о,=2Т. В резульС=1 д . тате равенство (27) дает Тогда равенство (26) примет вид а ~ чпг а гдтт дт дггт бВ= ~ ~„~ ~— — ( —.— )-+ — + — ~бд,ог — 2Тстг.
дт ~д» 1 дй дв,~ Подставляя зто значение бВ в формулу (24), получим окончательно следующее выражение для полной вариации действия по Лагранжу: и Уравнения движения голономиой консервативной системы имеют вид — — — — — (1=1, 2, ..., и). д гдТХ дТ дг.г (29) дт ((дв ) дд, дд Следовательно, при действительном движении такой системы будет ЛИК=О или д ~ 2ТгГГ=О, (30) о и мы приходим к принципу стационарного действия Мопертюи— Лагранжа. Если теперь принцип Мопертюи — Лагранжа принягь за исходный, то из него можно получить уравнения движения голономной консервативной системы. В самом деле, повторяя все проделанные выкладки, мы снова придем к соотношению (28). Но, согласно принципу Мопертюи — Лагранжа, для истинного движения должно быть ЛГР =О, а так как интервал времени г,— Ге произволен и вариации между собой независимы, то из равенства нулю интеграла, стоящего в правой части соотношения (28), следуют уравнения движения системы (29).
9. Различные формы выражения принципа Мопертюи — Лагранжа. Г!ринцип Мопертюи — Лагранжа, как мы видели, состоит интеГРАльные пРинципы в том, что для действительного движения голономной консервативной системы между двумя данными конфигурациями действие по Лагранжу имеет экстремум по сравнению с кинематически допустимыми движениями между теми же конфигурациями при одной и той же энергии.
В зависимости от выражения действия Ф" этот принцип может быть выражен в различных формах. а) Форма 2Иоаерлгюи. Выше мы имели выражение действия в форме Лагранжа: б И Ж' = ~ 2Т с1= ~,)~ т1о2, а, 0 1=1 гле 22' есть число точек системы. Так как о1Ж=21г1, где 21зг есть элемент дуги траектории точки системы с номером 1, то о2221=о 21г и, следовательно, (31) 2Т = ~1М т,о21 = ~~1 т1 ~ — 1) 1 ! 1=1 кроме того, интеграл энергии дает 2Т = 2 (У+ А). (32) Следовательно, Х ~4 = 2(и+.
й), откуда ~1 12 1=1 г270+21 (33) причем интегрирование совершается по дугам траекторий точек системы от конфигурации А до В. Формула (31) дает выражение действия в форме Мопертюи. б) Форма Якоби. Выражение действия в форме Якоби отличается тем, что в нем при помощи интеграла энергии исключается время. Имеем ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 1гл. тг 276 Подставляя значения 2Т и с(г, даваемые равенствами (32) и (33), в выражение 1Г в форме Лагранжа, получим в (Р'= ~ 2Тс)г= ~ ")/2(0+71) У "~~~т1двг (34) о А Здесь так же, как и в формуле (31). интегрирование совершается по дугам траекторий от конфигурации Л до В. Фор!)ула (34) дает выражение действия в форме Якоби; это выражение имеет геометри- ческий характер, так как время и скорости в нем исключены.
Если мы введем независимые координаты и выразим хи хг, ..., хзл, в фУнкции от 1У1, !Уг, ..., 1Ую то и зн л ~з ~т,сувг= ~з ~т,сух'= ~„а, с(!у,с(17, 1=! 1=! 1, !=1 и выражение действия в форме Якоби приобретает вид в / л Ж'= ~ у'2(У+У!) 1уе ~ агуа!17117!у;. А 1,Ул! (34') В частном случае, когда внешние силы на систему не действуют, (l =сова(, и поэтому на основании формул (34) и (34') мы можем выразить действие Ф', отбрасывая постоянный множитель, в виде в н ° г ° ~~~~~ т гувг ~ $l ~ аг а1у с(!у . А А 1,1=! Интерпретируя движение системы как движение точки в пространстве п измерений, для которого элемент дуги (фундаментальная метрическая форма) имеет выражение л а!ог = „~~~~ а; ° а!7! а!ур 1,7=! можем написать в 17 = ~ до. А (35) Таким образом, аадача об определении движения голономной системы по инерции сводится к нахождению минимума интеграла (35), т.
