1611690509-48470cf1a1e864e8fafc447c264b3f2e (826915), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Как было сказано в п. 1 етого параграфа, количество движения системы Я и кинетический момент системы Ор относительно центра 0 являются соответственно главным вектором и главным моментом относительно того же центра системы векторов т,оч, представляющих собою количества движения точек системы. Если взять другой центр приведения 0', то, очевидно, главный вектор О останется без изменения, а главный момент, т. е. в данном случае кинетический момект системы относительно центра О', будет уже иной. В самом деле, так как (рис. 7) Оо'=Х(г, Х т о,) У'„= гч — 00', то Оо =Х((гч — 00) Х ~,о,) = = ~~ (г, Х т,еч) — 00' Х ~ т о„ Рнс.
7. откуда, принимая во внимание, что ~ т„о„= ф получим Оо = Ор — 00' Х Я. (8) В частном случае, если точка 0' является центром масс С системы, равенство (8) дает формулу (6"). Б. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. В качестве примера найдем кинетический момент относительно оси х для абсолютно твердого тела, вращающегося 3 Н. Н, Вугголья 18 ОБщие теОРемЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК (гл т ю, Но так как н,=й,ю, то О „= Х лг,алэ, = ю ~ лг,лэ Величина ~'.~ лэ лт, равная сумме прот т' изведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния ее до некоторой оси, рнс. 8.
называется лэохенлгох инерции тела относительно этой оси и играет очень важную роль в динамике твердого тела, Обозначая ~ т,й, =,/„. 2 получим Ол '~лю' Найдем ту же самую величину иным нутем. Кинетический момент твердого тела относительно какой-либо оси х равен проекции кинетического момента относительно любой точки втой оси иа ось„ т. е. 02 00 где х' есть единичный векэор направления оси х, Но о Х тХ ты причем поэтому ет = ю Х гт; 0о=~г Хл2 (еХг )=ю~ч~,'ю„гт — ~ч~~ю г (ы.г ) (Отсюда видно, что вообще кинетический момент вращающегося тела, взятый относительно какого-нибудь центра, лежащего Ба оси вращения, не направлен _#_о этой оси.) Спроектируем вектор 0 на ось Ох; получим 0„= 0о хе = ю хе ~~~', 2л„2.~~ — ~ ит (г„хэ) (а г,). вокруг этой оси с угловой скоростью вэ (рнс. 8), Кинетический момент твердого тела относительно оси Ох есть сумма моментов количеств движения всех точек тела относительно этой оси.
Так как скорости точек тела перпендикулярны к оси вращения, то момент количества движения точки с массой лг относительно оси Ох равен т,н,й~, где л есть расстояние точки от оси вращения, Поэтому основныв дннлмнчпскнп ввличнны Так как ось Ох направлена по осн вращения, то (рнс. 9) ю х'=э, г„хе= ОР=х; ю г =мхт; отсюда О =ю ~~т г — моиг хтч=ю~~~~лг„(г„— хг), т т т илн, так как ㄠ— х = Л , где Л есть расстояние точки М до осн враг щения, 6. Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией сисаемм называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы.
Если скорость точки с массой лг обозначим через зз„, то кинетическая энергия системы будет т= — 2 щ„о2, мт — 92~ (10) где сумма распространяется на все точки системы. Введем опять систему осей Сх'у'г', пере- Рис. 9. мещающихся вместе с центром масс поступательно (см. рнс.
0). Тогда, согласно равенству (4), будем иметь тг, = ос+ тг,', но т э л 4 т йг йг с~4 т э йг с — = — ~. пг„г„' = — Мг' = О, где и †скорос центра масс, Ф вЂ” скорость точки с массой щ в основной системе отсчета Охуг, тз„ вЂ скорос той же точки по отношению к подвижным осям Сх'у'з', Подставляя это значение е в выражение кинетической энергии (1О), найдем, что '--Х. ("+ )'=-Х-.-+,'»', ° '+-','» -.' э М т Преобразуем члены правой части. Получаем „', щ ис = ос ° хч щ = гинтс У У где М = ~~'.~щ — масса всей системы.
Далее ~л~щтес'о,=тгс Хщ,е', так как гс — — 0; следовательно, час ~ч ч В результате окончательно будем иметь Первый член правой части равенства (11) есть кинетическая энергия, которую имел бы центр масс, если бы в нем была сосре- доточена масса всей системы; второй член представляет собой кине- тическую энергию системы при ее движении относительно подвижной системы отсчета, имеющей начало в центре масс и перемещаю- шейся вместе с центром масс поступательно. Следовательно, кине- тическая энергия системы равна кинетической энергии иентра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей си- стемы, сложенной с кинетической энергией системы при дви- жении ее относительно подвижной системы отсчета, переме- игаюигейся вместе с иентром масс поступательно (теорема Кен ига).
