1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вводя теперь новый символ, так называемый символ Кристоффеля 2-го рода, Г ')= — 1,~'.'1 ' (41) нолучим окончательно л п Ч!+,~~ ~ «Ч!Чу= ~ алая (1=1, 2...., а). (42) !, у=! я=! Равенства (42) выражают . уравнения Лагранжа в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнениИ второго норядка с ис.комыми функциями Ч. разрешенных относительно вторых нроиаводных. Еслл мы нредположим, что движущаяся система свободна от действия активных сил, т. е. (;!в — — О (У!=1, 2, ..., л), и будем рассматривать систему как точку в л-мерном нространстве (см.
н. 2 этого параграфа), то изображающая систему точка будет двигаться по геодезической линии данного н-мерного пространства; следовательно, система уравнений — + У ~ ~ — „— „=0 (1=1,2,...,л) (43) .,у! будет представлять собой дифференциальные уравнения геодезических линий л-мерного пространства в параметрической форме, причем У будет параметром. 8. Игнорирование координат. функция Рауса. Как известно (см. ч.
1, й 40, н. 7), циклической координатой называется координата, входящая в лагранжеву функцию у.(Ч, Ч; у) только своей производной; явно, следовательно, эта координата в у. не содержится. 'Раус показал, что в таком случае число уравнений движения можно уменьшить на чйсло циклических координат. Пусть, для определенности, будут циклическими первые У координат, т.
е. Чн суз, ..., Чн где у ~( л; производные !ун !уя, ..., !у, от циклических координат будем называть циклическими скоростями; тогда у-=у.(Ч!+1 ° ° ° !ул! Ч! Чз ° Ч! Ч!т! ° ° ° Чл' !). 4 81 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 93 Для циклических координат д1, ..., д1, очевидно, имеем — =О (й=1, 2...„1), дь дйа и поэтому уравнения движения для этих координат примут вид — — ~=0 (й=1, 2, ..., 1). й /дб1 И ~дде/ (44> Интегрируя этн 1 уравнений, находим 1 первых интегралов уравнений движения: — =са (й=1, 2, ..., 1), дЕ. (45) дда В функции Реуса производные циклических координат д1, .... д1 за- менены указанным выше способом, и потому )с=К(41+1, ..., д„; у1+1, ...„д„; с,, сю ..., с11 1).
Варьируя правые и левые части равенства (46), находим дтс + ч~)ч~ д)т ~ч~ д11 ~ дй дЧА дП А 1 дсд А , два и ! +,'» —.б4',+ ~ —.б4,— ~б~ —.)д,— '~„—.б4,. И, дй . "1 1 дй 1 1 дЕ А=1 да д А=1+1 А=1 «» А=1 '1д ! д' В правой части полученного равенства второй н последний члены сокращаются, Тогда, приравнивая в обеих частях этого равенства где сн см ..., с1 сУть пРоизвольные постоЯнные; эти интегРалы бУ- дем называть циклическими интегралами. Выразив нз этих равенств производные циклических координат, т. е.
д1, дм ..., д~, в функции остальных нециклических координат, их производных и произвольных постоянных сн ся, ..., с1 и подставив найденные функции вместо 1)Р 1ум ..., ~у1 в оставшиеся 6 — 1 уравнений движения, получим, опять лагранжеву систему уравнений движения, но уже с л — 1 неизнестными. Это и выполнил Раус (цоцФ); примененный им способ называется способом исключения или игнорирования координат. Введем новую функцию, играющую ту же роль, что и функция Лагранжа. Эта функция, называемая функцией Рауса, имеет вид )с =1 —,~, аа д множители при одинаковых вариациях и учитывая при этом, что, !дАТ согласно равенствам (45), Ь~ —.~=Ьса, находим '1 д421 (л 1+ 1 и) дЯ д дса (47) дЬ д). Подставляя найденные выражения для — и —.
