1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 46
Текст из файла (страница 46)
85). За весьма малый промежуток времени т точка по инерции совершит перемещение М,А,=тг,т, где и, есть днеевопнцилльныв п»ннцнпы скорость, которую она имеет в момент 1. Если на точку будет действовать активная сила Ро то под действием этой силы свободная точка за тот же промежуток времени т совершит перемещение М1Вы которое, с точностью до малых третьего порядка, будет равно М,В1 — 22,т+ — т2, 2 Если же на рассматриваемую точку наложить еще связи. то ее перемещение под действием силы Р1 И Прн галнЧИИ свЯзей будет с точностью до малых третьего порядка М,С, = и,т+ — то,те, 1 где чо, = », есть ускорение точки. Отклонение точки от свободного движения представится вектором В,С1, ясно, что В1С, = М,С1 — М,В1 — — 2 т' ~»1 — — '1 т,) Рис.
об. 3и11 = — т, 1»1 — — Ь), 2 Суммируя принуждения для всех точек системы, найдем принуждение для всей системы: Х2 '(1 )' 1=1 или, выражая все величины через их проекции, 3то= Ь вЂ”, 1~х1 — — ') . 1=1 (4') Идея меры отклонения системы от свободного движения в форме суммы величин, пропорциональных квадратам отклонений частиц системы. — заимствована Гауссом в им же построенной теории ошибок. Принцип Гаусса состоит в том, что в каждый момент времена истинное движение системы, находяивейся лод действием активных сил и подчиненной идеальным связям. отличается от всех киквматически возможных (т. е.
созласкых с теми жв связями) с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принимает величину, пропорциональную квадрату отклонения В,С„ которую называет чпринуждением» (по-немецки Евана); принуждение выражается так: влгнлцноннын пяннципы мгхлннкн !гл. л движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отгслокения от свободного движения, т, е, ярикуждекие. есть минимум.
)чатематическн это означает, что для истинного движения бате= О, причем вариация берется при неизменяемых координатах и скоростях, т. е. варьируются только ускорения; такого рода вариацию некоторые авторы называют гауссовой вариацией. Выполняя варьирование функции Дче и приравнивая найденную вариацию нулю, будем иметь ЬДш== — ~~'.~(Х, — т,х,.)Ьх, = О. (5) Принцип Гаусса можно проиллюстрнровзть следуюгцим простым примером.
Пусть материальная точка двиРис. 86. жется в поле сил тяжести вдоль глад- кой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, причем движение начинается из положения М без начальной скорости (рис. 86). Кннематически возможны перемещения точки с разными ускорениями чво если вектор чо, лежит в этой плоскости; при этом, так как по Гауссу координата, скорость и время не варьируются, то все рассматриваемые перемещения должны начинаться из положения М бев начальной скорости и совершаться за один и тот же промежуток времени т.
Тогда эти перемещения будут равны — тг тг МС, = — чиь МС, = — чпг, Действующей на точку активной силой является сила тяжести тя; свободное перемещение точки пол действием этой силы за то же время т при юе = О будет направлено по вертикали вниз и равно — т' МВ = — й . Тогда принуждение при каждом из рассматриваемых 2 кинематически возможных движений будет пропорционально квадрату векторов ВСп ВСг, ... Легко видеть, что наил1еньшим из всех векторов ВС, является вектор ВС,, направленный по перпендикуляру, опущенному из точки В на наклонную плоскость; прн этом численно ВС,=МВз)па, откуда ш,=Ь" зша.
Таким образом, с помощью принципа Гаусса приходим к известному результату: движение точки вдоль наклонной плоскости при ос= О происходит по линии наименьшего ската с ускорением чо,=Ь'зша. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ 3. Вывод уравнений движения системы из принципа Гаусса. Прежде всего заметим, что если на систему не наложено никаких связей, то вариации ускорений бх, будут независимыми.
и следовательно, Х,— т,х,=О (1=1, 2, ..., ЗМ). В атом случае все точки системы будут свободными, и мы для них получаем обычные уравнения движения. Это, между прочим, следует и из принципа Даламбера — Лагранжа (3), так как если система свободная, то все вариации координат независимы и мы приходим к тем же уравнениям. Пусть теперь на систему наложено л голономных связей Ул(Х~ ХЗ ° Хал1 С)=О (К= 1 2 ° ° й) и г иеголономных связей какого угодно вида фр(хн х2 ., хзл хп ха хзл Г) = О (р= 1, 2, ..., г).
Дифференцируя дважды функции /„(х; Г) по времени, получим зм д" Хг+СРЕ(Х; Х; Г)=0 (К=1, 2, ..., й), ~=1 где символом Ф„ обозначено выражение, не содержащее ускорений, Варьируя затем полученное выражение и имея в виду, что варьируются только ускорения, будем иметь зм «~ д" бх,=О (к=1, 2, ..., л). (6) с=1 Дифференцируя теперь функции «рр(х; х; 1) по времени один раз, получим зь — х,+Чг (х; х; Г)=0 (р=1, 2, ..., г), дх~ р 1 где символом Ч'р обозначено выражение, ие содержащее ускорений.
