1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда для системы с л степенями свободы существует и положительных чисел Р„Р,, ..., Р„, получаемых как вначения потенциальной энергии Ъ'(дн дю ..., ч ), если последовательно приравнивать модули обобщенных координат числу р. Таким образом, Р =~Э, гн ~н" .
~.~. ° б ° ° 6. О Рз=~ (ч р т ° ° ' р~). или т+ )г= те+ )ге, т =(т, ~-),) — )г. откуда Но поскольку всегда Т ~ О, то, следовательно, в любой момент движения ~ ~то+~о (3) Так как в области О потенциальная энергия положительна, сумма (Т + Ие) непременно положительна, и вследствие непрерывности Т . Уе эту сумму можно сделать сколь угодно малой. Иначе говоря, можно найти число т), меньшее р, такое, что при ~р,о! (т) " ! рю~ ( Ч будет иметь место следующее неравенство: (То+" о) ~ ' ) ~) Чтобы удовлетворить этому неравенству, достаточно, например, вм- Р Р брать такие у цику ь чтобы было Т, < — н Уе < —.
1 2 2' " =У(Ю» ~ . с.-н Ф. а Пусть наименьшее из чисел Рп Рю ..., Р„есть Р; тогда обязательно )г(дп ..., д„))~Р, как только одна из обобщенных координат достигнет по модулю значения, равного р, а все другие координаты будут принимать любые значения в области О. Отклоним систему от положения равновесия, давая координатам п„значения д„> по модулю, меньшие р, и сообщим точкам системы начальные скоРости тнз, ош, ..., о„з. Тогда система пРидет в движение, и поскольку она консервативна и склерономна, будет иметь место интеграл энергии УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ.
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ 127 Тогда из неравенства (3) следует, что в любой момент движения Р— У'> О. (4) Поскольку начальные значения обобщенных координат лежат внутри Области 1:), то из (4) мы видим, что ни одна из координат о, не может во время движения достигнуть значения р (т. е, система не может выйти из области О), так как тогда разность (Р— )г) становилась бы отрицательной, что невозможно. Следовательно, конфигурация равновесия системы устойчива. Теорема, противоположная теореме Лежен Лирихле, формулируетсв так: если для некоторой конгригурации консервативной система потенциальная энергии )г имеет стационарное значение и не есть .иинимум, то равновесие системы неустойчиво. Эта теорема может быть доказана только с некоторыми ограничениями.
Ляпунов доказал две теоремы, устанавливающие критерии неустойчивости равновесия консервативной системы, которыми практически Охватываются все возможные случаи, Первая. теорема относится к случаю, когда разложение потенциальной энергии в ряд вблизи положения равновесия (см. ряд (12) в $9) начинается с членов второго порядка. Эта теорема гласит; если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума, причем отсутствие мини, чума устанавливается по разложению потенциальной энергии в ряд, в котором сохранены только члена второго аорядка, то равновесие системы неустойчиво. Вторая теорема устанавливает критерий неустойчивости для случая, когда разложение потенпиальной энергии в ряд начинается с членов третьего илн более высокого порядка.
Она гласит: если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия максимум, причем наличие максимума устанавливается по разложению потенциальной энергии в рлд, в котором сохранены члены наименьшего порядка, не обратившиеся е нули, то равновесие система неустойчиво.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА В 11. Геометрия масс 1. Понятие о твердом теле. Как известно, система материальных точек (частиц), в которой расстояния между двумя любыми точками остаются постоянными, нааывается неизменяемой системой. Если же, кроме того, точки системы расположены непрерывно, т. е. заполняют область пространства, занятую системой, сплошным образом, то такая неизменяемая система называется абсолютно твердым телом. Абсолютно твердое тело, согласно определению, не может подвергаться никаким деформациям и представляет собой идеальный образ, который тем ближе подходит к реальному твердому телу, чем меньше последнее способно деформироваться под действием сил.
Благодаря неизменяемости расстояний между своими частицами, абсолютно твердое тело представляет собой механическую систему, отличающуюся по сравнению с другими системами особыми свойствами, вследствие чего динамика твердого тела выделяется в особую главу, тем более, что эта глава динамики имеет большое значение в технических приложениях. В конце главы ) было указано. что для определения движения неизменяемой системы достаточно уравнений, которые дают теоремы об изменении количества движения и кинетического момента системы, поэтому уравнения движения абсолютно твердого тела представляют собой развитие этих уравнений.
2. Характеристики распределения масс. В динамике абсолютно твердого тела играют большую роль величины, характеризующие распрелеление масс в теле. Учение об этих величинах носит название геометрии масс. Величины, характеризующие распределение масс в системе, носят название (не совсем удачное) моментов' ). Момент представляет собой ') Это понятие относится к любой механической системе. Но в случае абсолютно твердого тела для системы координат, связанной с этим телом, величины моментов будут постояннымн н могут быть заранее определены кзк характеристики распределения масс в теле (см., например, 5 2, п. 8).
