1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Положение колеса в плоскости движения Оху определяется координатами х, ус центра С колеса (полюса) и углом поворота чь Если ось х направить вдоль рельса, то уо Л (геометрическая связь). Кроме того, должна быть равна нулю скорость точки касания К колеса с рельсом; зто условие дает х — ЯЧ 0 (кииематическая связь). Но дан- с ное уравнение сразу интегрируется и приводит к соотношению между координатами х и у, имеющему вид х — Яв = сола].
Таким образом, рассмот- с с рениая система является голономиой. Рис. 2. Рис. 1. 2. Колесико планиметуа (с острым, режущим краем) катится без скольжения по горизоитальнон плоскости, оставаясь перпендикулярным к ътой плоскости; вид колесика в проекции на горизонтальную плоскость Оху показан на рис. 2. Положение колесика определяется координатами х, у его центра С (л =Л, где Л вЂ” радиус колесика), углом О, который плоскость колесика образует с осью х, и углом поворота й колесика вокруг его оси (на рисунке не показан). Так как скорость точки касания колесика с плоскостью равна нулю, то скорость центра колеса о = йЧ.
Наличие острого края, не допускающего перемещение колесика в йанразлении, перпендикулярном к его плоскости, требует, чтобы вектор о все время лежал 1О озщив тзопвмы динамики систзмы млтнгидльных точек (гл. т в плоскости колесика.
Это приводит к следующим двум соотношениям между координатами х, у, ~р, О: хо=)ерсоаО ус=Во з1пО. (а) УРавнениЯ (а), когда О ть сопвй не могУт быть пРоинтегРнРованы; следовательно, система является неголономной. 3. Положение шара радиуса Я, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости (рис.
3), определяется координатами х, у, » его центра и тремя углами поворота вокруг центра, например углами Эйлера и, ~~, О [ч. 1, ч 7 (рис. 30)[. Так как ско з рость точки касания К должна быть равна нулю, то скорость центра С удовлетворяет векторному равенству пс+(мХ СК) =О, где е — мгновенная б' угловая скорость шара. Учитывая, что о проекции вектора СК на неподвижные ,ф' оси Оху» равны О, О, — Я, получим з проекциях на оси х х — Яо О, у +Ям„=О, »,=О. (б) Рис. 3.
Последнее уравнение интегрируется и дает геометрическое условие » й. Первые же два уравнения неинтегрнруемы, в чем можно убедиться, выразив м» и ю через углы м, ~, О н их производные по времени [ати выражении даются ниже уравнениями (4) в ф 14, где р' = ю„, л' = мт). Следовательно, данная система также является неголономной. 2. Условия, налагаемые связями иа вариации координат. Рассмотрим голономную систему из л материальных точек, на которую наложено й конечных связей, выражаемых уравнениями вида У,,(х, у, »; 1) = О (и = 1, 2, ..., л). Тогда число независимых координат этой системы будет равно Зп — л (см.
ч. 1, О 14, и. 6). Дадим системе некоторое виртуальное перемещение, вследствие которого координаты точек системы получат приращения, равные вариациям эткх координат бх„, бу„б» (ч= 1, 2... „и). Эти вариации, число которых равно Зп, не будут независимыми, так как вследствие наложенных конечных связей они должны удовлетворять л условиям вида ~я~д бх'+ д бут+ " б»т)=0 (я=1, 2, ..., л), (6) т=1 которые мы получим, варьируя уравнения связей (см.
ч. 1, О 28, и. 2). Следовательно, число независимых вариаций будет равно Зп — л. т. е. числу независимых координат системы. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СВЯЗИ $ и Предположим теперь, что система неголономна и на нее„кроме конечных связей, выражаемых уравнениями вида 7'„(х, у, г; т)=О, (и=1, 2, ..., А), наложено еще г дифференциальных (неинтегрируемых) связей, уравнения которых имеют вид Л ,,"„(ар,а!х„+Ьр„с!у,+ср,с!ят)+ара!1=0 (р=1, 2, ..., г). (7) я=! Уравнения (7) связывают между собой проекции с!х, с!у, а!я истинных перемещений точек системы, совершаемых за элементарный промежуток времени с!Г. При виртуальном перемещении изменения координат точек системы выражаются их вариациями Ьх, Ьу, Ья, причем Ь! = О, так как виртуальное перемещение есть изменение положения системы, соответствующее ланному моменту (при определении этих перемещений время пе варьируется).