Предположим теперь, что система точек движется относительно подвижной системы отсчета, которая в свою очередь движется по- ступательно относительно основной инерциальной системы ориен- тировки с произвольной скоростью ч[з. Тогда, на основании теоремы о сложении скоростей, скорость какой-либо точки системы с мас- сой т, относительно основной системы отсчета будет чч чз+чч' где ч[' есть скорость той же точки по отношению к подвижной си- стеме отсчета В результате кинетическая энергия системы для движения относительно основной системы отсчета будет равна т= — ''))~т о = — 'Мо+ — ''~',т он+о '))',т и'. ч ч ч Но ~ т ч[' есть количество движения системы относительно поч движной системы отсчета; при этом, согласно равенству (1), Лг:гт О = Мис (11) об Оьщие теОРемы динАмики системы мАтеРиАльных тОчек [гл г (12) где о' есть скорость центра масс относительно подвижной системы с отсчета, поэтому предыдущее выражение кинетической энергии мо.
жет быть представлено в виде 2 Мое+ й )Г тчоч + ~~в с' основныи дннлмнчвскнв ввличнны Если И' =О, т. е. центр масс движущейся системы точек неподвижен относительно подвижной системы отсчета, то ис — — из и т= —,м,+ —, ~~ р,', =-Д-,~,-ч у=-,,~ т с=-Ц с (13) Вычислим теперь кинетическую энергию абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ох с угловой скоростью ю Имеем у=1%~'щ а но о,=й„гз, где и, есть расстояние точки с массой лг„до оси вращения Ох, поэтому (14) Величина У„ = ~~'„~лг Ьа„ есть момент инерции тела относительно оси ч вращения, Заметим, что формула (14) будет справедлива и в том случае, когда ось х является мгновенной осью вращения, так как равенство о =й гз имеет место и для этого случая.
При этом l будет моментом инерции тела относительно мгновенной оси вращения. В общем случае движения кинетическая энергия твердого тела вычисляется по теореме Канига, Так как по теореме Шаля движение твердого тела относительно подвижных осей Сх'у'г' слагается из мгновенных вращений вокруг осей, проходящих через точку С, то ~ч~ лг„п' =/с„оР, и фоРмУла (11) дает 1, 1 й "И~с+ 2 ~сР ' (15) где ус„— момент инерции тела относительно мгновеьщой оси вра- щения, проходящей через его центр масс, ы — мгновенная угловая скорость тела. Формула (!5) выражает теорему Кенига для абсо- лютно твердого тела. т.
е, мы получаем теорему Кенига. 7. Кинетическая энергия твердого тела. Нейдем сначала кинетическую энергию абсолютно твердого тела, движущегося поступательно, Тогда для любой точки тела п„=чгс, где ис — скорость центра масс, и озщнв тяогвмы динлмики системы млтвяилльных точек !гл ~ 8. Осевой момент инерции. При вычислении динамических характеристик вращающегося твердого тела в их выражения вошла величина (16) 2 2 е= Х льчдч — М!» т (17) где М есть масса всего тела; тогда 1, есть некоторая длина, которая называется радиусом инерции тела относительно оси х. Радиус инерции, как видно из предыдущего равенства, равен расстоянию от оси х той точки, в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы получить тот же момент инерции. Очевидно, (! 7') Из формулы (16) видно, что момент инерции тела относительно данной осн зависит только от закона распределения масс в объеме, занимаемом телом.
Вычислим моменты инерции некоторых однородных твердых тел (тело называется однородным, если отношение массы любой части тела к ее объему есть для всех частей тела величина постоянная! вто отношение называется плотностью тела), 1) Тонкое однородное кольцо. Пусть масса кольца М, радиус !с. Проведем через центр С кольца ось Сх, перпендикулярную к пло- где Л есть расстояние точки с массой т, от оси х. Эта величина l~, как было сказано, называется моментом инерции тела относительно оси х или осевым моментом инерции.
Выясним механический смысл величины У . Если твердое тело движется поступательно со скоростью о, то его количество двнже- 1 ния равно Мо, а кинетическая энергия Т = — Мое, где М есть масса 2 всего тела. При вращении тела вокруг оси х с угловой скоростью ьз кинетический момент тела относительно оси вращения будет О = з' ьз, 1 а кинетическая энергия Т = — У озз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