Варьируя затем полученное выражение, будем иметь зм д — бх, = 0 (р = 1, 2, ..., г). (7) дх~ Соотношения (6) и (7) показывают, что из ЗМ вариаций ускорений бх зависимых будет л+г, а остальные Зр7 — (к+г) будут независимы. В соответствии с зтим введем й+ г неопределенных ЗАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 1гл. тг множителей Лагранжа; с втой целью умножаем равенства (б) и (7) соответственно на ) х и рр, суммируем первые по и от 1 до й, а вторые по р от 1 до г1 получим ЗА (Ар ~~1 дХо О дх1 р=1 1=1 Меняя теперь в обеих двойных суммах порядок суммирования, будем иметь (8) Складывая найденные выражения (8) и (9) с основным уравнением (5), получим згг у А Г ~ ~Х1 — т х;+УХ вЂ” +~У р —.~ дх, = О.
"1 дУх т дорр 1 дх1 р дх1 ) 1=1 х=1 ' р=1 Так как число зависимых вариаций равно к+г, то в+г неопределенных множителей Лагранжа выберем так, чтобы выражения в квадратных скобках при зависимых вариациях равнялись нулю; тогда остальные квадратные скобки вследствие независимости оставшихся вариаций будут также равны нулю, и таким образом иы получаем Зооо' уравнений движения системы з Г Х,— тгх1.+~~,~~),— + )~~)зр —.— О (1=1, 2, ..., ЗМ). (10) сух ~ЧР дх,, 'дх, х=1 р=1 Присоединяя урзвнения свяаей, будем иметь 31"о'+ 11+ г уравнений с 31 Г+й+ г неизвестными.
4. Вывод принципа наименьшего принуждения ив принципа Даламбера — Лагранжа. Рассмотрим точку системы с массой ти занимающую в момент времени Г положение Мз. Пусть, как и в п. 2, элементарные перемещения этой точки за малый промежуток времени т по инерции и свободное под действием активной силы Р; изобра- жаются соответственно векторами М1А1 и МЕВП и пусть вектор М1С1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ Рис. 87 возведя в квадрат обе части составленного равенства, получим (В,С,')'= (В.С;)'+(С,С,')'+ 2В;С,, С,с,'. (11) В п. 2 мы имели равенства отсюда для истинного движения л 2 2 чч Згв2= —,т2 (ВА)' н Зш= —,,Уат; (В,С,)'.
,1 Для сравниваемого кинематически возможного движения имеем 22 Зш' = —,',,'1))"', т, . (В,С,')'. л2 или, подставляя вместо (ВС2) выражение (11), и 2Г ,3гв' = †, ~2~~ т, ° (В„С,)'+ †, ~ лы (С2С~)'+ г г изображает истинное перемещение точки за время т под действием той же активной силы и при наличии связей (рис.
87). Рассмотрим какое-нибудь другое кинематически допустимое элементарное перемещение М;С2, которое точка могла бы совершить за тот же промежуток времени т, не нарушая наложенных связей и начиная движение из того же положении М2 и с той же скоростью оо но Г двигаясь с другим ускорением щ, отличным от ускорения чв2 — — г2 в истинном 2); движении (напоминаеи, что в принципе 4~ Гаусса варьируется только ускорение).
Покажем, что для истинного движения М с; принуждение будет меньше, чем для любого другого указанного выше кинематически допустимого дввжения. Прежде всего, ясно, что В,С,'= В,С, +С,С,'; вл»илционньщ п»иннины мяхлники !гл. щ Рассмотрим третий член правой части равенства (12); он равен нулю, Действительно, кинематически возможное перемещение М!С! совершается при сохранении наложенных связей и за тот же промежуток времени т, что и истинное перемещение М,С,, следовательно, вектор С!Сг, соединяющий истинное положение точки в момент 1 + т и какое-то другое положение, которое она может занимать в тот же момент при сохранении наложенных связей, представляет собой виртуальное перемещение точки в момент г+т, т. е.
С!С! =бя. Тогда, принимая во внимание выражение для вектора В,С,, будем иметь лг Ф Х ' ' ' =22Я вЂ” т' ъ! т! ° В.С! ° СгС! = — ~Ы (т,с! — Р!) ° бла ! ! г=! Но, в силу принципа Даламбера — Лагранжа (формула (3)), ~(Р! — т,г,) бгг=О, а следовательно, и третий член правой части (12) равен нулю. Итак, имеем и 2 г~ о«в =3п!+ — ~т, С Сг, г=! откуда ясно, что 3'~' > б«в, т. е для истинного движения принуждение имеет минимум, 5, Принцип прямейщего пути Г. Герца. Из принципа Гаусса непосредственно вытекает принцип прямейшего пути Г.
Герца, который является обобщением ньютонова закона инерции. Этот принцип состоит в том, что всякая «свободная» система движется по прямей!нему пути (т. е, по пути с наименьшей кривизной). Сам Герц формулировал свой принцип, перефразируя первый закон Ньютона, так: «Зуз1еща ощпе !!Ьегцш регзечегаге !и з1а!ц ацо г!ц!езсеяб! че! щочепд! нпПоппйег !и д!ге«1!зз!щащ» (т. е. всякая «свободная» система стремится пребывать в состоянии покоя или равномерного движения по прямейщему пути). Нужно заметить, что Гери в своей механике устраняет понятие о силе в том виде, как оно фигурирует в механике Ньютона, и рассматривает силы как эффект явных илн скрытых связей; поэтому понятие «свободная система> в смысле Герца означает, что точки системы находятся только под действием наложенных на систему связей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
