1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Очевидно также, что зяти+сити= !. (25) йр о Гà — »т»т ' (26) Если модуль л = О, то эллиптические функции зп и н сп и вырождаются в з[п и н соз и. Из равенств (22) и (24) следует, что зп О = О, сп О = 1, бп О 1. Из этих же равенств следует, что эллиптические функции Якоби являются функциями периодическими с действительным периодом, равным 4К, где К есть эллипткческий интеграл Лежандра 1-го рода !8З СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА — ПУАНСО ф 17. Случай Эйлера — Пуансо 1.
Интегрирование уравнений движения. В случае Эйлера— Пуансо главный момент внешних снл, действующих на твердое тело„ относительно неподвижной точки равен нулю, т. е. Мо=О, и динамические уравнения Эйлера примут вид А — +(С вЂ” В) дг= О, лр лг  — „+ (А — С) г р = О, лд С а~ +( — 1)рд= О. Найдем первые интегралы уравнениЯ (1), полагая, что А+ВчьС. Для этого умножаем уравнения (!) соответственно на р, д, г и складываем нх почленно; получаем Ар — + Вд — +Сг — = О. ар лд ь. пг яг гй Интегрируя, находим Ара+Вдз+Сга =Л, где Л есть произвольная постоянная. Это есть интеграл энергии, так как левая часть равенства (2) есть удвоенная кинетическая энергия 2Т. !Интеграл (2) можно получить непосредственно из теоремы об изменении кинетической энергии, так как линия действия равнодействующей проходит все время через неподвижную точку и работа внешних сил равна нулю.) Для нахождения второго интеграла умножим уравнения движения (2) соответственно на Ар, Вд, Сг и сложим их почленно; получим АЯ р — + Вад — + Сз г — = О; лр Нд й лг чг лг интегрируя, будем иметь Азра+ Вада+ Сага — Оз, (3) где б есть произвольная постоянная, очевидно, равная квадрату кинетического момента.
1Интеграл (3) можно непосредственно получить из теоремы об изменении кинетического момента. В самом деле, я'О так как Мо — — О, следовательно. — =О, а потому О=сопя! и чг От = сопзц Для нахождения р, д, г в функпин от Г необходим еще третий интеграл, который можно получить следующим образом.
Выразиьь динамикА АБсОлютнО тВеРПОГО телА 184 1ГЛ. 1Ч величины г и р через д, используя интегралы (2), (3), и предположим одновременно для определенности, что А Р В Р С. Тогда по- лучим (А)2 — Сг — В(А — В)Ч) = С 1 С 1Лà — Ч), 2 — 1 2 В(А — В) 2 (4) р'= (02 — С72 — В( — С) г72) = (Л вЂ” о ), 1 В ( — С) А (А — ~') А (А — С) где вместо 0 и й введены новые постоянные Лг и Лг согласно ра- венствам А1 — 6~ = В(А — В) Лб 6~ — С)г = С( — С) Лг. (5) При этом поскольку рг)~О, гг ' 0 и А > В) С, то Лг)~д, 2 Лг)~д; подстановка начальных данных в равенства (4) дает для Лг и Л, значения Сохраняя справа знак плюс (выбор знака для окончательного вида решения не существен), разделяя переменные и интегрируя, найдем Лф о 3/(Л1 — Ч )(Лг г— Ч ) (7) где а в постоянная интегрирования; при этом обозначено (А — В) ( — С) о= АС (8) Из правой части равенства (7) следует, что зависимость д(У) может быть представлена с помощью эллиптических функций Якоби.
Вид этой зависимости окончательно определяется значениями постоянных Лг и Лг, т. е. начальными условиями. 1) Если Л,) Лг, то, полагая о=Лов)пф, что всегда возможно, поскольку д ~(Лг, получим из (7) ОГ+ а— 1 Фф Л, о У"1 — Лг,агпгф' С(А — С) 2 г 2 А(А — С) 2 Чо+ В(А — В го, Лг=Чо+ В( — С) Ро (6) 'Теперь, подставляя во второе из уравнений (1) найденные значения г и Р, получим кКд + . / (А — В)( — С) ~Г(Лг 2~( 2 г~ сМ Р АС 166 СЛУЧАЙ ЭЙЛВРА — ПУАНСО где л, = — '. Сравнивая интеграл, стоящий справа, с формулой (22) 916 Ло Л, и учитывая равенства (24) 516, заключаем, что з(пф= за(Лго(+а ), где а,— новая постоянная; следовательно, д = Л, зп (Л2о(+ а,), Если считать при 1=0 д =по, то постоянная а, определяется равенством зпа,= —.