Поэтому уравнение, связывающее между собой вариации координат Ьх, Ьу, Ьг, мы получим из уравнения (7) путем замены дифференциалов варнациямн, принимая во внимание, что ЬТ=О; следовательно, дифференциальные связи типа (7) налагают на вариации координат условия Х(артбхт+Ь Ьут+ср,бг,)=0 (р=1, 2, ..., !). (8) т=! Отсюда ясно, что при дифференциальных связях, так же как н прн конечных, виртуальные перемещения совпадают с истинными только в том случае, если связь склерономна, т. е. если уравнение дифференциальной связи имеет вид ~~~(ар,в!х,+Ь „с!у,+ср,сят) = О, я=! причем ар„ Ьр„ ср„ буду~ функциями только координат, но не времени, входящего явно. Итак, пусть на систему наложено Ь конечных связей, выражаемых уравнениями вида Д„(х, у, я; 1)=0 (и=1, 2, ..., А), и г дифференциальных неинтегрируемых связей, уравнения которых име!от вид и >(ар!1х,+Ьртс(У,+ср,с!Ят)+'р'"Р я=! Число независимых координат системы будет равно Зл — Ь, где и есть число точек системы.
Вариации же координат будут связаны 12 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [гл, Э условиями Х дх Хт+ д бут+ †" бхт) = 0 (и = 1, 2, ... й) т=! Х(аэт хе+ б тбут+се бх„)=0 (р= 1 2 !.) т=! Число этих условий равно й+ г, следовательно, число независимых вариаций равно Зн †(й+г).
Отсюда следует, что в неголономных системах число независимых вариаций меньше числа независимых координат системы, тогда как для голономных систем эти числа совпадают. Числом степеней свободы системы будем называть число независимых вариаций координат. Тогда для голономной системы чксло степеней свободы риека числу независимых координат, а для неголономной системы меньше числа независимых координат. Обратимся к примерам, рассмотренным в конце п. 1. В примере 1 кокордииаты х, у, е колеса удовлетворяют уравнениям у 11„х с = сопя!. Следовательно, положение колеса определяется одной координатой, например х ; число степеней свободы колеса также равно единице.
В примере 2 положение колесика определяется четырьмя координатами х , у , е, О. Но вариации этих координат, согласие уравнениям (а), связаны соотношениями бх = гсб!р со5 О, бт тсб!Т 51п О. Следовательно, независииых вариаций будет две, например бе и бО, и колесико имеет две степени свободы. В примере 3 число координат системы равно пяти: х , ус и углы е, !), О.
Но вариации этих коордйиат будут сзя- 2 заны двумя соотношениями, вытекающими из первых двух равенств системы (б). Следовательно, шар имеет три степени свободы. 1 3. Иногда бывает удобно оборке. 4. вначать координаты точек одной буквой с различными индексами, соответствующими координатным осям, которые в свою очередь обозначаются номерами 1, 2, 3 (рис.
4). Так, например. координаты точки М, вместо хн ун г1 обозначаются хн х,, х„ точки Ма вместо хт, уш гт обозначаются хш хь, х, точки М„вместо х„, у„, х„обозначаются х,„я, х,, хз„. $2] ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Массы зтих точек для удобства суммирования обозначаются одной буквой с теми же индексами, что и координаты этих точек; напри- меР, масса точки М, обозначаетсЯ илн ти или тг, или тз, пРичем, конечно, т, = тг= тз, масса точки Мг обозначается или те, или тз, или те, причем т,=та=в!в, масса точки М„обозначается или тз„ 2, или тз„ ,, или тз„, пРичем тз„ 2 в †„ ! † . Такими обозначениями мы будем иногда пользоваться. ф 2.
Основные динамические величины ц = ~~'.2 т„22„ т который равен геометрической сумме количеств движения всех точек системы и называется главным вектором количеств движения системы или просто количеством движения системы, и 2) главный момент О =~~.',(г Х т 22„), т,од который равен геометрической сумме Рнс. 5. моментов количеств движения всех точек системы относительно центра О и носит название главного момента количеств движения системы или кинетического момента системы относительно центра О.
