1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Умножнм обе части равенства (10) скалярно на скорость и' точки в конце удара; получим тп' — тп и' = 8 и'. Так как перемещение точки после удара согласно со связями, наложенными во время удара, и связи идеальны, то скалярное проиаведение $~ ° и' равно нулю, Поэтому по сокращении на т из предыдущей формулы найдем такое вспомогательное соотношение: о — и. и =О. уг г (1б) Определим теперь искомое изменение кинетической энергии прн мгновенном наложении связей на движущуюся точку; оно равно тэ' тэ т (,г 3 г — — — = — гп — и ).
2 2 2 ~ Разность квадратов, входящих в правую часть равенства (16), можно преобразовать, вычтя иэ нее удвоенную левую часть равенства (15), равную нулю; получим и'~ — пг = О'~ — пг — 2пм+ 2п ° и' = — (Ом — 2п ° ф' — + пг)— = — (и' — п)г. теОРИя УДАРА [Гл. щг Тогда то то' и 2 ,ь г — — — = — (о — о). 2 2 2 (17) Этот результат можно сформулировать так: кинетическая энергия, потерянная точкой при мгновенном наложении на нее абсолютно неупругой связи, равна кинетической энергии, которую имела бы точка, двигаясь с потерянной скоростью; при атом лод «потерянной скоростью» подразумевается разность о — е'.
2-й случай: мгновенное снятие связей. Умножим обе части равенства (10) скалярно на скорость чг точки в начале удзра; получим вместо равенства (15) такое вспомогательное соотношение о'. о — о»=0, (18) так как теперь обращается в нуль скалярное произведение 8 ° и, М потому что со связями согласно перемещение точки не после удара, котла связи оказываются снятыми, а перемещение до удара. Разность квадратов скоростей в формуле (16) преобразуется таким же образом: о'~ „г о г ог 2о . и+2цг «,г 2о. и~+о г (ч>ь о)г Лозтому то' тог и ~ь — — — = — (о' — о)г, 2 2 2 (19) что можно сформулировать так: кинетическая внергия, приобре- тенная точкой при мгновенном снятии связей, равна той кине- лгичесиой энергии, которую имела бы точгса, двигаясь с приоб- ретекной скоростью.
5 29. Теория удара системы материальных точек б (т«о«) = бч+ бч. (1) тде б, и Я, суть внешние и внутренние ударные импульсы, действующие на точку с массой т„. Составив подобные уравнения для всех точек системы и сложив их, получим Хл( °,)=Хз:+ХК ч ь М 1. Теорема об изменении количества движения системы при ударе. Разделим все ударные импульсы, действующие на систему, <остоящую из М материальных точек, на внутренние и внешние по чем же соображениям, какие были приведены в случае подразделения обыкновенных сил; тогда, согласно равенству (6), для каждой точки с массой т будет справедливо равенство $ 291 тсогия тдага системы матьвилльных точак 2э3 или М2= д,й т,о, = ' Я', +,Е 8'„ где через Ц= — ~~~~тто мы обозначили количество движения системы.
т Замечая, что ~~~Я„= 0 на основании третьего закона Ньютона, прит ходим к такому результату: ДЦ=МДо =~Я'„ (2) т. е. количество движения, приобретенное системой за время удара„ равно сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе. Если на систему внешние ударные импульсы не действуют, то количество движения системы Ц и скорость центра масс ос при ударе не изменяются. 2. Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе.
Умножим обе части равенства (1) векторно слева на радиус-вектор г, точки с массой т . проведенный из некоторого центра О, и просуммируем это равенство по индексу т для всех точек системы; получим Х(; Х Д(т;,)1 =Х(г, Х 8,')+Х(г, Х 8,') н На основании рассуждений, изложенных в Э 28 п. 4, левую часть. равенства (3) можно преобразовать к виду Х(г, ХД(т,о,)]=д.')",(г, Х т,о„); т т кроме того, вторая сумма в правой части равенства (3) равна нулю, ибо для каждого внутреннего ударного импульса найдется равный и противоположно направленный импульс; поэтому вместо равенства Щ будем иметь следующее: д ~~~~ (г, Х т „и ) = ~~~ (г Х о',), т а или Дбо =,',~~~ шоп1о (Я;,), (4г ч где Оо — = ~~'.,(г, Х т,о,) есть кинетический момент системы относительно некоторого выбранного центра О, а ~ шошо(ет)— = ~2~(гт Х 8;) т У есть сумма моментов относительно того же центра всех внешних ударных импульсов.