яо Ло Подставляя найденное значение р в правые части равенств (4) и учитывая соотношения (24), (25) з 16, и также, что — =ли легко Хо л определить величины р и г. Окончательно будем иметь / в(в — с) р=Л217 ((1 С) сп(Л2ог+а2), О = ).г зп (Л2а(+ а,), -/ В(А — В) г=Лг У С(А — С) бп(Л2ог+ао)' (9) 2) Если Л, < Л2, то, полагая у=Л,зщф и вводя обозначение — '=й2, найдем таким же путем, что Х2 Ло Гв(в — с) р Л2 )/ 4 (А С) ((и (Л201 +со2), 7 = Л, вп (Лонг+ а,), В (А — В) г=Л,( С сп(Л2о(+аа), ) (9') где а2 находится из равенства зпа2 = —, зо Л, Нроме рассмотренных основных двух случаев, возможны еще следующие: 3) Лг= 0; при этом, как видно из равенств (4), должно быть все время г= 0, 6=0 (так как А > В >С, а г >0) и р =сопя(= ро; тело в этом случае совершает равномерное вращение вокруг оси х) 4) Ля= 0; в этом случае все время р= О, д= 0 и г=сопз1= гав тело вращается равномерно вокруг оси 20 5) Л,=Л2=Л; в этом особом случае интеграл (7) вырождается в обыкновенный и р, д, г будут гиперболическими функпиями аргумента (ЬМ + а), 186 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !ГЛ, РГ Так как эллиптические функции суть функции периодические, то из равенств (9) следует, что р, и, г, а также ы суть функции 4К периодические с действительным периодом т, = — (прн ).! ) ),) Х,а 4К или та= — (при ) ! ( Ат), где К есть эллиптический интеграл Акг Лежандра 1-го рода, определяемый равенством (26) 9 16.
Следовательно, по истечении периода т мгновенная угловая скорость примет прежнее положение в теле (но не относительно основной системы ориентировки, что возможно, как показывает исследование, лишь в очень частном случае). Чтобы довести задачу до конца, нужно еще выразить эйлеровы углы в функции времени, т. е проинтегрировать кинематические уравнения Эйлера (7) $16 Так как в данном случае Мо — 9, то из теоремы об изменении кинетического момента а'О =ма а! в ы текает, что 0 = соп з1, т . е . кинетический момент 0 постоянен по модулю и по направлению . Если за неподвижную ос ь Оь взять напра- в лен ие кинетического момента О, то нсследов ани е упрощается . Поскольку вектор ф направлен вдоль оси ь, то при выбранном направлении этой оси проекции 0 = А р, С = Вд, и С, = С г вектора 0 на оси к, у, л будут вычисляться так же, как проекции л екто ра ф, входящие в формулы (7) $ ! 6; следовательно, Ар = 0 з!пВБ!п!р, Во = 0 з!п 9 соз ~р, Сг=Осозб.
(10) Ар А ( — С) сп (А,оз+ а,) Вя В(А — С) зп(дуг+э,) " 'о'9= О = 0 С(А — С ал(Л,ОТ+и,), Сг СА, В(А — ) где постоянная 0 определяется равенством (3). Для нахождения угла ф берем первые две из формул (7) 9 16. Умножая первую на з!Бу, вторую на сову и склздывая, получим р в!п ф+ д соз я = ф з! и 9, Откуда р з(п и + д соз й зп! 6 Из равенств (10) можно сразу найти формулы, определяюшие ф(Т) и 9(!), если подставить в них вместо р, д, г их значения (9). Тогда, ОгРаничиваЯсь слУчаем Л, ) Хв (пРи Л! ( Хд подсчеты аналогичны), получим (йт случАи эилега — пуансо 4 о! Теперь умножим сначала первые два из равенств (!0) соответственно на р и д и сложим, затем возведем обе части их в квадрат и опять сложим; получим Ар'+ Вдз=0з(пО(рз!п~р+~усозф), Азрз+ Вз9з = Оз з)пз О. Пользуясь этими равенствами, найдем, что р з!и В+ д соз И Ар'+ Вяз — 0 Азрз+ Вздз з!и В Подставляя сюда значения р и о из равенств (9) и учитывая соот- ношение (25) й 16, будем окончательно иметь ф ( — С) + (А — В) вяз (Х,ее+ а,) — 0 А( — С)+ С(А — В) зпз(Х,аГ+а1) Отсюда ф найдется квадратурой от эллиптических функций: ( — С) + (А — В) зп' (Х,а!+ а,) .1 А ( — С)+ С(А — В) еп'(Л,о-)-а,) + фа' 4К Так как функция зп(Х1ог+а!) имеет период т= —, то л,о ' ф(1+т) — ф(г) = О.
Интегрируя по г, получим ф(с+ т) — ф(г) = с, где с есть постоянная интегрирования. Функция ф уже не будет периодической; по истечении промежутка времени т она получает приращение, равное с. В этом и заключается причина, что ю займет 4К по истечении периода т= —, вообще говоря, другое положение Х,л' в пространстве, если только случайно не окажется, что приращение с = 2п. 2. Интегрирование уравнений движения в частном случае, когда эллипсоид инерции является эллнпсоидом врацения. В частном случае.
когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, интегрирование уравнений движения для случая Эйлера — Пуансо доводится до конца в элементарных функциях. Действительно, в этом случае В = А, кроме ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. !Ч 188 того, лзо — — О, и уравнения Эйлера принимают вид А — „+(С вЂ” А) дг= О, А — +(А — С) гр = О. Ж~ Ж аг »'[ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
