1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е, когда потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия минимум; 3) когда в области 1) значение У может быть и больше и меньше нуля, т. е. П7 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ в положении равновесия потенциальная энергия будет ни щахпппт, ни ппп1вцш (так называемый т!Е(щах). Мы ограничимся исследованием только первых двух случаев: 1. И < О; тогда Л < О и, следовательно, корни квадратного трехчлена действительные и различные. Из выражения для корней Х следует. что они будут положительными, если квадратный корень взять со знаком плюс, и, наоборот, отрицательными, если квадратный корень взять со знаком минус.
Тогда в равенствах (17), определяющих значения координат 7„множители е а, для которых АГ Х„> О, будут со временем неограниченно возрастать и, следовательно, система будет все больше и больше удаляться от положении равновесия. Равновесие системы в этом случае называют неустойчивым. Таким образом, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум, то равновесие системы в этом положении будет неустойчивым (по первому приближению).
Если такую систему вывести из положения равновесия. то вначале, вблизи положения рзвновесия, ее движение будет апериоднческим (т. е, не колебательным). О характере последующего движения системы по первому приближению здесь, конечно, судить нельзя. Д. 1' > О. В этом случае малые движения системы носят различный характер в зависимости от того, будет ли сопротивление среды очень велико, очень мало или равно нулю; каждый из этик случаев рассмотрим в отдельности: 1) Сопротивление велико настолько, что гчч > 4Ъ~Т и при этом гз < О; тогда корни Л квадратного трехчлена будут действительными и отрицательными. В этом случае в равенствах (17) все е ~ < 1 и со временем неограниченно убывают, стремясь к нулевым значениям; система при этом асимптотически возвращается в равновесное положение.
Состояние равновесия, для которого это имеет место, называют устойчивым. 2) Сопротивление настолько мало, что Га < 4'ЕТ и гз > О; тогда корни квадратного трехчлена будут комплексные н сопряженные вида Хв )г„+ (ч„(а=1, 2, ..., л). Докажем, что вещественная часть корней ц„отрицательна. По известному свойству корней квадратного уравнения будем иметь из уравнения (21) Л+Х =2р= Р(")+Р(В) Так как функции г" и 7' положительны, то ив полученного соотношения заключаем, что )г < О. Принимая во внимание доказанное, 1гл. Еи МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ пз можем корень Х, представить в виде — + 1Ч, а а — а где р„суть числа только положительные. В таком случае выраже- ния для координат 17, в равенствах (17) будут следующими: д,= ~Ч~~ е "а 1А",е а +А",е '"а~ (я=1, 2, ..., л).
(23) а=1 Делая известные преобразования, можно вместо показательных функ- ций мнимого аргумента ввести функции тригонометрические; тогда получим и д,= ~ е "а (а,соз(т ~)+Ь,Е1п(та1)~ (а=1, 2, ..., л). (23') а=1 Равновесие системы адесь также будет устойчивым, а ее малые дви- жения вблизи положения равновесия представляют собой затухающие колебания. Резюмируя оба случая, можем сказать, что если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия минимум, то равно- весие системы в данном положении будет устойчивым. Вели такой системе сообщить небольшое возмущение, то она будет стремиться вернуться в положение равновесия.
Возникающие при этом малые движения будут апериодическими, если сопротивление среды велико, нли затухающими колебаниями, если сопротивление среды мало, 3) Р = О (сопротивление отсутствует). В этом случае, полагая в уравнении (21) Р = О, найдем, что . / И(а)+ ти(3) У Т(а)+ Т(р) а так как У > О и Т > О, то корни ). будут мнимыми, т. е. будут иметь вид Х, = + гйа (а = 1, 2, ..., л). Тогда из уравнений (17) найдем следующие выражения для координат ли: и д,= ~ )а,соз(аа()+Ь~из1п(лай)] (а=1, 2...., п), (24) а=1 или, преобразуя выражение в квадратных скобках обычным способом: и д,= ~ч~~1 В',з!п(йаг+р",) (а=1, 2.....
и). (24') а-1 Поскольку координаты всех точек системы могут быть выражены через д„то, следовательно, точки системы совершают в этом случае около их положений равновесия сложные незатухающие колебания. мАлые кОлеБАния системы (25) являющиеся в общем случае результатом суперпозиции а простых колебаний с разными частотами й„(а=!, 2, ..., Л). При этом, так как начальные возмущения считаются малыми, система во все время движения остается вблизи ее конфигурации равновесия. Равно- весие системы в этом случае также называют устойчивым (по пер- вому приближению). Однако может случиться, что некоторые корни окажутся рзвиымн между собой, например )тл=1„; в таком случае будут равны и ча- стоты соответствующих колебаний.
