1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Полагая — = $, имеем а ~4= гс Где 2с есть момент инеРции тела относительно оси, пРоходЯщей через центр тяжести С параллельно оси я, а Гс — радиус инерции относительно той же оси, то, подставляя значения (14) в выражение (13), получим Ч !З1 ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 153 К=$+а=1, т. е. для оси О' приведенная длина будет та же, что для оси О, откуда и следует доказываемое.
Таким образом, оси О и О' являются. взаимными. На этом основано свойство оборотного физического маятника, используемое в известном из курса физики оборотном маятнике Катера, применяемом для экспериментального определения ускорения силы тяжести. Заметим, что точку О называют центром качаний фиаического маятника. 6. Давление маятника иа ось. Для определения давления физического маятника на ось вращения воспользуемся уравнениями (8) и. 2, причем предположим, что тело однородно и симметрично относительно плоскости Оху, проходящей через центр тяжести С(см. рис.
50), Тогда ось г будет главной осью инерции тела для точки О (Э 11, п. 12); следовательно. Зу,=/у, = О. Так как в данном случае на тело действует только одна сила Мй', приложенная в точке С (хс, ус) в плоскости Оху и параллельная осн х, то уравнения (8), если считать точку А совпадающей с О, примут вид — ьгзМхс — ыМус = А„+ В „+ Мп, — ызМус + вМхс — — А„+ В, О=А,+В„ 0 = — АВ ° В „ 0 = АВ ° В„. (16) где  — какая-нибудь точка оси х. Принимая во внимание, что на осно- вании уравнений (16) В„=В„=О и считая закрепление в точке В таким, что В, = О, получим А = — оФМхс — ГВМус — Мй' А = — зз Иус+ Мхс. (17) т. Е. ДЛИНа $ ЯВЛЯЕТСЯ тРЕтЬЕЙ ПРОПОРЦИОНаЛЬНОИ ВЕЛИЧИН а И гс И может быть получена простым геометрическим построением (рис.
50). Докажем, что если за ось вращения физического маятника взять прямую, параллельную первоначальной оси вращения г и проходящую через точку О', которая лежит в плоскости ху на расстоянии 1=а+$ от оси я, то период колебания физического маятника ие изменится.
Действительно, возьмем за ось вращения ось О'(см. рис. 50), параллельную оси я; тогда для этой оси, на основании равенства (15)„ приведенная длина маятника будет 1' = $+ — *' 6 ' подставляя во второй член правой части этого равенства значение $, получим ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. 2ч Уравнения (17) показывают, что в случае симметрии реакция оси сводится только к одной силе А, приложенной к точке О в плоскости Оху: проекции этой силы на оси х и у определяются уравнениями (17). $ 13. Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела 1, При плоскопараллельном движении точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неполвижной (основной) плоскости (см.
ч, 1, 9 9, п. !), Всякое движение твердого тела кинематически и динамически можно рассматривать состоящим из движения центра масс и движения тела относительно центра масс, При плоскопараллельиом движении цеитр масс движется параллельно неподвижной пло- У скости, а движение относительно центра масс есть вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс и перпенх" днкулярной к неподвижной плоскости. Проведем через центр масс С тела плоскость, параллельную неподвижной, г, и возьмем в этой плоскости неподвижные оси Оху (рис.
51). Плоскость Оху пересечет тело по некоторому сечению, Рис. 51. положением которого относительно осей Оху определяется положение тела. Проведем через центр масс С оси Сх'у', параллельные осям Оху, и подвижные оси Сх"у", скрепленные с телом. Тогда положение тела будет определяться положением центра масс С, т. е. радиусом-вектоРом гс(хс, Ус) и Углом 2Р междУ осЯми Сх' и Сх". По теореме о движении центра масс имеем Угс 'Г где ~~~~ Р, есть главный вектор внешних сил, действующих на тело, М вЂ” масса тела. Проектируя обе части равенства (1) на оси основной системы, получим Теорема моментов относительно центра масс дает уравнение ,У2,у Ус ~~~ =,7~ шошс Р2 (з) где 2С есть момент инерции тела относительно оси Сг'.
проходящей через центр масс. Э 131 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 155 Интегрируя систему трех уравнений (2) и (3), определим х,, ус и ~р как функции времени Г, Уравнения движения центра масс можно составить также в проекциях на касательную и главную нормаль к траектории, т. е. в виде (4) Рс где Ос есть скоРость центРа масс, а Рс — РадиУс кРивизны его тРаектории, Тогда определение движения тела сведется к интегрированию системы уравнений (3), (4), При интегрировании системы уравнений (2) и (3) или (4), (3), можно эти уравнения заменять другими, получающимися в результате их взаимных комбинаций.
1) Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, Кинетическая энергия твердого тела относительно неподвижной системы Оху по теореме Квнига равна "= 2 Р('с+ сю')= 2 ~("с+ус)+1сф'1 'С где Ос есть скоРость центРа масс, а 1с= Р— есть РадиУс инеР- ции тела, относительно оси Ся', проходящей через центр масс, По теореме об изменении кинетической энергии имеем (6'г Подставляя выражение кинетической энергии в это равенство, получим уравнение 2 ((хс + Ус) + 'сЧ~],~~ (~ ы'1хг + ~Г, Г(У;) (7) которым можно ааменить любое из трех уравнений (2) и (3) или (4), (3).
