1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 35
Текст из файла (страница 35)
что эллипсоид инерции трехосный, причем наибольшая ось направлена по оси я, наименьшая — по оси х и средняя — по оси у. Наибольшей оси будет соответствовать наименьший момент инерции, т. е. С, а наименьшей оси — наибольший момент инерции, т. е. А. В самом деле, величины полуосей эллипсоида инерции будут определяться равенствами 1 1 1 а= —, Ь= —., с= —, следовательно, а ( Ь ( е. Чтобы конус полодий был действительным, коэффициенты уравнения (21) должны иметь разные знаки, т. е. необходимо, чтобы А )» !) )» С, или по (19) а4б-~с.
В противном случае, если, например, было бы А) ) А, то конус был бы мнимым и в пересечении с эллипсоидом инерции не давал бы ни одной действительной точки; движение было бы невозможно, 1 ! что ясно и геометрически, так как в этом случае = ч„—, Ь а, УВ УА т, е, расстояние неподвижной плоскости от неподвижной точки было бы меньше наименьшей полуоси а эллипсоида инерции. Также ясно, что ненозможен и случай С1ч.С, Ь) с, так как тогда плоскость П совсем не может касаться эллипсоида. Заметим, что соотношение А )»Е)')»С следует и нз равенств (22). Рассмотрим сначала три частных случая: 1) О=А. Уравнение конуса полодий (21) примет вид В ( — А) уз+ С(С вЂ” А) лт = О; в этом случае конус вырождается в пару мнимых плоскостей / С(А — С) г' В (А — В) пересекающихся по оси Ок, так как это уравнение удовлетворяется при у=О, а=О и.
следовательно, конус полоднй сводится к одной действительной прямой Ох — малой оси эллипсоида инерции. Это ясно и геометрически, так как в этом случае расстояние плоскости П 1 ! От неподвижной точки равно Ь=== = =а, т. е. малой оси )ГР ЬГА эллипсоида, а полодия и герполодия сводятся к одной точке каса- СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА — ПУАНСО ния О' — концу малой оси. Твердое тело будет асе время вращаться вокруг малой осн эллипсоида инерции с постоянной угловой скоростью. 7(ействительно, если тело начало вращаться около малой оси эллипсоида инерции, то векторы ю и 0 коллинеарны и, следовательно, проекция гв на 0 будет иметь в начальный момент наибольшую величину.
Но по теореме !) [формула (14)) проекция гя на 0 есть величина Ю постоянная, а поэтому тело 0 будет продолжать вращаться около асн Ох с постоянной начальной угловой ско- п ростью, ибо при нарушении этого движения проекция ю на 0 уменьшится, Итак, лзнженне твердого Рис. 66. тела будет перманентным вращением вокруг малой полуоси эллипсоида инерции (рис. 66). Поскольку, как видно из (22), прн О = А Х, = О, этот вывод совпааает с полученным в п. 1 (см. п. 1, случай 3)]. 2) О=С. В этом случае в уравнении (21) пропадет последний член, н конус опять распадается на пару мнимых плоскостей Ю + / В( — С) А (А — С) пересекающихся по большой оси зллнпсонда инерции Оя, Полодия н герполодия вырождаются в точку р касания, лежащую на конце оси а. Рассужлая так же, как и в прелыдущем случае, убедимся, что движение твердого тела будет перма- О нентным вращением вокруг большой оси эллипсоида инерции (рис.
67). Рнс. 67. При аналитическом решении этот случай, как видно из (22), соответствует Ц=О и дает тот же результат (п. 1, случай 4)), 3) О=В. В этом случае конус распадается также на две, но уже действительные плоскости, уравнения которых будут /А(А — ) с (в — с) Эти плоскости пересекаются по средней оси Оу эллипсоида инер- ции и в пересечении с эллипсоилом инерции дают дза действительных 13" ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл Рг эллипса, которые и представляют полодию для данного случая (Кь и гг(гч' на рис.
68, дающем вид со стороны оси у). Для средней оси эллнпсоида инерции кинетический момент б также коллинеарен с пм поэтому ось у также является свободной осью вращения, но вращение вокруг нее не будет устойчивым (см. ниже, п. 6). рассмотрим теперь основные случаи. Если А>О>В, то а<6<1, Полодия в этом случае состоит из двух замкнутых ветвей, окружающих концы малой оси Ох (рис. 68), являющейся осью конуса полодий; это слелует нз уравнения (21), в котором первый коэф- фициент положителен, а остальные ~Х В В*А, с 2г д два отрицательные, Замкнутость полодий следует геометрически из того, что касание эллипсоида инерции 0 с с плоскостью П должно после пол- ного оборота произойти в той же точке. К АГ-Ю=~Г Если В)О>с, то Ь<6<с.