в уравнения двид42 дда ження (21), получим — ~ —.~ — — =0 (1=1+1, ..., Л). (48) 1 дА'1 дР ш '1дда) д42 Таким образом, мы действительно получаем и — 1 уравнений того же лагранжева вида, но в которых роль функции Лагранжа играет функция Рауса; эти уравнения содержат только нецнклическке координаты и их производные, Зная функцию Рауса, легко определить и циклические координаты„так как последнее из равенств (47) дает .~ дс (49) В заключение отметим, что если сс явно от времени не зависит, то уравнения (48) дают обобщенный интеграл энергии (см.
п. Ь): 94 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1ГЛ.!2 %ч д22 — се+ ~„—.д =сопз1, «=Ы1 Если же, кроме того, сс' есть функция второй степени от нециклн- ческих скоростей 171с и д„2, ..., 17„, т. е. если 772+ 111+ 710' то предыдущий интеграл обратится в интеграл Якоби СС2 — ССЗ = СОПЗП члены, содержащиеся в 171, будут в этом случае гироскопическими членами функции )11. Пример.
В задачах, рассмотренных выше (п. 6), все нли часть координат были циклическими, чем мы непосредственно пользовались при интегрировании сравнительно простых уравнений, ие вводя функции Рауса. Покажем на примере, как производится игнорирование циклических координат методом Рауса. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, определяемую координатами е, и аз, 'пусть кинетическая энергия системы равна Т 1 '?~ 1. 2 а+Ьд, '2 а потеициальная ]г= С+ЕЕ2, 2 причем а, Ь, с, е суть постоянные. Функция й выразится так: '2 1 92 1 2, й= Т вЂ” ]г= —, 2 2 2 + — е- — с — е» .
л+ ЬТ2 2 Координата е1 будет циклической. Циклический интеграл получим в виде дЬ =а, де, а+ й?~2 откуда е2 — — а (а+ ЬВ22), где а есть постоянная, определяемая начальными условиями. Составляем фуикцию ??; имеем 1., 2 Л вЂ” й — —,е,= , + — б2 — с — езт. др~ 2 а+ Ьезт 2 Исключая циклическую скорость еь получим ?? = 2 Ч2 — с — ебт — — аэ (л+ Ьбз). 1 2 2 1 2 2 2 Задача сводится к интегрированию одного уравнения д д?? д?? — — — — =О д? дет др2 или уз+ (2е+ Ьал) зз О, еэ А з]п(ЗТ2е+ Ьагт+ з), откуда где А и е — постоянные ивтегрирования, определяемые по начальным условиям, Циклическая координата а, получится из уравнения б~ — ] д д?=а ~ (а+Ьчзз)д?.
д?? Подставляя сюда вместо зэ найденное выражение и выполняя интегрирование, найдем до В З] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 9Ч 9. Уравнении движения неголоиомной системы в обобщенных координатах с множителями Лагранжа (уравнения Рауса). Пусть на систему материальных точек наложено 1з голономных связей, уравнения которых имеют вид Ух(х, Г)=0 (к=1, 2, ... Н), (50) и г неголономных линейных связей, выраженных уравнениями вида зм ~ а с(х,+ар!(1=0 (р=1, 2, ..., г). (50') « Учитывая сначала только голономные связи и вводя п=31! — !з обобщенных координат д1, мы, рассуждая так же. как и в п. 1, придем к уравнению (9) л ,'«~ ( !Ч вЂ” ~ — ( — '1 — — Ц Ьг — О.
ю 1 (51) Однако теперь в данном равенстве вследствие условий (50') вариа- ции Ьд! не независимы, а потому коэффициенты при Вариациях б!т! вообще не равны нулю. Для получения уравнений движения в этом случае применим способ неопределенных множителей (см. й 7). так как х,=1р (р, 1), то дх = — ж+~,— ад! («=1, 2, ..., ЗМ). дх« дх« д! дд1 ! 1 Подставляя эти выражения с(х«в равенства (50'), преобразуем урав- нения неголономных связей к обобщенным координатам; имеем л зр! ~Умар„~~~ — «с(1У!+ ~У ар — «!!1+ар!11=0 (Р=1 2, ..., г), «=1 1=1 «=1 или, меняя порядок суммированию в двойной сумме, У ЗА 1=1 «=1 «=1 Вводя обозначения ЗФ З1« «=1 «=1 получим уравнения неголономных связей в обобщенных координатах ь виде Ар, и!У! + Ар с(! = 0 1=1 (р=1.
