1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 37
Текст из файла (страница 37)
— з!ВВ 0= —. лг Тогда уравнение (1О') примет вид (1! ) А'( — "')'= у (з), (12) где обозначено У (з) = А (л, — 2Раз) (1 — з') — (б — Сгз)т. (!3) Исследуем корни уравнения 7 (з) = О, т. е. найдем те значения з, л'з при которых — обращается в нуль. Легко видеть, что уравнение лт 7" (з)=0 будет иметь три действительных корня. В самом деле, из равенства (!3) следует, что У( — !) = — (Ь вЂ” Сгз)т < 0, У (+ !) = — (б — Сгз)т < 0, У (+ со) =+ Оо. Последнее соотношение имеет место потому, что член у(г) со стар- шей степенью з имеет вид +2РаАгз. Так как э=соя 0 и — 1(соя О (1, то для действительного движения должно иметь место — 1(з (1. А ввиду того, что и а'з — должно быть действительным, а не мнимым, выражение у'(з) лг должно быть положительным в некоторои интервале, лежащем между — 1 и + 1 соответствующем действительному движению. Но так как при з = — 1 и г =+ 1 7(г) < О, а в упомянутом интервале 7(з) > О, то между з = — 1 и з =+ 1 существуют два действительных корня 7 (з), которые обозначим через з, и гм Кроме того, так как 7(+со)=+со, то за значением а=+ 1 функция 7" (з) имеет еще один действительный коРень зз [пРимеРный гРафик фУнкции 7'(г) изображен на рис.
73]. Воспользуемся проведенным исследованием для обшей характери- стики движения симметричного гироскопа и применим для этой цели сферическое изображение. Опишем сферу единичного радиуса с цент- ром в неподвижной точке О и отложим от точки О вдоль положи- тельного направления оси динамической симметрии гироскопа Ол единичный вектор АО=аа; конец его А, называемый апексом„ СЛУЧАИ ЛАГРАПЖА — ПУАССОНА 4 181 будет все время двигаться по построенной сфере .
Движение алекса А по сфере полностью изобразит движение оси Ог, т . е. прецессию й нутацию гироскопа. Исследуем сначала, как изменяется при движении гироскопа угол нутации О, Так как г = соз О, то из заключения, что для действительного движения г находится в границах У1 ( г ( зз, вытекает, Ю Ряс. 73.
что соз О, ( соз 0 (соз 08, где 01 и 08 — углы, соответствующие корням з1 и зз; следовательно, 0,> 0>0,. Это двойное неравенство означает, что сферическая кривая, которую Р Р описывает алекс, заключена между двумя параллелями А1А1 и А8Ам плоскости которых перпендикулярны к вертикальной оси Оь и отстоят от О на расстояниях Ь1=соз0, и Ьз=созйя. Ось Оя во все время движе- Ь иия будет находиться между двумя конусами с общей вершиной О и направляющими А1А1 и А8А8 (рис. 74). Так как из равенства 111) следует, что Л соя З .
ЛО лг лг лг ' = — 81п 0 —, и так как 0 Ф О, ибо зтот угол заклю- ле чеи между О, и 08, то — обращается лг Ла в нуль одновременно с †, Тогда из лг Ю Рис. 74. уравнения 112) следует, что — = 0 только лг для корней уравнения 7"18) = О, т. е. когда траектория алекса достигает граничных параллелей А,А,' и А,А'. Следовательно, изменять направление иутационного движепия 1от движения вниз на движение вверх и наоборот) ось гироскопа может только на параллелях А1А1, А8А8.
Таким образом, траектория алекса будет иметь вообще вид вол- нистой сферической кривой, заключенной между параллелями А1А1 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ. щ 206 и АзАз и илущей от одной параллели к другой. При этом время движения ~,т от параллели А~А1 до АЗАТ остается постоянным и Р равным времени ~ю движения от параллели АтАт до А1Аь т. е. нутационное движение является колебательным с периодом Т = 21ж.
В самом деле, из уравнения (12) следует, что Аз= '' уг~(~), тле знак плюс берется, когда з "Р О, т. е, когда з растет от з, до га, и знак минус — при убывании г от зз до зи Тогда н н лз 1 да 1а — А~ =А н лз гж —— А 1 Таким образом, величины 1п и Гм определяются олним и тем же интегралом, причем нетрудно показать, что этот интеграл имеет конечное значение; следовательно, 1м = Гю = сопзб Если корни з, и зз очень близки друг к другу, то параллели А~А1 и АТАт очень сближены, траектория алекса извивается в узкой полосе между ними, мало отличаясь от окружности, а ось гироскопа вращается (прецессирует) вокруг оси 0"„ испытывая очень малые колебания; имеет место так называемая псевдорегулярная прецессия.
Рассмотрим теперь, какой вид может иметь траектория алекса между ограничивающими ее параллелями. Это зависит от характера прецессионного движения, т. е. от условий скорости прецессии ф, определяемой формулой (9) Ь вЂ” Сг соз 0 А з~п~ 0 (9) Поскольку в знаменателе здесь стоит величина существенно положительная, то направление прецессии будет зависеть от значения постоянной К т, е. от начальных условий. Возможны следующие случаи: 1) Ь > СгсозОТ (или Ь < Сгсоз01). Поскольку зо все время движения созО (созОт (и созО) созО,), то в этом случае ф имеет все время олин и тот же знак и никогда не обращается в нуль, т.
