1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. Ю=У(а, Ь,б,о, р,р,р). Вместо размеров пластинки о и Ь введем новые величины РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОВИЯ 1гл. упг 318 Величина й есть удлинение пластинки, М = = (так назы- ~уТ ваемое число Маха) есть отношение поступательной скорости пластинки к величике 1гг —, равной скорости распространения звука Гр Р в той среде, в которой движется пластинка; гс' есть число Рейнольдса, встречавшееся в предыдущем примере. Таким образом, сопротивление пластинки выражается формулой Ю'=гч(М, )4, й, О)прог.
Эта формула первоначально была дана Ньютоном, который предполагал коэффициект Г постоянным. $ 32. Теория подобия механических систем 1. Теория подобия механических систем возникла из практического вопроса о сравнении условий работы двух геометрически подобных сооружений. Первоначальные исследования в этом направлении принадлежат Галилею, который в своих знаменитых «Р(всогз1»') ставит вопрос о том, что весьма часто модель машины работает иначе, чем оригинал, и находит причику этого обстоятельства в различии возникающих во время движения сопротивлений. Основная теорема о механическом подобии дана Ньютоном в его «Математических принципах натуральной философии» (книга П, отдел 1, предложение 22), где на основании этой теоремы выводится закон сопротивления жидкости движущимся в ней телам. Понятие «механическое подобие» гораздо сложнее, чем понятие «геометрическое подобие», потому что здесь приходится учитывать не только отношение соответственных линейных размеров, но н других величин, кинематических и динамических, обусловливающих движение сравниваемых механических систем; поэтому для того, чтобы две геометрически подобные механические системы (например, оригинал н модель какого-либо сооружения) были подобны механически, необходимо ввести еще ряд дополнительных условий.
2. Геометрическое и материальное подобие. Дзе системы точек Аь Аг, ..., А„и Ан Аг, ..., А„называются гео.нелгрически подобными, если между точками этих систем можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы соответственные отрезки находились в постоянном отношении, т. е. чтобы было †', ", = Х (1, (г = 1, 2, ..., и). Аг 4» ') Есть русский перевод: Г а л ил ее Г а л злей, Беседы н математические доказательства. ГТТИ, М.— Л,, 1934.
% 321 твогия полония мвхлничвских систям 319 Из этого опрелеления слелует, что углы между соответственными отрезками равны, что какая-либо фигура, составленная из точек первой системы, подобна геометрически фигуре, составленной из соответственных точек второй системы, что отношение соответственных площадей есть Ла, а соответственных объемов Лз и т. д. Если точки Аь Аю °, А„и Ап Аг, ..., А„двух геометрически подобных систем снабжены массами (т. е.
будут материальными точками) и если массы соответственных точек лгп лгз..... е„и т,', т', ..., т' находятся в постоянном отношении. т. е. л —,' =р (1=1, 9, ..., л), жг то такие системы материальных точек называются материально подобными. Простейшим примером материально подобных систем являются оригинал и модель какого-либо сооружения, в которых соответственные части сделаны из одного и того же материала (в этом случае р=1). 3. Кинематическое подобие. Геометрическое подобие двух систем точек (5) и (5') можно установить, сравнивая конфигурацию системы (5) в какой-либо момент Г с конфигурацией системы (5 ) в другой момент Г' (в частности, 1=г'); эти моменты булем называть соответственными моментами.
Если в частном случае системы (5) и (5') будут неизменяемыми, то геометрическое подобие этих систем, установленное для соответственных моментов 1 и ~ (в частности, для одного момента), будет сохраняться все время, т. е. геометрическое подобие двух неизменяемых систем не нарушается. Но тем не менее две геометрически подобные неизменяемые системы могут двигаться относительно некоторой системы отсчета совершенно различно, с различными скоростями и ускорениями соответственных точек, которые могут описывать произвольные траектории; отсюда следует, что наличие геометрического подобия для последовательности соответственных моментов еще недостаточно для того, чтобы системы точек были подобны кинематнчески, т.
