1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для вычисления зтнх величин дожен быть дополнительно задан козффициснт трения К. 7т' 3)Качение цилиндра ло цилиндри- У ческой лоеерхнасти. Пусть однарод- ] ный круглый цилиндр радиусом г ка- С тится без скольжения по цилиндричес- — л кай же поверхности радиусом Рс (рис.
54), начиная движение из наивысшего поло- ег шелия без начальной скорости (точнее ст с пренебрежимо малой начальной скоростью). Найдем, в каком положении, определяемым углом В = Оь цилиндр л оторвется от поверхности. Изобразим действующие на ци- У лиидр силу тяжести МАс, нормальную Рис. 54. -](. акцию плоскости АГ и силу трения р. илиндр будет оставаться иа поверхности до тех пор, пока реакция АГ имеет направление, показанное на рисунке. Следовательно, для определения места отрыва, если оно существует, надо найти зависимость Аг(В). Эту зависимость проще всего получить из уравнении движения центра масс в проекции на главную нормаль л к его траектории ]2-е уравнение в системе (4)], которое лает 7 7С М = Ме соз Π— Ас.
рс+ г 100 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ. ГУ Определяя отсюда значение Мос и подставляя его в равенство (г), найдем 2 окончательно АГ = — (7 сов Π— 4). Мй 3 () Отсюда видно, что если 7 сов 0 < 4, то Аг > О, т. е. реакция имеет направление, показанное на чертеже, и цилиндр остается на поверхности; если же 7 сов 0 > 4, то Аг < О и направление реакции меняется иа прямо противоположное. Но реакцию, имеюпгую такое направление, поверхность развить не может. Следовательно, место отрыва определяется равенством 4 сов О, = — (0~ ю 54') 7 и от величин радиусов не зависит.
Найдем, каким должен быть коэффициент трения, чтобы цилиндр мог катиться без скольжения до точки отрыва. Для этого надо вычислить велиос чину Р. Составим 1-е из уравнений (4) и уравнение (3). Замечая, что — = в, ггс = С' получим Мв = Мк 21п 0 — Р, Уст = Рг.
Эти уравнения такие же, как 1-е и 3-е уравнения системы (6) в предыдущем примере. Поэтому, учитывая, что и здесь в = гр, и исключая из двух составленных уравнений ускорение, найдем аналогично предыдущему примеру, 1 Р что Р= — Мдв!п0. Далее имеем Р(У1У, откуда У~ —. Но при 0=0, 3 Аг ' Р + О, а Аг = О. Следовательно, чтобы качение без скольжения происходило до места отрыва, должно быть | = со.
Практически это возможно, если между катящимся цилиндром и цилиндрической поверхностью будет зубчатое зацепление, Если же величина У будет конечна, то, не доходя до места отрыва, цилиндр начнев скользивги при этом зависимость о (О) изменится и место отрыва станет другим. ф 14. Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Основные кииематические соотношения 1.
Предварительные замечания. Согласно теореме Шаля (см. ч. 1, 0 12. и. !) всякое движение свободного твердого тела можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного движения. определяемого движением произвольно выбранной точки тела, и движения (вращения) около этой точки как неподвижной; в динамике часто выбирают за такую точку центр масс твердого тела. Тогда движение тела будет слагаться из поступательного движения, определяемого движением центра масс, и движения тела около центра масс как неподвижной точки.
В ряде случаев движения твердого тела дифференциальные уравнения, определяющие поступательное движение тела (уравнения движения выбранной точки), не зависят от уравнений движения тела около выбранной точки, и обе системы уравнений можно самостоятельно интегрировать. Аналитические трудности возникают глав- эьй движвнив тялл о одной нгподвижноп точкой 161 д Рис. 55 ным образом при интегрировании второй системы; поэтому задача о движении твердого тела около неподвижной точки имеет основное значение в механике твердого тела. Твердое тело с одной неподвижной точкой имеет трн степени свободы.
Следовательно, положение твердого тела можно определить ваданием трех независимых обобщенных координат, что может быть сделано разными способами (углы Эйлера, параметры Олипда Родрига и др.). Классическими параметрами являются три эйлеровых угла: ф, ф.
О. Если они заданы для данного момента, та задано и положение тела. Если же ф, ф, 8 пзвестны в функции времени 1, то известно будет положение тела в каждый момент времени, а следовательно, будет известно движение твердого тела. 2. Регулярная прецессия. Из теоремы Даламбера вытекает, что движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как последовательность бесконечно малых вращений около мгновенных осей вращения, проходящих через неподвижную точку (см.
ч. 1, э 10, п. 2). Геометрическое место последовательных положений мгновенной оси вращения в пространстве, связанном с телом, образует коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке, называемую подвижным аксоидом. Геометрическое место мгновенных осей вращения относительно основной системы ориентировки есть другой конус с вершиной в неподвижной точке и называется неподвижным аксоидом. Геометрически движение твердого тела около неподвижной точки сво- ~ ° со, дится к качению без скольжения подвижного аксоида по неподзиук- и ьь ному. 1 Рассмотрим с кинсматической точки зрения одно из движений твердого тела с неподвижной точкой О, важное для дальнейшего, — так называемую регулярную првцессию, т. е.
