1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 38
Текст из файла (страница 38)
СЛУШАЯ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА Е !в1 скопа (нач альный кинетический момент гироскопа), настолько велики, что выполняется неравенство Стерв )) 2РаА. Но в таком случае, чтобы второй член в квадратных скобках бьш меньше единицы, необходимо, чтобы множитель при нем (т. е.
величина сов Ор — сове) был достаточно мал. Это в свою очередь будет иметь место тогда, когда очень мала разность Π— Ор, а потому можно положить (15) О=ее+и, где и есть весьма малая положительная величина (угол, на который изменяется начальное значение угла нутации). В дальнейшем будем ограничиваться в выражениях тригонометрических функций членами первого порядка малости относительно и и полагать сори=1, в1писаи Тогда сов 0 = сов(Ор+ и) = сов Орсови — в1пОрв1пи =сов Ор — и в1п0, (16) в)пО = в1п(ее+и) = в1п Овсов и+сов Орв1пи = в)пер+исовОр; отсюда (17) О,—.. О= и О,.
Поскольку мы считали Свыв)) 2РаА, то для удержания в квадратной скобке правой части уравнения (14) членов одинакового порядка, Сва' необходимо в множителе при — сохранить член с и. Вычисляя 2РаА втот множитель с учетом равенств (16), (17), получим е,— сов е ив!пЕ, и Мп'Е в1пг 0, +2и в!и Ер сов Ер в1п Ер (1+2и с100э) = — (1 — 2исгийр+ ...) =— ме ео в1п0 ' (18) ага Кроме того, из соотношения (15) следует, что 0 = —.
В резульш тате уравнение (14) заменится следующим приближенным уравнением: гги 1в 2Раи в1п Ер ( Свали 1 †) = ЛГ Е' А ь 2РаАвюйр ) ' или (19) Введем обозначения Са 2РаА вю Е, (20) 14 Н, Н. Бухграьч ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ.
1Ч Тогда уравнение (19) примет вид ( )= йи 12 — ) =ави(3 — и), а)— откуда — =а у'и(р — и). ии йг (21) Разделяя переменные, будем иметь йи = аз(г. Таким образом, задача свелась к квадратуре. Для окончательного интегрирования сделаем подстановку и=рв1пве; (23) тогда иаи = 2р в1 и е сов в з(е. Уравнение (22) после подстановки (23) примет вид 23 з1п е сов е йе =а г(г, )' Р мпа е (Р— р в!п'е) или, после сокращения, а(е = — а(г'. 2 Интегрируя, получим и е= — Г+сп Подставляя Вто значение е в равенство (23), находим и =Рвап (2 1 +с1) и=рыл'( — ). Заменяя здесь константы а н р нх значениями (20), будем иметь и= С а яп( — 1). 2РиА в1поа 1 Си (24) Наконец, подставляя этот результат в равенство (13), получнм окон- чательно следующее выражение для угла нутацин: 2РиА в1п Оа в 1' Си ) о=из+ С,, вап (24 Г (25) Для определения постоянной интегрирования с, учтем начальные условия: и=О прн 1=0.
Тогда О=ряп'со откуда с,=О к 211 СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА $181 Из равенства (25) видно, что угол нутации периодически измеияется от значения Ор до значения 27РаА яра 8р Р = Р+ СРеР Следовательно, если вокруг вертикальной оси описать два конуса с углами раствора при вершине 20р и 20Н то ось гироскопа будет все время Находиться в пространстве между этими С конусами (рис. 77).
Период изменения угла нутации будет, согласно уравнеиию (25), равен 2иА Т= — ' Се (26) формулы (26) и (25) показывают, что чем больше собственный кинетический момент гироскопа, тем меньше период нутации (больше часрота) и теснее границы Ор и Он между которыми колеблется (нутирует) ось гироскопа. Сказани ым ГР объясняется явление, состоящее в том, что вол- Рис. 77.
чок, приведенный в быстрое вращение, издаст звук (жужжание) тем более высокого тона, чем больше скорость вращения. Найдем выражение скорости прецессии. Для этого воспользуемся интегралом (7). При принятых начальных условиях г= е, Ь=СесозОр и этот интеграл дает АрР з~пз О = Ссо(соз Ор — соз 0), откуда Ф— Срр сор вр — соа 8 А з!и'8р Заменяя здесь последний множитель в правой части его приближеииым значением (18), будем иметь Сея Аз1лв Наконец, заменяя и его значением (24), найдем окончательно следующее приближенное выражение для скорости прецессии: рр = — япз( — 1) (27) Таким образом, мы приближенно определили законы прецессии и мутации быстро вращающегося тяжелого гироскопа при принятых начальных условиях.
Осью иутации является линия узлов, а осью прецессии — неподвижная вертикальная ось ОЬ. Закон изменения угла нутации дается 2!2 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !гл, иг формулой (25). Из этой формулы следует, что ось собственного вращения Ог колеблется в плоскости О"» (вокруг линии узлов) около некоторого среднего своего положения. Величина ф есть скорость вращения линии узлов или плоскости Оьг (перпендикулярной к линии узлов) вокруг оси Оь Ось собственного вращения совершает, следовательно, сложное движение.