2. Количество движения системы. Преобразуем выражение количества движения системы 2~ =~ч~ ~т,п . дг Так как 22= —, то с)г ' ') Условимся в дальнейшем для краткости во всех случаях, когда зта не может вызвать недоразумений, вместо д' писать просто ~ч~', или ~~~"„. т=! т 1. Рассмотрим систему и материальных точек, находящихся в движении. Тогда в любой момент времени количество движения каждой точки системы с массой тт будет изображаться вектором т т)т, приложенным в этой точке, Приведем систему векторов т в к какому-нибудь центру О (рис, 5). В результате получим: 1) главный вектор') 14 овщие теовемы динамики системы матвгнлльных точек ~гл, г Ио из формулы, определяющей радиус-вектор гс центра масс системы, следует, что ,г,= Мг,, где М= ~й т, есть масса всей системы; поэтому иго ф=М вЂ” =Ми, дс — с где о есть скорость центра масс.
Отсюда имеем теорему: количество движения системы равно количеству движения, которое имел бы центр масс системы., если бы в нем была сосредоточена масса всей системы, Иными словами, количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс. Проекции количества движения системы на оси координат будут О.=Ха,х,=М с, й),=2.т,у.=Мус, (~л лл ттгт Мгс. Из доказанной теоремы следует, что количество движения системы по отношению к любым осям Сх'у'г', имеющим начало в центре масс С и перемещающимся вместе с этим центром, равно нулю, так как относительно этих осей ос — — О. В частности, очевидно, будет равно нулю количество движения твердого тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс этого тела.
3. Кинетический момент системы. Кинетическим моментом относительно центра О называется, как было указано выше, вектор- ная величина, определяемая равенг г ством г„' У ч1 Оо = ~' (г, Х а,о,) = С Р т =,~~(г Хат д ). (2) й Преобразуем зто выражение. Про- ведем через центр масс С системы ,с оси Сх'у'г' (рис. 6), которые будут Рис. б. перемещаться по отношению к ос- новной инерциальной системе отсчета Охуг аостуаательно вместе с центром масс. Обозначим радиус-вектор любой точки Мт системы с массой т, по отношению к осям Охуг через г, а по отношению к осям Сх'угг' через г', радиус-вектор центра масс назовем гс.
Тогда , ='с+ (3) 16 овщии твогемы динамики системы мьтигиальных точек (гл, ь момента Оо в виде 0о ='с Х д(ис+ и„'(г,' Х т,чг,'). (6) Первый член правой части есть момент относительно центра О количества лвижеиия, которое имел бы центр масс системы, если бы в ием была сосредоточена масса всей системы. Второй член 0' = ~я~~(г,'Х лгтчг,') Ч (6') 0о г с Х '~(ос + 0с. Равенство (6') можно еще представить в виде 0о = гс Х о("с+ 0с (6") где 0с — — ~я~~(г' Х т„и ).
В самом леле, так как, согласно фоР- ч муле (4), о =чг +чг,', то, учитывая третье из равенств (б), будем иметь и.',(г' Х ти)=~(г,' Х т„о )+~и~~(г„'Х т о)=ч.',(г' Х тр), или 0с = 0с. Если перейти к лекартовым координатам, положив г,=х,1+у /+х,й, г,'=х,'1+у,'„у+я„'й, г'с = хсс + усу+ ес" то проекции кинетического момента системы иа оси координат, или, что то же, кинетические моменты системы относительно координатных представляет собой сумму моментов относительно центра масс количеств движения точек системы в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета Сх'у'я'.
Отсюда получаем теорему: кинетический момент системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равен моменту относительно етого центра количества движения центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, слаженному с кинетическим моментом системы относительно центра масс в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно, т. е. ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 17 осей, выразятся так: О, = ч'.г тч(У»гч — Я»У,) = у)((усес ясус) + Х т,(у,໠— я~у,')' ч Оу ~ Х "гч(В»Х» Хчлч)— = М (зсхс хсзс) + ~к~~ тч(зарх» хчзч) О, = ~ч~ т„(х,уч — у,х,) = ч г)ч (хсус Усхс)+ Х т,(х,у,' — Учх,') (7) 4. Перемена центра приведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