Из теории обыкновенных диф- ференциальных уравнений известно, что решение, соответствующее корню второй кратности, каковым является Х „, будет иметь вид (А~+ Ал1) Еьлч л~ На этом основании Лагранж полагал, что в этом случае равновесие будет неустойчивым, так как при 1-+со член А"1 также стремится к бесконечности, Эта ошибка держалась долгое время, пока Вейерштрасс не об- наружил, что это не так. В 1858 г. он доказал, что в этом случае имеет место тождественность двух или большего числа уравнений (15) в зависимости от кратности корня; следовательно, корень факти- чески остается первой кратности, и тогда отпадает решение, со- ответствующее кратному корню.
а вместе с тем и заключение Лагранжа. Вейерштрасс пришел к этому на основании теории ква- дратичных форм, каковыми являются выражения кинетической и по- тенциальной энергии: 1 жч 1 ъч л о ю Согласно теории квадратичных форм написанные квадратичные формы всегда можно привести к каноническому виду, т. е. к виду, содер- жащему скорости и координаты только в квадратах. Эта задача равносильна задаче об отыскании главных осей поверхности второго порядка или, что то же, главных направлений тензора. б.
Нормальные координаты. В общей теории квадратичных форм доказывается, что если одна из квадратичных форм Т или У является определенной (а в данном случае определенной положи- тельной формой является Т), то всегда можно найти такое линейное преобразование координат л у, = ~~'.~у,Д, (а=1, 2, ..., «), с=а что Т и 1' одновременно преобразуются к каноническому виду л 1\~ о„з Т= 2 .г1аД„ 1 ! МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ 120 1гл.
Еи где аг и сг суть коэффициенты, полученные в результате преобра- о о ловання '). Уравнения Лагранжа для координат 5г в случае отсутствия сопротивления (гч=О) примут вид !дТ1 дТ д)г — — ) — — + — =О (1=1. 2, ..., и) дг '135,) д$, дрч или, после подстановки выражений Т и )г нз равенств (25), аДс+ сгйг — — О (1=1, 2, ..., «). (26) Интегрируя этн уравнения, найдем 5г — — Агсоэ(йгр)+В,з)ВЩ) (1=1, 2, ..., Л), где со о Координаты 5г называются главными нли нормальными коордилашами. Иа полученных для 5г выражений следует, что каждая нормальная координата будет совершать гармоническое колебание со своей собственной частотой; другие же координаты, являясь линейными функциями нормальных, будут иметь сложные колебания как результат наложения и простых, что мы и имели прежде. Здесь а особенной ясностью обнаруживается тот факт, что если несколько корней, например два, между собой равны, то соответствующие им нормальные координаты имеют одинаковые частоты; при этом имеет место только явление унисона и не происходит бесконечного возрастания координат.
Ясно также, что в системе уравнений (26), а следовательно, и в системе уравнений (15) уравнения, соответствующие равным корням йи будут тождественны. б. Двойной физический маятник. Рассмотрим, как конкретно исследуются малые колебания системы около положения устойчивого равновесия ма примере двойного физического маятника, состоящего из двух однородных стержней ОА н АВ одинаковой длины 1 и массы т, соелиненных в точке А шарниром (рнс. 38).
Стержни могут совершать колебания в вертикальной плоскости Оку. Трением в осях и сопротивлением воздуха пренебрегаем. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы ф, и ф,, которые стержни образуют с вертикалью. Нетрудно убелиться, что у системы будет четыре положения равновесия: 1) ф, = О, фх О; 2) ф, = О, ф, = и; 3) ф, = и, ф, = О; 4) ф, = и, фх = и. 1) См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. Ш, ч, 1 изд. 7.
1956, стр. 137 — 133. мАЛые кОЛеБАния системы 121 При этом только для первого потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум и равновесие будет устойчивым. Исследуем малые колебания системы около этого положения равновесия. Для этого, считая ф1 и ф, малыми, вычислим кинетическую Т и потенциальную )г энергии системы, сохраняя в них члены второго порядка малостц Имеем 1 ° г ! 2 1 Т = УГг! + — тЕС+ — 12СЧ~2, 2 2 2 т!2 где l1 = — — момент инерции стержня ОА относительно осн О, 1 с 3 2 глР— — момент инерции стержня АВ относительно его центра масс С 12 н и — скорость этого центра масс.
При этом (см. рис. 38) в =и,+ес, С где численно е1 — — арт, вс —— 2фт. Следовательно, с 1 4 тт 12 Поскольку в выражении Т сохраняются только члены второго порадка малости, то, учитывая, что соэ(рт — ф,) = 1 = 1 — — (<Гт — ф,)' + ..., получим оконча- ст 2 У тельно Т= — 1ь — т! (21+ тР~р ~р + — ~Г2~ 1 Г4 2 ° 2, ° ° тР ° 2! 2 13 3 или, по аналогии с формулой (13), Т 2 (а112)1+2а1р1тт+а22412). (27) 1 '2 ' '2 где 4тР тР АР— а12 = — ат = — . (27') 3 ' 2 ' 3 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