ГЕОМЕТРИЯ МАСС сумму произведений масс всех точек системы на однородную функцию координат этих точек, т. е. имеет вид ~ т!х!у!х!, причем яач ь и=а+и+у называется степенью момента. Если массы распределены непрерывно и плотность тела р (отношение массы частицы тела н ее объему) есть непрерывная функция координат, т. е. р = р(х, у, я), то момент выражается в виде объемного интеграла ~ ~ ~ р(х, у, г) х'унитах ауйя, взятого по всему объему тела (если же функция р прерывна, то интеграл берется в смысле Стилтьеса). Когда тело однородно, плотность р от координат не ззвиснт, и момен имеет вид р ~ ~ ~ хау хтйхйу да, т. е.
представляет собой произведение плотности на объемный интег- рал от функции только координат, которь!й будет уже чисто геомет- рической величиной; эту величину мы будем называть геометри- ческим моментом и-й степени. Таким образом, в случае однород- ного тела момент (физический) равен плотности, умноженной на геометрический момент.
В механике встречаются обыкновенно только моменты первой и второй степени; моментами высших степеней иногда пользуются в теории прочности. 3. Моменты первой степени, Моменты первой степени, называе- мые обычно статическими моментами, выражаются величи- нами ~~'.~~т!г!, где г! есть радиус-вектор частицы с массой то Это выражение представляет собой статический момент системы отно- сительно центра О, служащего началом векторов гн Известно, что ~ч'„т! з= Игс, где !И есть масса всей системы, а гс — радиус-вектор центра масс; поэтому, если центр О совпадает с центром масс, то статический момент ~~",т!г! обращается в нуль. Ясно, что ~ т!г! = ~ т!х!а+ ~~~ т!уьу+ ~~~~~ т!х!и.
! ! Величины ~~~~ ~т,хо ~т!у!, ~'.~т!г! представляют собой статича! ! ! сние моменты относительно ноординатныхплосностей ух, гх, ху, причем ~,'т!х!=Мха, ~т!у!=Мус, ~т!8!=1Ихс, ! ! ! 9 Н. Н. Буьгоььц ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. (Ч где хс, Ус, Яс сУть кооРдинаты центРа масс, РазмеРность стати- ческого момента равна произведению размерностей массы и длины. Если начало координат О совладает с центром масс С. то стати- ческие моменты относительно координатных плоскостей будут, оче- видно, также равны нулю. 4.
Моменты второй степени. Моменты второй степени имеют вид: у(ую=Хтх ' у(гх)=Хту ' у(ху) =Хтх) l„„= ~~'.~ т(у'+ г'),,/ту = ~ т(гз+-х'), l„= ~ т (х'+ ут); lо =,", т (хт+. ут+ зя) = ч', тгз. Первые три из них, представляющие суммы произведений масс на квадраты их расстояний соответственно до плоскостей ух, гх, ху, называются моментами инерции относительно этих плоско- стей, вторые три называются центробежными моментами нли произведениями инерции, три третьих, как суммы произведений нз масс на квадраты нх расстояний до осей х, у, е, — моментами инерции относительно этих осей или осевыми моментами инер- ции; наконец, последний, как сумма произведений из масс на квадрат их расстояний до точки О, — моментом инерции относительно точки О, или, иначе, полярным моментом инерции относительно этой точки.
Из этих определений ясно, что: 1) Размерность момента второй степени равна произведению раз- мерностей массы и квадрата длины, Единицей измерения этой величины в системе СИ будет 1 нм', а в технической системе единиц— 1 кГм сект. 2) Сумма трех плоскостных моментов инерции равна полярному моменту инерции, т.
е, '-Г(уг)+ '1(хх)+ )(ху) = УО 3) Сумма трех осевых моментов инерции равна удвоенному по- лярному моменту инерции, т. е. У х+Ууу+ l„= 220. 4) Сумма двух осевых моментов инерции всегда больше треть- его, т, е. В самом деле, так как Хт(ут+ ')+Х (ха+ха=Хт(х'+у')+2 артха то ~ч.", т(ут-1- вя)+,»~(т(г'+ х') > ~ч.", т(х'+.у') и т. д.
э гц ГЕОМЕТРИЯ МАСС 6. Момент инерции относительно оси, В динамике твердого тела из моментов второй степени преимущественно встречаются моменты инерции относительно оси (осевые) и произведения инерции. Как уже было сказано, моментом инерции системы относительно данной оси, например оси х, называется сумма произведений масс точек системы на квадраты их расстояний до этой оси, т. е. выра- 2 жение вида ~ лг,йи где суммирование распространяется на все точки системы (см. Э 2, п. 8). Если мы имеем сплошное абсолютно твердое тело, то масса элементарной частицы тела будет равна р с(о, где р есть плотность тела, а ИΠ— элемент объема; поэтому момент инерции относительно оси х в этом случае выразится (если р есть непрерывная функция координат) объемным интегралом, взятым по всему объему тела, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