2, .... !). (52) еб УРАвнення дВижения системы мАтеРНАльных точек 1гл. ы Условия, налагаемые этими связями на изохронные вариации координат, будут и ~~ Ар,бл~ — — О (р=1, 2, ..., г). (52') Умножим теперь обе части равенств (52') на Хр и просуммируем по р; получим г л л / г ),р „'Р~ Ар,.
54, = ~~'„', ~ ~ ) рАа~ бп; = О. Сложив почленно равенство (53) с уравнением (51), найдем (53) В этом равенстве всего и вариаций блм ..., бд„, из них, в силу условий (50'), г зависимых; но н число неопределенных множителей Х тоже равно г. Тогда, применяя обычные при способе неопределенных множителей рассуждения, получим и уравнений движения системы в виде — ! —.) — — =ф+ У Х А ~ (1=1, 2, ..., л). (54) р=~ Присоединяя к этим уравнениям уравнения связей (52), будем иметь полную систему и+г уравнений с и-+г неизвестными функциями дп р~ь ..., д„и ).н ).м ..., Л,.
Заметим, что идея обобщенных коор.- динат по самому смыслу предполагает, что и их вариации независимы. чего нет в рассмотренном методе, Этот метод. предложенный Рау- сом, является комбинацией Лагранжевых методов обобщенных коор- динат и неопределенных множителей. Поэтому в уравнения (54) входят еще множители Хр, т. е. реакции связей, чем утрачивается одно из важных преимуществ уравнений Лагранжа 2-го рода.
10. Уравнения Аннели. Аппель в 1899 г. нашел уравнения, которые по типу своему близко подходят к уравнениям Лагранжа 2-го рода и применимы к неголономным системам (а следовательно, и к голономным, которые являются частным случаем неголономных). Выведем эти уравнения из основного уравнения динамики Далам- бера — Лагранжа. Пусть имеем систему М материальных точек, положение которой определяется а обобщенными координатами дн дм ..., д„; тогда х,=гр„(Ч; 1) и, следовательно, й и ~а~~~ д~ лчг '+ рг а1.
блт= ~~ л "67~ (я=1, 2, ..., ЗИ). (55) ю =! 1=1 7 и. и. вуаголъц эз1 тядвнвиия движвния в ововщвниых коогдинлтлх йу 98 уРАВнения дВижения системы мАтеРиАльных точек 1Гл. !! Пусть, далее, на систему наложены цеголономные связи, уравнения которых в обобщенных координатах имеют вид ~", ар!11!7!+а с(Г=О (р=1. 2, ..., г). (56) 1=! Зти связи, как известно, налагзют на вариапни координат условия л хл ар! Ьу, = О (р = 1, 2, ..., г).
(56') ,=1 причем здесь дифференциалы и вариации будут уже независимы. Возьмем уравнение Даламбера — Лагранжа ЗА ~~~~ (Х вЂ” т х„)Ьхл= О и=1 и вставим в него выражения вариаций Ьх, из равенств (57); получим л-г зм л-! ЗА! Х Х лгтхлАТ! Ьг)! = Х Х ХТАТ! 59!. В правой части уравнения (58) стоит элементарная работа активных сил, которую, введя обозначения зп ~ ХТА ! =ф (1=1, 2, ..., и — г), У ! (59) можно представить в виде «-и зл' и-г Ъ; ~~~~ Х А ГЬ!7! = ~ ьГ!'Ь!71, (60) Величины Ц; являются здесь обобщенными силами для независимых вариаций обобщенных координат и число их равно а — г, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