е. к задаче геодезических линий. Принцип стационарного действия в этом случае может быть формулирован так: голономная система ио инерциидвижется так. что точка, изображающая систему в соответствующем пространстве и измерений, движется по геодезичесной линии этого аространства. 222 интвгРАльные пРинципы э 261 К задаче геодезических линий можно свести определение движения голономной системы и в том случае, когда она движется в потенциальном силовом поле, определяемом силовой функцией У.
Действительно, так как У зависит только от координат с/, то э И 2(У+") .Е вс/с(с/с с/с// = Х Оус/Чс с/с// С,/=1 С,/=1 где дс/ — 2(У+А)ас., поэтому в л в %' = ( Х Ьс/ (Ос йУ/= 1 ато Л С/=1 А где в данном случае с(оо = ~ с)с/ сбус с/с/ . (36) с, /=1 Тзким образом. движение голономной системы под действием потенциальных сил всегда можно рассматрияать как движение по инерции в пространстве Римана, метрика которого определяется фундаментальной метрической формой (36); согласно принципу стационарного действия движение происходит по геодезической линии этого пространства. Эта идея лежит в основе общей теории относительности А.
Эйнштейна. 1О. Пример. Для уяснении принципиальной разницы между принципом Гамильтона и принципом Мопертюи — Лагранжа рассмотрим применение обоих зтях принципов к определению движения материальной точки вдоль гладкой поверхности по инерции. В этом случае У = сопэ1; интеграл энергии Лает 1 — тот = сопэ1, 2 следовательно, п = сопа1. Согласно принципу Гамильтона для действительного движения действие по Гамильтону имеет стационарное зпзчение по сравнению с движениями между теми же положениями А и В, совершающимися в одно и то же арена С, т. е.
б ~ (т+и)л/=О. о Так как для рассматриваемого движения действие по Гамильтону Ь' будет 8 ) ( — твэ+ С! ~/1* — тьл/+С/, Г /1 1 1Ь о то для действительного движения (так как б/=О) имеем б5 = Сб ~ — тв') = О, /1 278 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЪ| МЕХАНИКИ |гл. ш откуда б (оа) = О, следовательно, о = о ,„. Таким образом, из всех кинематическн возможных движений точки между положениями А и В, совершаю- шихся в одно н то же время 1 (но с различными скоростями), действитель- ИЫМ бУДЕт тО, ДЛЯ КОТОРОГО О = О ьк а СЛЕДОНатЕЛЬНО, И ОГ З = О ьк т.
Е. движение по кратчайшему пути нли, иначе говоря, по геодезической линии. Согласно принципу стационарного действия Мопс рт ю н — Л а г р а н ж а для действительного движения действие по Лагранжу имеет наименьшее значение по сравнению с движениями между теми же положениями А и В, совершаюшнмнся с одной н той же знергией, т. е. Ь ~ 2Та|Г= О. о Для рассматриваемого движения действие по Лагранжу Ят будет | %" = ~ тоа а(т= тоат, о для действительного движения имеем Ьйг=шоаЫ=О ( 1 ибо знергия Л = †т, а следовательно, и скорости в для сравниваемых 2 движений одни н те же, и позтому АР =О), откуда А(= О.
Таким образам, из всех возможных движений точки, совершающнхса между положе ниямн А н В с одной и той же скоростью (но в различное время), действительным будет то, которое удовлетворяет условию А|=О, т. е. (=с,„ следовательно, действительным движением будет то, которое совершается в кратчайшее время или, так как от=а, по кратчайшему пути, т. е. по геодезической линни. ф 27. Канонические преобразования 1, Вывод каноннческ~х уравнений пз принципа Гамнльтвна. Согласно принципу стационарного действия .Гамильтона для действительного движения системы между двумя конфигурациямн имеем О~ У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