е. гироскоп прецессирует все время в одном и том же направлении. Прн этом на параллелях А~А1 и АтАт скорость 0 обращается в нуль и ось гироскопа имеет только скорость ф; следовательно, траектория апекса касается граничных параллелей. В итоге заключаем, что траектория алекса будет в данном случае иметь вид кривой, показанной на рис. 74. 2) Ь=СгсозО,. В этом случае ф также имеет все время один и тот же знак, но на верхней параллели АтАт обращается в нуль. Так как на этой параллели и 0=0, то у траектории апекса на па- в |в1 СЛУЧАЯ ЛАГРАНЖА — ПУАССОНА д Аг раллели АвАв будут точки возврата.
Таким образом, траектория апекса имеет в этом случае вид сферической цнклоиды. изображенной на рис. 75. Заметим, что случай Ь =Сг сов О, физически невозможен, так как 1 тогда на параллели А~А1 было бы одновременно ф = 9, О = О, а потенциальная энергия гироскопа при О = О, имеет минимум (центр тяжести гироскопа занимает наинизшее положение); слеловательно, в последующем дви- ь женин от параллели А1А1 к АвАы котла г будет Ф Ф О, 0 Ф О, должны одновременно Аг Аг возрастать и кинетическая и потенциальная энергии гироскопа, что противоречит закону а сохранения энергии.
Таким образом, траектория алекса с точками возврата на нижней параллели невозможна. 3) СгсовО, (Ь ( СгсовОв. В этом случае, пока сов О, (сов О ( Ь, угловая скорость прецессии ф > О, а при Ь ( сов 0 (сов Ов Рвс. 75. будет ф < О. Следовательно, при угле 0 =0", определяемом равенством сов 0' = Ь, направление прецессии изменяется. Траектория алекса будет петлеобразной кривой, напоминающей по виду трохоиду (рис. 76). При этом из соображений, аналогичных высказанным при рассмотрении предыдущего случая 2), следует, что петли траектории могут располагаться только вблизи А верхней параллели АвАя. Р Рассмотрим частный пример. Пусть в начальный момент 1=0, ~р=~ро, ф=О. 0 0 = 0 и О = Оо, т. е.
гироскопу сообщают собственное вращение с угловой скоростью ~ро и отпускают ось без толчка, наклонив ее под углом Оо к вертикали, Подставляя эти начальные данные в уравне- Рис. 76, ния (6) и (7), находим, что в данном случае Ь, = 2Ра сов Оо, Ь = Сго сов Оо, н равенство (13) принимает вид 7 (в) = 2РаА (во — в) (1 — в') — Сг (во — в)', где во= сов Оо. Отсюда следует, что одним из корней уравнения 7'(в)=0 булет в=во (или 0=0о). Но, как было установлено выше при рассмотрении случая 2), возможно только равенство Ь=СгсовОв. Следовательно, в данном случае Ов — Оо, т. е. параллель А А', ограничивающая траекторию алекса сверху, определяешься начальным !гл.
!ч динлмикл лвсолютно тввгдого твлх положением оси гироскопа. Траектория апекса имеет вид, изображенный на рис. 75, где Оэ=Оо. В заключение отметим, что при особых начальных условиях может иметь место случай, когда оба корня з! и вя уравнения 7" (з)=0 будут равны друг другу (з!=го)! тогда 0,=9э и алекс описывает окружность параллели, а ось гироскопа — круглый конус вокруг вертикали Оь, т. е. движение будет представлять собой регулярную прецессию. 2.
Приближенное интегрирование уравнений движении симметричного тяжелого гироскопа. В большинстве случаев для практических целей бывает достаточно иметь приближенное решение уравнений движения гироскопа. Найдем такое приближенное решенно для симметричного тяжелого гироскопа прн следующих начальных условиях: го = 0 Фо = го Фо = 0 Оо = 0' Ф = Фо Ф = Фо 0 = Оо т. е. рассиотрим случай, когда гироскоп в начальный момент получает угловую скорость го вращения вокруг своей оси динамической симметрии Ог, которая в этот момент образует угол Оо с вертикалью.
Подставляя эти начальные данные в равенства (6), (7) и (8), найдем, что в этом случае г=ю, Ь! — — 2Расоз9, Ь=Сысозбо. Тогда уравнение (10) примет вид 2Ра Сомо пэ = — (соз 0 — соз 0)— — о А' э!я' э (соз Оо — соз 0)' или, вынося первый член правой части за скобку, 2Ра г Сэма О = — «озΠ— зО)!" !в — о 2Ра э!и' О (с 0 — соз 0)~ . (14) Из результатов, полученных в п. 1, следует, что во все время движения созО(созОо') и, следовательно, 9) О. Левая часть уравнения (14) существенно положительна; один из множителей правой части, именно соя Оо — сов 0, по доказанному больше нуля, следовательно, второй множитель, т.
е. выражение в квадратных скобках, должен быть существенно положителен, а для этого необходимо, чтобы второй член в квздратных скобках был меньше единицы. Будем в дальнейшем рассматривать случай, обычно имеющий место на практике, когда начальная угловая скорость го гироскопа, а с нею произведение Сы, называемое собственным моментом гиро- ') Это ясно н нз того, что если бы было соз Э > соэ Эо, то выражение в квадратных скобках уравнения (14) было бы положительным, а следовательно, вся правая часть этого уравнеияя была бы отрицательной, что невозможно, так хак левая часть В' существенно положительна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