Таким образом, уравнение (4) можно сформу- ТЕОРИЯ УДАРА 1гл. Уы лировать так: изменение за время удара кинетического момента системы, взятого относительна некоторого центра, равно гулле моментоз, взятых относительно того же центра, асах внешних ударных импульсов. Заметим, что поскольку перемещениями точек системы за время удара мы пренебрегаем, то доказанная теорема справедлива относительно любого центра О, связанного или не связанного с системой, и, в частности, относительно центра масс системы.
3, Изменение кинетической энергии системы при ударе (теорема Карно). Докажем теорему Карно для системы, предполагая. как и в Э 28, и. 8, что удар происходит или от мгновенного наложения, или от мгновенного снятия абсолютно неупругих идеальных связей. В обоих случаях для каждой точки системы с массой ти будет справедлива формула (10) $ 28, т. е. тини тини — 8и (б) (7) где еи и е,' суть скорости соответствующей точки в начале и в конце ударз, а 8, — ударный импульс реакций, приложенных к этой же точке. Найдем изменение кинетической энергии в следующих двух случаях: !-й случай: связи мгновенно налагаются.
Умножая обе чзсти равенства (5) на е,' и произведя суммирование по индексу у для всех точек системы, получим Хт,е„' — Хт.е,'.,=6, (6) и ибо ~~~„е, ° 3'„= О (см. 5 28, и. 8). Изменение кинетической энери гни Т' — Т за время удара будет 1 %ч ш 1 %ч Т' — Т= — г т е' — — ~~ т ег 2Л1 и и 2и'„'а ии и и Так как выражение„стоящее в левой части формулы (6), равно нулю, то его можно вычесть нз правой части равенства (7); тогда, при- ведя подобные члены, найдем Т вЂ” Т вЂ” — — т т (е — е)г 1 %ч (8) и Так как правая часть равенства (8) отрицательна, то отсюда сле- дует„ что кинетическая энергия Т' после удара меньше кинетической энергии Т до удара.
В результате из равенства (8) находим Т вЂ” Т'=,У,—,' т,(е — )з, (8) и Э гз1 ТЕОРИЯ УЛАРА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 295 т, е. кинетическая внергия, потерянная системой при мгновенном наложении на нее абсолютно неупругих связей, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее точки двигалась с потерянными скоростями. 2-й случай: мгновенное снятие связей.
В этом случае мы будем умножать обе части равенства (5) скалярно не на вектор о', а на вектор о„ибо теперь ~о, ° бч =0 (см. э" 28, п, 8); проведя затем такие же рассуждения, как и в предылущем случае, получим следующее выражение для изменения кинетической энергии системы при ударе: Т' — Т=- ~е 2 т (и» вЂ” чг,)'. (10) Правая часть формулы (10) положительна, следовательно, Т' > Т, и мы прихолим к такому выводу: кинетическая энергия, приобретенная системой при внезапном снятии связей, равна той нинетичесьой энергии, которую имела бы система, если бы ее точки двигались с потерянными скоростями, В качестве иллюстрации для этого второго случая можно привести явление взрыва гранаты; можно утверждать, что явлению взрыва сопутствует увеличение кинетической энергии ').
4. Принцип Даламбера. Разлеляя ударные импульсы, действующие на каждую точку системы с массой т„, на активные и пассивные, получим, согласно формуле (9), следующее: ®м+ им»+ ( Лт»п») 0 (т 1 ° 2, ° ° °, бг), (11) т. е. во время удара активные и пассивные ударные импульсы, действующие на систему материальных точек. могут быть уравновешены инерционными ударными импульсами. Это положение представляет собой принцип Даламбера для системы в теории удара. 5. Уравнение Даламбера — Лагранжа в теории удара. Умножим скалярно обе части равенства (11) на виртуальное перемещение бг, и просуммируем по индексу т для всех точек системы, принимая во внимание, что для идеальных связей Хб бг,=о. Получим Х(б,'— Дт„ю,) бг,=о. Итак, сумма элементарных работ активных ударных импульсов и ударных импульсов сил инерции равна нулю при всяком виртуальном перемещении системы.
') См. танже «беседы о механике» В. Л. Кирпнчсвз. ТЕОРИЯ УДАРА [Гл. Уы Б. Уравнения Лагранжа 2-го рода для удара. Пользуясь символикой, оговоренной в 3 1, п. 3, выразим уравнение Даламбера— Лагранжа (12) через проекции всех векторных величин на оси координат. Получим зм ~ (5„» — Ле х )Ьх,=О, т=! (13) где М есть число точек системы. Пусть на систему наложены голо- номные связи вида уя(х; С)=0 (к=1, 2, ..., Ф), и пусть эти связи имеют место как до, так и после удара; тогда число независимых координат системы будет ЗМ вЂ” й=п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
