1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 27
Текст из файла (страница 27)
10ч эллипсоида(23) полуоси будут прямо пропорциональны корням квадратным из главных моментов инерции, т. е. я — а а= —,'1'А Ь= —,) В /)э ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ГЧ 148 2. Давление иа ось. Вращение твердого тела вокруг неподвижной осн можно рассматривать как движение твердого тела, при котором две его точки А и В неподвижно закреплены. Последнее определение удобно тем, что вполне определенно решается вопрос о реакциях связи, а именно можно сказать, что связь, осуществляемая двумя неподвижными точкамк А и В, по аксиоме о связях эквивалентна двум реакциям, приложенным в этих точках; эти реакции обозначим через А и В.
Активные внешние силы обозначим через Рп Рм ..., Р;, начало координат возьмем в точке А и ва ось Ая примем ось вращения (рис. 49). Применяя теореиу об изменении количества движения, имеем Проектируя обе части равенства (3) на коор- динатные оси, получим три уравнения: У вЂ” ~т,х,= А„+В + ) Р,„, — ~~) т~у;=А„+В„+ ~) Рпн и ас Х тЛ = А+ В*+ Х Ры' (4) Рнс. 49. Применяя теорему об изменении кинетического момента относителшеэ центра А, имеем щ ~ (г, Хт,чг,)=АВХВ+ ~ («, ХР,).
Имея в виду, что и О О АВ В В„В, шошл В= АВ Х В = — ~~~~т,(у,я~ — г,у,)= — АВ ° В + ) '(у,РГл — я,Р, ), — т~(г х~ — х г)= АВ В +~эм(а Р х Р ) (6) ( у — у" ~ ~~*,Р,„— у,Р,з. ) и проектируя обе части равенства (5) на координатные оси, получаем еще три уравнения; х=гсозф. х= — гз!Пф ' ф= ув х = — хвг — ув, у = — уегг+ х в В=О; у =гз!Вв, у=гсозф ° !р=хв, я=сова!, В=О, тогда, вылов!яя дифференцирование и подставляя значения х, х, у, у, я, я в уравнения (4) н (6), получим — в ~~ тгх, — в ~~ т,у, = 2 чг в2 ~~~~~ щ у,+ге~~~~~ щ х А„+В,+ ~Ргк, А„+В + ~'.,Рг, А,+В,+ ~Р„, — АВ ° В;+ ~~~~ (У,Р! — ВгРгу), АВ ° В + ~~!(ВгР! — х;Р„), Х (ХгРгу — УгРгк) О= (7) в и'„т,х,х,.-+вг ~ щ,.я,у, = в ~ тгя,у — в' ~Р~ тгхгхг= в ~~Р„т ! (х; + у ) = Принимая во внимание, что Х тгх! =гИхс' Х тгу! = гг(ус Х тгугя! =Уук 2 2 ~ тглгх! = Укк' Х т! (х! + У!) = Укк где С обозначает центр масс тела, представим уравнения (7) в виде — уИхсв' — Л4усв= Ак+ Вк+ Х Рк! дгусвг+лгхсв=.4 +.В„+ Х Руг, О = Ак+ В, -+ ~ Р„, У квг — Уккв= — АВ Ву+~~'.! аоак(Р,), / вг 1 ег= АВ ' Вк+Х аоа„(Р!), ч!', аоа,(Р,).
(8) Последнее уравнение системы (7) или (8) не содержит реакций и„ следовательно, дает уравнение вращения твердого тела около неподвижной оси (2); интегрируя зто уравнение, мы найдем сначала угловую скорость в, а затем и угол ф в функции времени г. Остальные пить уравнений содержат проекции неизвестных реакций А и В, число которых равно шести; система, следовательно, оказывается неопределенной, а именно, из уравнения третьего первой группы мы можем $ гг! ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 14!Ь Преобразуем шесть уравнений (4) и (6), имея в виду, что ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. Ш определить лишь сумму А,+ В,, [Эту неопределенность можно устранить соответствующим выбором форм подшипников (связей) в точках А и В) 3. Условия, при которых динамические реакции равны статическим. Если бы твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, было неподвижно, то в=о=О, и левые части уравнений (8) равнялись бы нулю; первые пять уравнений были бы тогда обыкновенными уравнениями равновесия и служили бы для определения реакций, которые в этом случае назовем статическими, а последнее уравнение, как не содержащее реакций, было бы условием равновесия.