Уравнение, выражающее теорему, можно составлять и в конечной (интегральной) форме т — т = ~алн (8) 2) Применим теорему моментов относительно оси Ог основной (неподвижной) системы. Так как, по доказанному ранее (см. э" 2, и. 3), кинетический момент относительно неподвижного центра О равен сумме кинетического момента центра масс, в котором сосредоточена масса тела, относительно центра О и кинетического момента тела относительно центра С в его движении по отношению к системе ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 157 б !з) Внешние силы, действующие на цилиндр: сила тяжести Мй и реакции наклонной плоскости Л~. Направим оси основной системы следующим образом: Ох — вдоль наклонной плоскости и Оу — перпендикулярно к ней.
Если координаты центра тяжести обозначим через х , у , то уравнения движения будут: Мх, Мл з!па, Му, = — Масок а+)У, (а) Уср = О. Здесь мы имеем случай несвободного движения. Условие, налагаемое на движение связью, состоит в том, что ус К, Ус — — О.
Тогда второе из уравнений принимает вид О = — Мл соз а+ АГ, откуда определяется реакция гт = Мосола. Мх =Ми з!па — р, С Му — Мл соз а+!У, С Усе = РК (б) В последнем уравнении справа знак плюс, так как для момента следует брать то же положительное направле- Рис. 53.
ние, что и для отсчета угла ць )1внжение по-прежнему несвободное и у =О; следовательно, и в этом случае С Утг = М5 соз а. Из последнего уравнения имеем еСФ р = —. К В данном случае связь налагает на движение еще одно ограничение: поскольку при качении цилиндра мгновенная ось вращения направлена вдоль образующей, соприкасающейся с плоскостью, то в любой момент времени х = Кч! и, следовательно, х = К!!ь Обозначим радиус инерции цилиндра С Из третьего уравнения системы (а) имеем ч) =и= сопл!, т. е, угловая скорость вращении цилиндра будет оставаться постоянной во все время движения.
Итак, цилиндр будет вращаться с той угловой скоростью, которая ему была сообщена в начальный момент, а центр тяжести его (ось) будет двигаться вдоль наклонной плоскости с ускорением х =ез!пи. 2) Качение цилиндра. Условия те же, что в предыдущем примере, но плоскость шероховатая и цилиндр кзтится по плоскости без скольжения. К внешним силам М(у и Д! добавится в этом случае сила трения скольжения К, направленная вдоль наклонной плоскости в сторону, противоположную движению (рис, 53). Уравнения движения будут 158 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА !ГЛ.
!ТГ относктельно оси С через !с! тогда 2С вЂ” — Мгс, и выражение для Р примет .2 вид М!схс г- Р Подставляя зто вмражение в первое из уравнений (б), получим М! СхС .2- Мх. +, = Мн з!о а, или !с ~ .2 х 1+ — )=йэ!па, )= откуда тгшпа С 2 !С 1+— )22 Сравнивая полученное выражение с результатом предыдущего примера, мы видим, что в случае чистого качения ускорение будет меньше, чем в случае чистого скольжения. Такой же результат можно получить и нз теоремы об изменении кинетической энергии. 1(ля случая однородного цилиндра М)тг .2 гтг - 2 з' = —, ф = — и х = — — из!па.
С 2 " 2 С 3 Ускорение, следовательно, меньше на одну треть по сравнению с тем, кото- 1 рое будет при чистом скольжении. Сила трения равна Р= — Мяз!па. 3 Найдем дополнительно, при каких значениях коэффициента трения у цилиндра о плоскость возможно рассматриваемое движение (т. е. качение без скольжения). Заметим, что когда цилиндр ие скользит вдоль плоскости, сила ~рения может не достигать предельного значения; поэтому Р и А!здесь связаны перзвенством Р ( У)тГ.
Подставляя сюда найденные значения Р и АГ, имеем — Мх з!и а ( уМ3 соэ а, 1 3 откуда у;р — !Е а, 1 3 Если коэффициент трения будет меньше этой величины, то цилиндр будет катитьси вдоль плоскости с проскальзыванием. Уравнения движения при этом сохранят вид (б), но одно из условий, налагаемых связями, изменится, а именно равенство хс — †)(Т не будет иметь места. Однако вместо этого появится другое соотношение: поскольку точка касания скользит вдоль плоскости, то сила трения имеет предельное значение и, следовательно, Р = УДГ. 4 ~21 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 15д В результате 1-е и 3-е уравнения в системе (б) примут вид МА!2 Мх =Ме(з!па — Усова); — <Е=УМЕЯсоза, с= откуда (г) Входящую сюда величину ос найдем из теоремы об изменении кинети- 2 ческой знергии т — т,- ч',А„'.
(д) Так как движение начинается из состояния покоя, то Т'р — — О. Для Т по теореме Кбнигз имеем 2 ~сс+ ~см Мос+ 4 Мг 4 Мос' 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 7 2 2 поскольку, как н в предыдущем примере, здесь имеет место соотношение пс = мг Силы АГ и Р в данном случае работы не совершают, так как оии все время приложены в точке, элементарное перемещение которой равно нулю. Работа же силы тяжести иа перемещении, определяемом углом О, будет А = Мед = Ме ()с+г) (1 — соз О). В результате уравнение (д) принимает вид — Мос — — Ме (Рс+ г) (1 — соз В). 3 4 х =й(мпа — г" сова); ]р= — сока. 2УЕ )1 (в) Следовательно, центр цилиндра в атом случае движется с постоянным ускорением хс, а сам цилиндр вращается с постоянным угловым ускорением дь значения которых определяются равенствами (в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