такое сложное движение тела, когда тело вращается с постоянной по численной величине угловой скоростью ш, вокруг оси г, связанной с телом (обычно оси симметрии), а эта ось поворачивается с постоянной угловой скоростью эу, вокруг другой неподвижной оси Ь, составляя с неподвижной осью ь один и тот же угол (рис. 55). Подвижной и неподвижный аксоиды (на рисунке конусы / и П) будут в этом случае круглыми конусами", их оси образуют с мгновенной угловой скоростью результирующего движения Я постоянные углы а и р. Подвижной аксоид (конус 1) называют конусом собственного вращения, а его ось г — осью собственного вращения; неподвпжпый аксоид (конус О) называют конусом прецессии.
а его ось 11 и. и. вухгольц ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА )ГЛ. ГЧ ~ — осью прецессии. Эти наавания астрономического происхождения. Земная ось (если отвлечься от движения центра масс Земли), являясь осью собственного вращения, медленно поворачивается (прецессирует) в пространстве и в период около 26 000 лет (годовая прецессия = 50") описывает конус (конус прецессии), ось которого (ось прецессии) перпендикулярна к плоскости эклиптики и составляет с земной осью угол, равный 23'28' (в настоящую эпоху). Прецессия называется прямой, если угол между угловой скоростью собственного вращения гз, и угловой скоростью прецессии гзз острый (касание конусов У и!У при этом внешнее), и обралгноа (рис. 56).
если угол между ю, и юя тупой (касание аксоидов внутреннее). Прецессия земной оси есть пример обратной прецессии. Рнс. БЧ. Рис. 56. л|еждУ Угловыми скоРостЯми юн ю, и й сУществУют соотношениа, вытекающие из параллелограмма угловых скоростей, а именно: зл = гз1+ аза,' не ан Й мп а в1п ~ ВШ(а+ Р) ЯЯ = гз'",'+ гз', + 2ю,га, соя (а + 6). 3. Кинематические уравнения Эйлера. Обозначим (рис. 57) основную систему ориентировки через Оетр~, а подвижную систему. неизменно связанную с твердым телом, — через Олух. Начала обеих систем координат совпадают с неподвижной точкой О твердого тела.
Положение тела в данный момент времени определяется положением подвижной системы отсчета относительно неподвижной, которое будем ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ НЕИОДВИЖИОИ ТОЧКОП 163 $ и1 задавать тремя эйлеровыми углами ф, ф, 8 (см. ч, 1. стр. 93).
Прямая пересечения плоскостей О~г) и Оку называется линией узлов: обозначим ее через ОК Положительное направление на ней выбирается так, чтобы наблюдатель, расположенный вдоль ОК, видел поворот от оси Оь к Ох совершающимся против хода часовой стрелки, Напомним, что эйлеровыми углами будут: ~р — угол между линией узлов ОК и осью Ох, ф — угол между осью О'- и линией уалов ОК 8 — угол между осями Оье и Ое, Ось Ое называется осью собственного вращения, и в соответствии с этим угол ~р и угловая скорость гр называются углом и угловой скоростью собственного вращения.
Ось Оь называется осью нреПеесии, а угол ф и угловая скорость ф будут соответственно углом и угловой скоростью прецессии. Линия узлов ОК называется осью путание, а угол О и угловая скорость 0 — углом и угловой скоростью нутации. Когда изменяется только один из эйлеровых углов, например гр (ф и 8 остаются постоянными), то движение твердого тела есть вращение около соответствующей осн, в данном случае оси е, с угловой скоростью <р =фз», направленной по оси е. Если же изменяются все три угла ф, ф 8, то угловая скорость ю твердого телз по теореме о сложении угловых скоростей, пересекающихся в одной точке (ч 9 11, п. 3), будет суммой угловых скоростей гр, ф и 6, направленных соответственно по осям Ое, Оь и ОК; при этом ~р=срв», $=~Ф' и 6=6К», где К» есть единичный вектор линии узлов.
Таким образом, имеем Обозначим проекции угловой скорости ю на оси подвижной системы координат через р, Е, г, а на оси неподвижной системы через р', е', г'. Выведем кинематические уравнения Эйлера, дающие р, д, г в функции эйлеровых углов и нх производных, Проведем вспомогательную прямую Олг, перпендикулярную к плоскости ОКе, и разложим угловую скорость прецессии чр по направлениям Ое и Олг. Это разложение возможно, ибо Олг по построению перпендикулярно к ОК, а Ое и Ог также перпендикулярны к ОК и, следовательно, все три прямые Ое, Оь и Онг лежат в одной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
