1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 22
Текст из файла (страница 22)
38. )(ля потенциальной энергии, если ее считать в положении равновесия равной нулю, будем иметь Г ! И= тд' 2 (1 — сок ф,)+та!ь!(1 — сов 121)+-х (1 — сок <Р1)~, 2 1 2 Замечая, что созф,=1 — — ~р1+..., совф2=1 — — ф + ... найдем со- 2 ''' 2 храняя члены второго порядка малости, )г = — тф121+ — тф122 3 4 4 !гл. Еи МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ 122 или по аналогии с формулой (12') 2 т Ъ' — (с! !Р! + 2 с!тр! Я~а + сттт!я), где 3 1 с,! = — шдг, сы — — О, 2 ' ' 2 (28') Составляя теперь для рассматриваемой системы уравнения Лагранжа (4), найдем по аналогии с (14) следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы: сия!! + аы!Р, + сиР, + сну, = О, (29) аж Р, + атт9т + с„~Р! + стяуз = О.
В рассматриваемом нами случае Ф') О (потенциальная энергии в положении равновесия имеет минимум) и В=О (сопротнвление отсутствует). Следовательно, по доказанному в п. 4 корни уравнения частот будут чисто мнимыми и общее решение должно иметь внд (24'). Поэтому для упрощения выкладок решение уравнений (29) можно сразу искать з зидс ф,=В,з!п(а(+()), фз В,з!п(а!+8). (ЗО) Подставляя зтн значения 9! и 9т в уравнении (29), получим следующие два отиородных уравнения для определения В, и В,: (си — а„а') В, +(сы — а„д') В,=О, ) (с„— а, !Л~) В, + (ст, — аыа ) Вт = О. (31) Прирзвнивая определитель втой системы пулю, находим для отыскания Л следующее уравнение частот: (с„— а!!ат) (с„— а!тИ) ==1, (с„— а!,Ат) (с,т — а!тат) ! (32) (си — ап ат) (с„— а!за') — (ты — амат)' = О.
(32') Решая это биквадратное уравнение при значениях коэффициентов, даваемых равенствами (27') и (28 ), получим а! —— 3 — (1 — — )' 7 ), ат = 3 — (1+ — )Г7 ), откуда а! =0,86 ~,~ †. Аз —— 2,30 ~' 7, 7, $У 1' ' У' 1' (ЗЗ) В результате накодим два частных линейно независимых решении уравнений (29), соответствующих частотам д! и а;. а) первое решение !у,' = В! ! з!п(а!г+()!), ~р~! = В(О з!п(л!!+8 ); (34) б) второе решение $1 = В) 5!и (lгт! + ()т), !ут —— - В)" 3!и (Мз! + (!т). (35) Два гармонических колебания, определяемых уравнениями (34) и (Зб), называют глазными колебаииЯми, а их частоты Д, и Лт — собстзлниылти ча- малые колевдиия системы 123 $21 (Сц — ацйг!) В!!и + (С22 а22й!) ВР2О = О, (сю — а!2й!) В!2!+(с 2 — аззй ) В) ! =О. (36) Так как определитель (32) втой системы при й=й, обращается в нуль, то одно из уравнений (36) является следствием другого.
Тогда, считая, иа. пример, В!'! = В1, где В! — произвольная постоянная, найдем, что й2 В) сц — ацй! — в. г22 ацй! Аналогичный результат получим для В! и В1, полагая в уравне- 2! 2! ниах (31) й=й,. Введем обозначения 2 2 сц — ацй! сц — ацй. и,= —, и,=— 2' 2' (37) е!2 - а!2й! ' с!2 - а12й2 ' Тогда В!!!=В!, В!!1=и!В;, В~~1=Щ В~1=и В (33) и решения (34), (35) примут вид: а) для первого главного колебания и~! ! — — В! з!и (й22+ 6 ), ~р~т! = н В з!и (й г+(! ), (39) б) для второго главного колебания = Вт в!и (йтг+ рт), !рт = нзВ2 мп (йтг+ рт), (40) где В! Рь Вг Вг — произвольные постоянные. Общее решение системы дифференциальных уравнений (29), содержащее указанные четыре произвольные постоянные, имеет внд ~р, = В, Ып(й,2+ 6!)+ В, з!в(йг!+62), (41) <рв= и,В, з!п(й!г+(1,)+н,В, з!п(й,г+ 62). ) Решение (41) и определяет закон сложных незатухающих малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия при произвольных начальных условиях.
Мы видим, что колебания могут быть всегда представлены как результат наложения двух главных колебаний. При соответствующих начальных условиях система может совершать одно из главных колебаний в чистом виде: первое главное колебание при В, = О или второе главное колебание при В, = О. Амплитуды каждого из главных колебаний зависят от произвольных постоянных В, или В,, определяемых по начальным условиям. Однако отношения зтих амплитуд, равные соответственно для первого главного колебания нь а для второго главного колебании нз, как видно нз равенств (37), от начальных усло!)нй не зависят.
