1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 31
Текст из файла (страница 31)
58). Соединяя доказанную теорему с предРнс. 58. шествующими выводами, можно сказать, что кинетический момент 0 твердого тела относительно неподвижной точки тела есть вектор, получаемый аффииным преобразованием вектора угловой скорости ю прн посредстве тензора инерции. Этот вектор, являясь градиентом скалярной функции Ф(хи у,, г,) (с точностью до постоянного множителя), параллелен нормали к эллипсоиду инерции в той точке, в которой ось мгновенного вращения пересекает эллипсоид инерции.
Э Е! ВЫРАЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 171 8. Динамический смысл главных осей инерции. Возьмем в качестве подвижных координатных осей главные оси эллипсоида инерции. Тогда проекции кинетического момента будут определяться формулами (3) из п. 1: Ок = зккр = АР О,=У„,д=Вд, (18) О =Ар, О =О, О,=О. Следовательно, и кинетический момент направлен по той же оси х. Аналогичный результат получим и для двух других осей. Покажем теперь, что в случае неравенства между собой моментов инерции А, В и С главные оси будут единственными направлениями, для которых угловая скорость е коллинеарна с кинетическим моментом О. В самом деле, если б и е коллинеарны и не равняются порознь нулю, то имеет место уравнение ОХе=О, или й Ар Вд Сг р д г Отсюда ( — С) дг = О, (С вЂ” А) гр= О, (А — В) рд = О.
(19) В зависимости от значений А, В и С могут иметь место три случая: 1) А, В, С не равны между собой; тогда уравнениям (19) можно удовлетворить. только положив две из проекций угловой скорости е равпымн нулю, а это н дает три главных направления эллипсоида инерции. Из этих формул следует, что кинетический момент и угловая скорость могут быть направлены одинаково в трех и только в трех различных случаях, а именно в тех случаях, когда направления этих векторов совпадают с направлениями главных осей инерции (если только эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения или афера). Для доказательства положим в формулах (18) две из проекций угловой скорости е равными нулю. Например, пусгь д=О, г=0, т. е.
предположим, что вектор е направлен по осн х„' тогда по- лучим 172 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !зл. !к 2) Два из моментов инерции А. В, С равны между собой, например В=С эь А, т. е. эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, В этом случае первое из уравнений (19) тождественно удовлетворяется. Чтобы удовлетворить двум остальным уравнениям, достаточно полвжить либо д = О и г = О, что дает одно из главных направлений, именно ось х, либо р = О, что дает ю бесконечное множество направлений, расположенных в экваторной плоскости уг эллипсоида инерции. 3) А = В = С; тогда эллипсоид инерции превращается в сферу.
В этом случае уравнения (19) удовлетворяются всегда при любых р, в, г; тогда ю и 0 коллинеарны при вращении вокруг любой из осей, проходящих через неподвижную точку, т. е. в любом направлении. Итак, кинетический момент 0 и угловая скорость ю могут быть коллинеарны только по главным осям эллипсоида инерции. В этом и заключается динамический смысл главных направлений эллипсоида инерции. Заметим, что геометрически полученные здесь результаты непосрелствснно вытекают из теоремы, доказанной в п. 4. Согласно этой теореме вектор 0 параллелен нормали чз к поверхности эллипсоида инерции, проведенной в точке Я (хи ун я,), где эта поверхность пересекается с мгновенной осью вращения тела, т.
е. с направлением вектора ю. Отсюда следует, что коллинеарность векторов 0 и ю имеет место лишь тогда, когда нормаль эз в точке Я, поверхности эллипсоида направлена вдоль радиуса-вектора г этой точки. Но если А чь В „-ь С, то условие чз((г имеет место только для главных осей эллипсоида; при В =С чь А зто имеет место для оси л и для всех осей, лежащих в плоскости уг; наконец, при А = В = С указанное условие имеет место для любого направления, Отсюда и следуют все сделанные выше выводы.
й 16. Динамические уравнения Эйлера. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой 1, Динамические уравнения Эйлера для движения твердого тела около неподвижной точки. Пусть твердое тело движется около неподвижной точки О. Как и в 4 14, кроме основной системы осей Озт1~ (неподвижной), возьмем систему подвижных осей Охуг, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним относительно неподвижной системы О",Ч~. Теорема об изменении кинетического момента относительно основной (неподвижной) системы ориентировки ОЯ~ дает уравнение лб — =Яо лг динлмнчаския уяавняння эплсял П3 а !б1 — = — +еХО, ла й аГ я'1 и уравнение (1) примет вид —,„+е М 0= Мо Гб (2) Спроектируем обе части равенства (2) на оси подвижной системы а'6 Олуха, причем при проектировании — опустим знак локальной пролг изводной, ибо локальная производная берется именно относительно подвижной системы; получим — "+до — го =М, ,й у Лоу — У-+ Π— рв =М, аг Х б У вЂ” „; + ро,— дО„= М„ ло, (3) где О, О и О, определяются формулами (1) или (1') из п.