2ьВ Обе ветви полодии суть замкнуРис. 68. тые кривые, окружающие концы большой оси Ог эллипсогша инерции, которая является осью для конуса (21). Примерный вид полодий при различных значениях О изображен на рис. 68. Различным начальным условиям движения соответствуют разные значения В, а следовагельно, и различные полодни. Полоднн делятся на два класса: один окружает вершину малой оси эллипсоида, а другой — вершину большой оси. Обе группы разделены особенной переходной пополней — ларой эллипсов, соответствующих значению О=В. Условие 0 < В, при котором полодни окружают конец большой оси эллипсоида, как видно из равенсгв (22), соответствует рассмот- РенномУ в п 1 слУчаю, когда Ач ) Хз; движение в этом слУчае определяется уравнениями (9).
При условии же О) В, когда полодии окружают конец малой осн, будет Х, < Хм н движение определяется уравнениями (9'). В промежуточном случае, когда О В (полодии распадаются на два эллипса) будет, как видно из (22), )., Хз; это соответствует рассмотренному в п. 1 случаю 5), когда решение упрощается и эллиптические функции переходят в гиперболические. 6. Герполодия. Не входя в аналитическое исследование, которое требует применения эллиптических функций, сделаем лишь замечание о виде герполодии.
Обозначим по-прежнему через О' основание перпендикуляра, опущенного из неподвижной точки О на плоскость П (см. рис. 66). Тогда ОР = р, О'Р = р', и нз прямоугольного треугольника О'ОР следует О'Р= у'ОРТ вЂ” ОО'з, или р' = 1/рз — Ьз. 197 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА †ПУАН з и] Так как полодия есть замкнутая кривая, окружающая конец одной нз крайних полуосей зллипсоида инерции, и притом симметрично расположенная относительно этого конца, то радиус-вектор полодии ОР = р имеет некоторый минимум р, и максимум р; тогда из записанного выше равенства следует, что 'у' р', — 6' < р' < 3/ р' ,— 6' т. е. герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями с центром в О' и с радиусами рг ——  — ~/ ра бз и Рз = р/ре бв В противоположность полодии, которая есть кривая замкнутая, герполодия, вообще говоря, будет уже невамкнутой кривой, внд которой показан на рис. 69; при этом, как 9' ЛВ' можно доказать, герполодия поочередно касается окружностей р,' =- сопз1, р' = сопзГ и не имеет точек перегиба.
Дуга герполодии АВ есть четверть дуги полодии; после того как полюс Р придет снова в то же положение на эллипсоиде инерции и, следо- Рис, 69. зательно, опишем полную полодию, радиусвектор герполодии повернется на угол, равный 4 АО'В. Если угол АО'В несоизмерим с л, то герполодия никогда ие замкнется; в противном случае герполодия будет замкнутой кривой. 6. Устойчивость вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции. Рассмотрение геометрической картины Пуансо позволяет сделать заключение об устойчивости вращения вокруг каждой из трех осей эллипсоида инерции. Понятие об устойчивости движения по отношению к тем или иным его характеристикам аналогично понятию устойчивости равновесия (ф 10). Закон движения механической системы определяется действующими силами и начальными условиями.
Происходящее при заданных силах и начальных условиях движение называют невозмушенным. Если в какой-либо момент времени точкам системы сообщить малые возмущения (т. е. малые дополнительные смешения илн скорости) и если после этого значение какая-нибудь нз характеристик движения будет все время оставаться близким к ее значениям в невозмушенпом движении, то невозмущенное движение по отношению к указанной характеристике называют устойчивым, а в противном случае — неустойчивым.
Рассмотрим вопрос об устойчивости вращательного движения тела с неподвижной точной вокруг его главных осей инерции; при этом нас будет интересовать вопрос об устойчивости по отношению к сохранению модуля и направления вектора угловой скоросгги гв. 198 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1Гл. ГЯ Движение будем считать устойчивым, если при малом возмущении численная величина и направление вектора ш во все последующее время будут мало отклоняться от его начальной постоянной величины ы и начального направления, совпадающего с направлением главной оси инерции; в противном случае это движение неустойчиво. Заключение об устойчивости (или неустойчивости) для рассматриваемого движения можно сделать по расположению полодий на эллнпсоиде инерции.
Если твердое тело вращается вокруг большой оси эллипсоида инерции (оси г, совпздающей с осью Ь), то при весьма малом возмущении, которое вызовет изменение начального направления мгновенной угловой скорости ш, эллипсоид инерции перестанет касаться плоскости Пуансо в одной точке (конце большой полуоси), а станет катиться, касаясь плоскости Пуансо вдоль точек одной из полодий, окружающих конец большой полуоси и очень близких к вершине В (см. рнс. 68). При этом угол отклонения вектора гв от первоначального направления будет мал и численно ы будет мало отличаться от ые, что следует из равенства (14). Следовательно, согласно сказанному выше, вращение вокруг большой оси эллипсоида инерции будет устойчивым. То же рассуждение можно повторить и для малой оси эллипсоида, и, следовательно, вращение твердого тела вокруг большой или малой оси эллипсонда инерции является устойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