стажами системы; при атом колебание с меньшей из частот, т. е. с частотой йь называют первым главным колебанием, а колебание с частотой йт — вторым главным колебанием. На постоянные 6! и рв никаких ограничений не накладывается; следовательно, зто произвольные постоянные. Постоянные же В!'1, В!'! и В!21, В!12! должны удовлетворять уравнениям (31) соответственно при й=й и й=й. Полагая в (31) й = йи будем иметь 124 МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ [гл.
Ви Числа и, н ль определяющие отношения амплитуд или отношения координат яь и ия при главных колебаниях, называются каэбгфаиилнтама формы этих колебаний. и рассматриваемой задаче прн значениях коэффициентов аии с, и частот, даваемых равенствамй (27'), (28') и (ЗЗ), коэффициенты формы б будут равны сп — аг,л[ = 1,43, аыд[ 2 см анл2 = — 2,10. а12вз Ла = В б Знаки коэффициентов л, н л, в данном случае оказались разными.
Отсюда следует, что если система будет совершать одно из главных колебаний, то при первом главном колебании (колебании с меньшей частотой В,) стержни в любой момент от вертикали в одну и ту же сторону (рис. 39, а), колебании с частотой Вя — в разные стороны а) Рнс. 39. времени будут отклонены а при втором главном (рнс. 39,б). ф 10. Устойчивость равновесии. Теорема Дирихле 1.
Поиитие об устойчивости равновесии. При изучении малых движений системы около положения равновесия мы столкнулись с понятием об устойчивости равновесия, смысл которого сводится к следующему. Допустим, что механическзя система в некотором положении (конфигурации) находится под действием приложенных к ней сил в равновесии.
Если эту систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам достаточно малые начальные смещения и начальные скорости, то в последующем движении точки системы могут или оставаться все время вблизи их положений равновесия, или все более н более удаляться от этих положений; в первом случае рассматриваемое положение равновесия называется устойчивым, а во втором — неустойчивым. Определим этн понятия более строго. Пусть система имеет и степеней свободы. Не нарушая общности, можно, во-первых, сделать все обобщенные координаты и обобщенные скорости безразмерными, откеся каждую из них к соответствующей, характерной для данной координаты (илн скорости) величине, и, во-вторых, как мы уже делали, отсчитывать все обобщенные координаты системы аг от конфигурации равновесия О, полагая для этой конфигурации а, =- б (я=1, 2, ..., и).
Допустим, что в некоторый момент времени (е система выведена из конфигурации равновесия; ее обобщенные координаты и скорости кстоичивость глвноввсня. тиогкмл днгихлв 125 Э >о> в этот момент обозначим через >у„ и д,о. Тогда равновесие системы в конфигурации О называется устойчивым (по Ляпунову), если, задав любое сколь угодно малое число р ) О, можно указать такое число >1(р) ) О. что пря !О>о!4Ч и !>1>о!<Ч (г=1, 2, ' я) (1) в любой момент времени 1) 1 будет !(>,!<р (г=1,2, ..., я).
(2) В противном случае равновесие системы в конфигурации О называется неустойчивым. равенства ! >у, ! = р определяют вблизи конфигурация равновесия О некоторую область О (в я-мерном пространстве). Если равновесие в конфигурации О устойчиво, то прн малых возмущениях система, выведенная нз состояния равновесия, будет двигаться, оставаясь все время в области О. В Я 9 мы видели, как можно исследовать вопрос об устойчивости равновесия (по первому приближению), рассматривая малые движения системы вблизи поло>кения равновесия; этот метод применим и к системам, не находящимся под действием потенциальных сил.
В случае консервативных систем вопрос об устойчивости равновесия можно исследовать непосредственно, зная потенциальную энергию системы. 2. Теорема Лежен Дирихле. Для равновесия консервативной системы со склерономными связями необходимо и достаточно выполнение условия М'((>>, дг, ..., д„) = О, где \' — потенциальная энергия системы. Однако по этому условию нельзя судить о характере равновесия. Достаточное (но не необходимое) условие равновесия консервативной системы со склерономными связямн дает следующая теорема Лежен Дирнхле: если для «акой-либо конфигурации консервативной систельы со склерономнмми связями лотенциальная внергия )г ильеет минимум (а следовательно, силовая функция (/ = — Ь' имеет максимум), то равновесие системы устойчиво. Перейдем к доказательству теоремы. Пусть для конфигурации равновесия О (т.
е. при р> = >уг = ... = д„= 0) потенциальная энергия )г равна нулю (что всегда можно сделать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до адднтнвной постоянной) и имеет минимум; тогда всегда можно найти такое достаточно малое число р, чтобы в области О(!>у! «р) потенциальная энергия Ъ' была положительна. Пусть, далее, какая-либо обобщенная координата системы, например >у,, принимает предельное значение )д,! =р, а все остальные коОрдинаты принимают любые значения, по абсолютной величине не [гл, ги МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ]26 превышающие р или равные р. Пусть Р, есть значение потенциальной энергии в этом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