В отличие от статических реакций, реакции при вращении твердого тела будем называть динамическими. Возникает вопрос, весьма важный в технике, об условиях, при которых вращение нс вызывает лобавочных давлений па ось, т. е. об условиях, при которых динамические реакции делаются равными статическим. Нри произвольных условиях вращения твердого тела динамические реакции могут весьма сильно отличаться от статических. Это видно хотя бы из того, что если бы в случае равновесия все внешние активные силы равнялись нулю, то и реакции также были бы равны нулю; однако при вращении твердого тела около неподвижной оси динамические реакции при отсутствии внешних активных сил уже не будут равняться нулю, так как левые части четырех из уравнений (8) не равны нулю. Отсюда, между прочим, ясно, что для получения давления на ось, вызываемого вращением тела, нужно внешние лктивные силы в этих уравнениях приравнять нулю. Найдем условия, при которых вращение твердого тела не вызывает добавочных реакций, т.
е. условия, при которых динамические реакции равны статическим; для этого необходимо и достаточно, чтобы левые части уравнений (8), за исключением, конечно, последнего, не содержащего реакций, равнялись пулю, т. е. угсоуэ+ усьу = О, уу,эуэ — 1 „гэ = О, и хсо> — усгээ = О ./ууэу+./,„ыэ = О.
(9) Так как определители "с=Ус=О Ууг=Ууу=О т. е, если центр тяжести тела лежит на оси вращения и ось вращения будет главной осью инерции для одной из своих точек. Соединяя при вращении тела не равны нулю, то равенства (9) могут иметь место тогда и только тогда, когда а!2! ВРАщение тВеРЛОГО телА ВОкРуГ непОдВижнОЙ Оси ]51 д2,Р lо — — — — М5"а з1п Ф. йр (10г где уо есть момент инерции тела относительно оси г. у'равнение 130) можно представить в виде ~'ф, АГйа з!и ф 0 ~о (10') Сравнивая уравнение (1О') с уравнением движения плоского (кругового) математического маятника, которое имеет Вид (см, ч. 1, 9 38) — + — тиф=О, й ф йг2 оба результата, можем сказать, что при вращении абсолютно твердого тела не возникает добавочных давлений на ось вращения.
т. е. динамические давления разны статическим тогда и только тогда, когда осью вращения будет одна из глазных центральных осей инерции, Все изложенное относилось к вращению несвободного твердого тела, у которого закреплены две точки. Рассмотрим, при каких условиях может происходить вращательное движение свободного твердого тела. Лопустим, что никакие заданные внешние силы на тело не действуют. Поскольку тело является свободным, все реакции связей будут также равны нулю.
Тогда из у12авнений (8) следует, что и в данном случае должны выполняться условия (9), т. е. свободное тело может совершать чисто вращательное движение только вокруг одной из своих главных центральных осей инерции. По этой причине указанные оси называют еще свободными осями вращения. В поле тяжести твердое тело может также совершать чисто вращательное движение вокруг одной из своих главных центральных осей инерции, если закрепить какую-нибудь одну из точен втой оси и если равнодействующая сил тяжести будет проходить через эту точку; примером служит вращение вертикального волчка. Юу 4.
Физический маятник. Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, Рис. 50. которое может вращаться вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести. Ось вращения будем считать горизонтальной и примем ее за ось г. Примем за плоскость ху вертикальную плоскость, перпендикулярную к оси я и проходящую через центр тяжести С маятника (рис. 50). Составляя для маятника уравнение движения 12) и вводя обозначение ОС=а, получим ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 152 [ГЛ. ПГ находим, что физический маятник будет колебаться по такому же аакону, как плоский математический маятнкк длиною уо о Ма ' (11) где а есть расстояние от центра тяжести до оси вращения; такой математический маятник называют синхронным данному физическому. а величину 1 — приведенной длиной физического маятника.
Для малых колебаний физического маятника полагаем з1п ф ж ег тогда уравнение (10') примет вид Дгт Мда — г+ — ф=б. уо Откуда ф = аз1п()/ ~~ Ф.+е), о где а и е — постоянные, определяемые из начальных условий движения. Период малых колебаний физического маятника будет, очевидно, ур т=2п У 0 У МА (12) Полагая Уо —— МГ', где Г есть рвднус инерции тела относительно оси з, получим из равенства (11) для приведенной длины физического маятника выражение Гг (13) Так как по теореме Гюйгенса Уо —— ./ +Маг, 1го=ф+аг (14) гс г 1= а+ —. а (15) Из равенства (15) видно, что всегда 1) а, т. е. приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния от центра .г 'с тяжести до оси вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