е. чтобы одна система в увеличенном или уменьшенном виде копировала движение другой системы. Для определения кинематического подобия двух точечных систем (5) и (5') будем рассматривать движение системы (5) относительно системы отсчета О и движение (5') относительно системы отсчета О', причем системы отсчета О и О' неподвижны относительно основной системы отсчета Я; тогда (5) вместе с О, так же как (5') с О', будут представлять собой фигуры, изменяющиеся с течением времени, которые можно считать новгями точечными системами (05) и (О'5').
Если можно установить непрерывную последовательность соответственных моментов Г и 1' (счвтаемых от одного и того же РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ (гл. ТИВ начального момента), для которых системы (05) и (О'5') будут геометрически подобны с постоянным, не зависяшим от времени отношением подобия Л, причем соответственные моменты связаны между собой соотношением где т постоянно, то движущиеся системы (5) и (5') называются нинематичесни подобными. Примечании, Если соответственные моменты Г и Г' считаются от различных начальных моментов г и г', то соотношение (1) имеет внл г — гз = т (г' — г,'). (1') Из определения кинематического подобия двух систем (5) и (5') вытекают следствия: 1) Траектории соответственных точек двух кинематически подобных систем геометрически подобны с отношением подобия Л, равным отношению геометрического подобия движущихся систем в соответственные моменты времени.
Действительно, пусть координаты какой-либо точки А, системы (5) относительно системы отсчета 0 в момент 1 будут хн ун ян а ко- Р орлинаты соответственной точки А1 кинематически подобной системы (5') относительно системы отсчета 0' в соответственный мобудут х,', у,', г,', тогда, так как системы (05) и (О'5') в соответственные моменты времени, согласно определению, геометрически подобны, будем иметь х, (Г) = Лх,'(1'), у, (б) = Лу,'(Г'), г,. (Г) = Лг,.'(Г') (2) (1 = 1, 2, .... и) для двух любых соответственных моментов Г и г'.
Следовательно, траектории соответственных точек А и А' будут геометрически подобны. Отсюда следует, что фигура, состоящая из совокупности траекторий точек системы (5), будет подобна геометрически фигуре, состоящей из траекторий соответственных точек системы (5'). 2) В соответственные моменты времени модули скоростей соответственных точек двух кинематически подобных систем (5) и (5') находятся в постоянном отношении Лт ', а модули ускорений— в постоянном отношении Лт-з, причем системы векторов скоростей и ус~прений этих точек для различных моментов времени представляют собой геометрически подобные фигуры (конечно, при одинаковых масштабах построения).
В этом легко убедиться, дифференцируя равенства (2) один и два раза по ( и принимая во внимание, что на основании (1) г(г = т й('. 821 ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Имеем дх дхг дс дхг — '=Л вЂ”,' — =Лс ' — „,, или чг, =Лт 'о,'., и т. д. (4) д2х д~х' дР д~х' — '=Лт ' — — =Лт 2 —,, или мг =Лт гмг' „и т, д.
(5) г тг д( ~гг гх гх" (1= 1, 2, .... и). Из равенств (4) и (5) видно, что проекции скорости и ускорения. соответственных точек на координатные оси систем О и О' в соответственные моменты находятся в постоянном отношении, а отсюда. непосредственно следует, что и модули скоростей н ускорений находятся в том же отношении, а векторы скоростей и ускорений одинаково ориентированы относительно соответственных траекторий. 4. Механическое (илн динамическое) подобие. Если две системы (о) и (О') подобны кинематически и материально, то такие системы называются механически подобными, Для механически подобных систем, вследствие их кинематического подобия, имеем длж соответственных частиц и моментов пгг=ЛТ ггв,' (1=1, 2, ..., и), (6) а вследствие материального подобия т, = рт,' (1 = 1, 2, ..., и), (7) Перемножая равенства (6) н (7) с одинаковыми индексами, получим т,тв,=Ля гр ° т,'.Тв,' (1= 1.
2, ..., и'). (8) Принимая во внимание, что тгмгг = Рн т;тв,'. = Рг (1= 1, 2, ..., и), (9) где Р, и Р,' суть модули сил, действующих з соответственные моменты на соответственные частицы двух механически подобных систем, находим из (8) Р,=грР,'. (1 =1, 2, ..., и), гр — Лт-2(г (10) тде (1 1) есть постоянное число. Итак, в механически подобных системах в соответственные моменты времени соответственные длины, модули соответственных скоростей, ускорений и снл находятся в постоянных отношениях, равных Л, Лт ', Лт 2, Лт гр; кроме того, векторы сил„ так же как и ускорений, одинаково ориентированы, илзмегность и тсоиия подоена 1гл. тпг 6.
