1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. меньше числа обобщенных координат и (в отличие от обобщенных сил ф. входящих в выражение (16), которые вычисляются для всех вариапий координат и число которых равно п). Таким образом, п дифференциалов 11!71, ..., а!!7„, а также и вариаций Ь!7! Ь!7!...., Ь!7„ связаны г условиями (56) и (56'); поэтому число независимых дифференциалов и вариаций (а следовательно, и число степеней свободы системы) будет равно и — г (см. 9 1, п. 2). Посредством рааенств (56) и (56') исключим из уравнений (55) г зависимых дифференциалов и вариаций; получим, обозначая соответствующие коэффициенты через А,! и А л-г и-г г'хт Х Ажа)!+Ал~~~ Ьхт Х Ал1ЬЧ! (т 1 2 ''' Зч) (57) 1=1 1=1 $81 уРАВнения дВижения В ОБОБшенных кООРдинАтАх 89 Преобразуем теперь левую часть уравнения (58). Разделив первую группу уравнений (57) на а1, получим л г х»=~ А»1«1.+А» (У=1, 2, .„ЗЛ'); продифференцнровав зто равенство по времени, найдем л-г л-г л л л-г 1 1 1=1 7=1 «! »/ ,=1 (У=1, 2, ..., ЗМ).
Из полученного равенства имеем дх д« тогда левую часть уравнения (58) можно представить в виде л / 31» л-г зм ~', '~' т,х,А„5«, = '~~ ,'~„т,х, — '"..' 5«Р 1=1»=1 1=1»=1 Введем функцию 1 ъ-~ 8= — ~т х', (61) которая по аналогии с кинетической знергией называется енергией ускорений. Тогда, очевидно, ЗА1 1 - дх д5 т х, —,.' = — „. (1 = 1, 2, ..., и — г) д«, д« и уравнение (58) преобразуется к виду л-г '~~(д". — д,')5«,=6, откуда, так как вариации Ь«1 алесь независимы, имеем — =1е1 (1= 1, 2, ..., и — г), д8 д« (62) Уравнения (62) и представляют собой уравнения Алиеля; онн, как н уравнения Лагранжа, образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, число которых равно л — г, т.
е. числу степеней свободы системы (а не числу и обобщенных координат). 166 РРАвиенИя двИЖЕиня СИСтеМЫ млтЕРИАЛьныл тОчек 1гл и 5А = !ч11 5111+ (~1 61)я+ + Ял бр» и из этого выражения посредством уравнений (56'), выражающих условия, налагаемые на вариации координат дифференциальными связями, исключаются вариации зависимых координат; тогда коэффициенты прн вариациях л — г независимых координат, дадут величины !'1!', С;1,', ..., ()„' „. После этого составляются уравнения (62), которые вместе с уравнениями дифференциальных связей (56) дают систему п уравнений для определения л функций !11, ою ..., дл. Заметим, что для энергии ускорений о имеет место теорема, аналогичная теореме Квнига для кинетической энергии (см.
й 2, п. 6). Применяя те же обозначения, что и в $ 2, имеем ч=1 или, так как г = го+ г, Последний член правой части равен нулю, так как з!ч а ч' л! г,'=О. Ч ! ч 1 Следовательно, С+2 Д ч ч! 1 (63) ч ! где ю,' есть ускорение в движении системы относительно центра масс, Для получения уравнений (62) надо составить выражение энергии ускорения 5 (61), выразив в нем все ускорения через координаты д! 1)я, ..., дл, а затем посРедством УРавнений неголоиомных свЯ- зей (56) исключить из Ь' вторые производные тех из координат ~у, которые в силу уравнений (56) являются зависимымн (при всех этих расчетах слагаемые, не содержащие !1, могут, очевидно, не вычисляться).
Для нахождения 1;!1' составляется выражение элементарной работы действующих сил в виде (16), т. е. ч з1 уРАВнения дВижения В ОБОБщенных кООРдинАтАх 1О1 Уравнением (63) бывает удобно пользоваться для вычисления виергнн ускорений твердых тел. Пример. Рассмотрим движение вдоль наклонной плоскости саней, (рис. 37, а), пренебрегая трением. Система является неголономной, если считать, что сани не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к полозьям, Положение саней в плоскости движения Оху определяется тремя координатами, в качестве которых выберем декартовы координаты х, у центра масс С саней н угол р, который полозья образуют с линией наибольшего ската (рис. 37, б), т. е. примем рз =х, зуз= у из=а.
Рис. 37. В силу указанного выше условия вектор скорости в центра масс саней всегда направлен параллельно полозьям, что налагает на его проекции х, у условие у = х 1Р В или х (п зз — у = О. Это уравнение неголономной связи аида (52) или (56). На сани в плоскости движения действует составляющая силы тяжести тл, (л, = л з1па), параллельная оси х; кроме того, для уяснения всех особенностей метода допустим еще, что к саням приложена в центре масс С постоянная сила Р = та, параллельная оси у (на рисунке сила б'не показана).