1 й 15. а именно: 0 = Ар — Рд — Вг, О„= — г р+ Ва — Рг, О, = — Вр — Оа+ Сг. (4) где Мо есть главный момент всех внешних сил, действующих на твердое тело, относительно неподвижной точки О. Проектировать уравнение (1) на неподвижные оси Ойу)ь весьма невыгодно, ибо, хотя формула (2) в 15 0 = е(.l) и дает выражения проекций 01, О„, Ог (аналогичные формулам (1) 2 15, но написанные длЯ осей Оеьт1Д, олнако коэффициенты в них, т. е. компоненты тензора инерции движущегося тела относительно неподвижных осей, меняются со временем, и уравнения движения в проекциях будут иметь сложный вид.
При выводе динамических уравнений движения твердого тела Эйлер сделал два упрощения. Первое из них состоит в проектировании обеих частей уравнения (1) па оси подвижной системы. а'а Если — есть производная какого-либо вектора а относительно М а'а основной системы. — — так называемая локальная произволная (изаг менение а относительно подвижной системы), то, как известно, аа Ла — = — +е)~ а М аг (см.
ч. 1, й 13, п. 2). Применяя зту формулу к вектору О, получим ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл ш 174 Здесь компоненты тензора инерции А, В, С, В, Е. Р суть постоянные числа, Второе упрощение Эйлера — выбор за оси подвижной системы ориентировки главных осей инерции тела относительно неподвижной точки. При этом выборе формулы (4) упростятся и аапишутся так: 0„=Ар, а,=В7, Ог =Сг. (5) В результате уравнения (3) примут вид А — „Р + (С вЂ” В) дг = М „, др  — ~+(А — С) гр = М, ие ае С вЂ” „, +( — А)рр= М,.
иг (6) р = ф з и О зш ~р + О сов ~р, Ч =фщпОсоз~р — Ощпф, г =фсозО+а, (7) получим систему шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций времени р, д, г, Гр, ф, О. Общие интегралы должны содержать шесть произвольных постоянных, которые определятся, если задать начальное положение и начальную угловую скорость тела, т.
е ре фе, Ою Ры Чз ге. Исключая из уравнений (6) и (7) р, д н г, можно получить три дифференциальных уравнения второго порядка относительно трех эйлеровых углов ф, ф, О. Если принять во внимание, что в общем случае проекции главного момента внешних сил М , М„, М, являются сами функциями Г, ф, ф, О, р, д, г, то становятся понятными трудности, возникающие при интегрировании системы шести уравнений (6) и (7); даже частный случай, именно случай движения твердого тела около неподвижной точки под действием одной лишь силы тяжести, не может быть решен в общем виде (см. Э 19, п. 2).
Система (6) представляет дифференциальные уравнения движения твердого тела около неподвижной точки, впервые выведенные Эйлером (1765 г.); эти уравнения называют динамическими уравнениями Эйлера Присоединяя к уравнениям (6) три кинематическнх уравнения Эйлера э ]Б] ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭИЛЕРА 175 где л] есть масса тела, твс — ускорение иентра масс, а Р— главный вектор активных внешних сил. Ускорение н]с, входящее в равенство (8), может быть выражено по теореме Ризальса (см.
ч 1, 9 1О, п 5), т. е. н]с — — эу Х гс+ Бэ Х (ээ Х гс), н]с=э] Х У'с+ э](гэ. гс) — ы'гс (9) Проектируя обе части равенств (8) и (9) на подвижные оси, по- лучим л]твсх»»х+» х ултвсу = усу+ г у Л]~с =)» + Г» (10) где твсх — — Час — гУс+ Р (Ряс+ ЧУс+ гас) — ызлс тесу = гкс РЯС+ Ч (Ряс+ ЧУС + гас) з] Ус п»с» = Рус Чхс+ г(рхс'+ЧУс+ гас) а] Яс (11) прн этом ]аз= р +Ч~ -(.
г'-. Если уравнения Эйлера (6) и (7) проннтегрированы, то ББ, ф, 8, р, Ч, г известны в функции г, а следовательно, известен закон движения тела. Подставляя р, Ч, г в уравнение (11), найдем н»сх, тясу, твс, в функции 1, а тогда, после подстановки нх в уравнения (10), найдутся искомые проекции реакции неподвижной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