Теорема Ньютона. Пусть система (8) и система (Я') удовлетворяют слелующим условиям: 1) в соответственные начальные моменты Ф и г' система ф) материально подобна системе ф'); 2) в эти начальные моменты скорости соответственных точек систем (Ю) и (8') имеют пропорциональные модули и подобно расположены, т. е.
пусть для соответственных начальных моментов Ге и Ге о, =Лт-ьп,'„„о, =Ля 'о,' „о„=Лт 'о'„, (12) (1=1, 2, ..., и) гл,=рлг,' (1=1, 2, ..., и), (13) и пусть, наконец, 3) силы, действующие на соответственные точки систем (о) и ф') в соответственные моменты движения этих систем г и Г', имеют пропорциональные модули с постоянным отношением гр= Лт ар и подобно расположены, т. е. пусть г =Лт-'рР' „Р =Лт-ерР',; г, =Лт-'рР; (1= 1, 2, ..., п), (14) причем (13) или ах ах т 2 — =Лт а —, и т. д. (1=1, 2...,.
и). (16') лг~ лг' Умножая равенство (16') на И=тг)1' и интегрируя, получим — =Ля-' — „, +и, и т. д. (1=1, 2...., и). (17) ллг л'л Принимая во внимание, что для начальных моментов ге и Ф' имеют место равенства (12), получим, что все постоянные интегрирования равны нулю, Йалее, умножая равенства (17) на г11=т~зг' и интегрируч еще раз, получим х,(Г) = Лх,'(1), у,(Г) = Лу'(Ф'), з,(Г) =Ля,'(1) (16) (1= 1, 2, .... л), При соблюдении указанных трех условий системы (Ю) и (8') механически подобны.
Действительно, из условия 3) имеем, деля равенства (14) почленно на равенство (13): ти„=Лт тю,', и т. д. (1=1. 2, ..., а) (16) азам твогия половив мвхлничвсхих 828 причем постоянные интегрирования, в силу условия 1), обращаются в нуль. На основании равенств (18) заключаем, что системы (о) и (5') механически подобны (см. п. 4), что и требовалось доказать. 6. Ковариаитность уравнений движения. Свойства механически подобных систем, которые дает теорема Ньютона, можно легко по- лучить, исходя из соображений о размерности механичесних величин.
Известно, что полная система уравнений, определяющих движение механической системы (о) под действием данной системы сил, может. быть получена как следствие уравнения Даламбера — Лагранжа, ко- торое иначе называется символическим уравнением динамики (см. 5 5, п. 5 и Я 7 и 8); это уравнение имеет вид зн )~~(Մ— т„—,')Ьх =О. ч=! Изменим линейные размеры системы (5) в ) раз; время. в течение которого система переходит из одного положения в другое — в т раз; массы точек системы — в )г раз и силы, действующие на точки си- стемы, — в гр=йт з)ь раз, т.
е, сделаем преобразование х„=).х', 1=т1', т =рт', Х =).т зрХ' (20) (я=1. 2, .... ЗЖ). После преобразования (20) из системы (з) получится новая система (8'), ноторая будет механически подобна системе (о). Так как на основании (20) Ьх = ). Ьх'. — = ), —, — = ).т-' —,; ях Фх' 4у' 1 лх' . м лг' нг я'х, я'х' яр я'х' — =),т ' —,— =).т т —,, яР М' аг М'~ то уравнение (19) перейдет в уравнение (19') т. е. в уравнение Даламбера — Лагранжа, а следовательно, и все выводимые из него уравнения движения будут ковариантны относительно преобразования (20). Отсюда вытекает весьма важное следствие: движения двух механически подобных систем описываются одними и теми же уравнениями, причем параметры этих уравнений преобразуются по формулам (20); кинематические и динамические величины, характеризующие движения механически подобных систем, при переходе от одной системы к другой, получаются тем же преобразованием (20), которое, как мы виделн в п, 4, можно считать определением механического подобия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