1) Уравнения с множителями. Составим сначала уравнения движения саней, пользуясь уравнениями (54) с множителями ЛР. Кинетическая знергия системы по теореме Квнига будет Т= — (ха+ у')+ — з" т ° ° 1 2 2 с (б) где l — момент инерции саней относительно оси, проходящей через центр С с перпендикулярно к плоскости ху. Выражение злементарной работы действующих сил имеет внд бА= тл, Ьх+ табу; (в) следовательно, З;З, = тЯР ()з = та, ()з -— — О.
Уравнение (а) накладывает на вариации координат условие (я В . бх — Ьу = О. (г) тх = т(, + Л (пф, ту =та — Л, Устф = О. (д) Присоединяя сюда уравнение связи (а), получаем четыре уравнения для определения четырех функций х, у, ф, Л. для решении системы исключаем сначала из первых двух уравнений системы (д) множитель Л; сокращая одновременно на т, получаем х + у (Я ф = я, + а (п ф. (е) Отсюда в свою очередь с помощью уравнения (а) исключаем вторую производную от зависимой координаты у. Дифференцируя равенство (з), имеем х (д ф + хф —, =- у. 1 (ж) Подставляя это значение у в равенство (е), получаем х (1 + 1пт ф) + хф — = и, + а 1п ф (йф созт ф Окончательно задача сводится к интегрированию системы уравнений х + хф 1й ф = А~1 соз ф+ а з1п ф соя ф, ф = О.
(з) 2) Уравнения Аппеля. Покажем тепергь как этот же результат получается с помощью уравнений Лппеля. Для составления энергии ускорений воспользуемся формулой (ОЬ). Учитывая, что движение саней относительно цшгтра масс является вращательным вокруг оси С» и при этом и =А )тф'+ф', где А — расстояние какой-либо точки саней от оси вращения, а и ', т А„= лсл, найдем т т - - 1 .ч (,гт+ у"т)+ г (фа+а) Исключаем отсюда вторую производную от зависимой ноординаты у с помощью уравнения связи (а). Это уравнение дает для у выражение (ж); в результате получим тт х* - ° ° (цфт Ь'= — ~ +2ххф — )+ — у 2 соэт ф соз'ф) 2 с» (и) где многоточие указывает на невыписанные члены, не содержащие х или ф.
Для нахождения Цс обратимся к выражению элементарной работы (в). Входящие туда вариации Ьх, Ьу связаны в силу уравнения (а) условием (п ф Ьх — Ьу = О, откуда Ьу = (е ф Ьх. Подставляя зто значение Ьу в равенство (в), получим ЬА = (та, + та (Я ф) Ьх + О ° Ьф. 1О2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. Н Сравнивая это выражение с равенством (52'), заключаем, что в нашем случае А„=(пф; Ан — 1; Аы — О и уравнении (54) принимают вид аз! гвлвннния двидсннин в ововщннных координатах 1(ц Следовательно, !)~„! — — (шк + !Кф), !2' (к) Составляя теперь с помощью функции (и) уравнения дЗ д8 —.. - Е!.! —.. -()„,. дх " дфр найдем — +'а —,)= (д+ !аа)! У,а=о. В результате сразу получаем систему (з), 3) И н те г ри ров а и ие у р а в не и и й движения.
Проинтегрируем теперь дифференциальные уравнения движения, считая, что при! =О х = О, у =О, а= О, х =ос, а=аз (величина уз не может быть задаваема, так как она связана с хз соотношением (а)). Кроме того, будем считать, что на сани действует только сила твжести, т. е. положим а =О (скла Р гла была введена лишь с целью отметить все особенности вычисления величин !',),). Тогда из второго уравнения системы (з) получаем р = аз! и первое уравнение принимает внд «+азх !Н аз« = ~! сов«аз«, Это линейное уравнение легко интегрируется, например, подстановкой х рр н прн указанных выше начальных условиях дает х = — з!паз! созазт+озсоваз(! А'1 аз тогда из уравнения (а) имеем у = — ' в!и аФ+озв!па4. ар Интегрируя полученные уравнения еще раз и учитывав начальные условия, найдем окончательно Х = — тв1П аз!+ — З)н май а 1 .
2 «'з 2ао "з (л) у = г+ — (! — соз аз!) — — з)п 2азй 2ао 'зз ф =азй Уравнения (л) и определяют закон движения саней. Из ник следует, что сани будут равномерно вращаться вокруг центра масс с угловой скоростью аз, а центр масс будет описывать кривую, заключенную между гол! "о "о ризонтальиыми прямыми х = — + — и х = — —, в чем можно убедиться, з 2ао ао 2е ! решив уравнение х =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