Из равенства (27) следует, что скорость прецессии ф сохраняет в нашем случае все время один и тот же знак, одинаковый со знаком е; следовательно, ось собственного вращения прецессирует (вращается вокруг оси Оь) все время в одном и том же направлении, причем, если гироскоп вращается вокруг оси в каком-либо направлении, то и его ось поворачивается вокруг вертикали в том же направлении. Из фбрмулы (27) также заключаем, что период для изменения скорости прецессии тот же, что и для угла нутации. Одновременно нз формул (25) и (27) вытекает, что 0 ВО ф' А а!вйь ' Се Отсюда видно, что при минимуме угла нутации, т. е.
при 0 = О, скорость прецессии равна нулю, т. е. тоже минимальная. а при максимуме угла нутации, т. е. при наибольшем отклонении оси собственного вращения от вертикали, имеется и максимум скорости прецессии, 2Ра равный —. Следовательно, траекторией алекса будет сферическая Се ' циклоида, касающаяся нижней параллели (В=В,) и имеющая точки заострения на верхней параллели (В=ВТ=ВВ), т. е. как и было установлено в п. 1 (при принятых начальных условиях имеет место второй из рассмотренных в п.
1 случаев (см. рис. 75)). При этом опускание оси собственного вращения сопровождается возрастанием скорости ее вращения вокруг оси Оь и наоборот. Когда скорость собственного вращения гироскопа очень велика, изменение угла нутации настолько мало и незаметно (границы Ве и О! очень близки друг к другу). что прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало отличающаяся от регулярной, называется, как было уже сказано в п. 1, псевдорегулярной прецессией. Для псевдорегулярной прецессии вводится понятие средней скорости прецессии, которая определяется как среднее значение скорости прецессии ф за промежуток времени, равный периоду прецессии. Согласно определению среднего значения функции в некотором интервале изменения ее аргумента средняя скорость прецессии будет равна пчг случАЛ лАГРА11жА — пуАссопА 213 % 121 где 1~ есть произвольно взятый момент времени. Легко показать, что ф не зависит от момента 11. В самом деле, заменяя величину ф под знаком интеграла ее выражением (27), получим 1,+Г фт= 1 ~ 2 а Б1пт~Сат) 17 Делая подстановку 1=11+т, найдем т Ра Т2 ., С (т + ) ТСе 3 "" 2А о т ~ ~1 — —,, (Г + )~ ( = о Ра Г А Се — ~т — — з(п — (11+ т)1 ТСе ( Се А Ра Г А .
Са А . Саг, — 1Т вЂ” — з(п — (Г1+ Т)+ — 21п — 1 . ТСа ( Се А Се А 1 Посяедние два члена внутри квадратной скобки взаимно уничтожаются, что обнаруживается, если представить в них значение Т из равенства (26). Итак, (28) Среднюю скорость псевлорегулярной прецессии можно определить также как постоянную скорость некоторой воображаемой регулярной прецессии, при которой воображаемый алекс, двигаясь рзвномерно, описывает дугу параллели между двумя точками прикосновения концов ветви траектории настоящего алекса в то же самое время (период Т), в которое настоящий алекс описывает ветвь своей траектории (двигаясь неравномерно).
Поскольку мы в ходе расчетов считали величину Са большой, то из формул (28) или (27) следует, что при принятых начальных условиях угловая скорость прецессии будет величиной малой, т. е. имеет место медленная прецессия. Найдем, наконец, зависимость угла прецессии от времени. Интегрируя равенство (27), получим ф — ф1 —— ~ ф 111= — ~ 221п2~ — 1~ Л= — ~ ~1 — соз — 11(1= о о о Ра Г А .
Сат21 Ра Г А . Се11 = — 11 — — з1п — 1 = „. ~~ — — з1п — 1; Се ( Се А )о Са ( Са А 1' динамика лзсолютно твеядого тела 2!4 [гл. !ч окончательно Ра Г А Се! 1 ф = ф~+ — ~7 — — ! Сн( Сн А )' (29) Из равенства (29) следует, что угол прецессии будет постоянно возрастать, что. впрочем, следует и из равенства (21), так как производная ф положительна. Итак, ось собственного вращения будет вращаться вокруг вертикали все время в одном и том же направлении, Изменение угла прецессии может быть представлено графически„ если .вычертить графики двух функций Рп РаА, Сыт %1=фа+ ~ и фа= — — з!и —, Сн Сант т.
е. прямую и синусоиду, а затем сложить их ординаты; тогда ф=ф1+фз Если собственный кинетический момент гироскопа Сю очень велик, то можно, раскрыв скобки, пренебречь третьим членом в формуле (29); тогда для угла прецессии получим приближенную формулу РА ф= Ь+ С„у. (30) Из этой формулы можно было бы также получить найденную выше среднюю скорость прецессии (28). Последняя из величин, характеризующих движение гироскопа, т, е. ~р, определяется из интеграла (8) и равна ~р = ы — ф соз 8. (3!) Поскольку, как видно из формул (27) или Рис. 78.
(28), ф с~в, то практически можно счи.тать <ржгз, т. е. что собственное вращение гироскопа происходит с постоянной угловой скоростью. 8. Элементарная теория гироскопа. Гироскопом (или волчком) обычно называют быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось которого может изменять свое направление в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
