1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 20
Текст из файла (страница 20)
dr̄ ν · ē = dr̄ µ · ē где ē - единичный векторzr̄ ν − r̄ µdrmPnпрямой, проходящей через Pν , Pµ : ē =|r̄ ν − r̄ µ |ePmПо III Закону Ньютона силы механическогоdrnrnвзаимодействия между точками системы:rm|F̄ νµ | = |F̄ µν | = F, F̄ νµ = −F̄ µν = F ēOayxтогда: δA(F̄ νµ ) + δA(F̄ µν ) = F̄ νµ · dr̄ ν + F̄ µν · dr̄ µ = F (ē · dr̄ ν − ē · dr̄ µ ) = 0Таким образом для неизменяемой системы (например для твёрдого тела)элементарная работа всех внутренних сил равна нулю.Теорема об изменении кинетической энергии для неизменяемой системыимеет вид:dT = δAeт.е.
учитывается только работа приложенных внешних силна перемещениях точек приложения этих сил.В кёниговых осях Cxα : dTr = δr Ae – для движения относительно центра масс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.15 / 18Элементарная работа сил приложенных к твёрдому телуБудем представлять себе твёрдое тело как неизменяемую систему из Nотдельных точек (расстояния между которыми не меняются).Пусть F̄ ν – равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pν тела,ieпричём F̄ ν = F̄ ν + F̄ ν , т.е. сумма равнодействующих всех внутренних ивнешних сил (ν = 1, .
. . , N ).Согласно формуле распределения скоростей точек тела v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄,поэтому вектор элементарного перемещения dr̄ ν точки Pν тела, вдоль еётраектории:dr̄ = v̄dt = (v̄ O + ω̄ × ρ̄) dtгде dt – элементарный промежуток времени. Элементарная работа системысил, приложенных к телу (т.е. к системе N точек):ÃN!NNNXXXXδA =F̄ ν dr̄ ν =F̄ ν (v̄ O + ω̄ × ρ̄ν ) dt =F̄ ν v̄ O dt +(ω̄ × ρ̄ν ) F̄ ν dtν=1ν=1ν=1ν=1Согласно первому свойству внутренних сил:NXeF̄ ν = F̄ = F̄− главный вектор внешних сил.ν=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.16 / 18Второе слагаемое преобразуется к виду (циклическая перестановка векторов):NNNXXX¡¢(ω̄ × ρ̄ν ) F̄ ν dt =ρ̄ν × F̄ ν ω̄ dt =m̄O (F̄ ν ) · ω̄ dtν=1ν=1ν=1где, согласно второму свойству внутренних сил:NXem̄O (F̄ ν ) = M̄O = M̄Oν=1— главный момент внешних сил относительно O – полюса.Тогда элементарная работа системы сил, приложенных к телу, получит видeeδA = F̄ · v̄ O dt + M̄O · ω̄ dtdr̄ O– скорость полюса O, тогда v̄ O dt = dr̄ O – векторdtэлементарного перемещения полюса O.Отметим, что v̄ O =Замечание: Полюс тела O – не обязательно является центром масс тела C.Итак, элементарная работа сил приложенных к твёрдому телу определяетсялишь работой внешних сил и выражается через главный момент и главныйвектор внешних сил, а также характеристики мгновенного кинематическогосостояния тела.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.17 / 18Для случая плоского движения тела, которое характеризуетсянеизменностью оси вращения тела (перпендикулярно плоскостидвижения), справедливы выражения:ω̄ =dϕēz ,dteM̄O = MeO ēzгде ϕ – угол поворота тела, ēz – орт оси вращения тела.Тогда получим, чтоeM̄O · ω̄ dt = MeO · dϕЗначит выражение для элементарной работы сил, приложенных к телув плоском случае приобретает вид:eδA = F̄ · dr̄ O + MeO · dϕгде dr̄ O – вектор элементарного перемещения полюса O тела,dϕ – элементарный угол поворота тела вокруг оси,перпендикулярной плоскости движения— в данный момент времени (в данном положении тела)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 14ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТЕЛАПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛАСТАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.1 / 20Требуется найти закон движения свободного твёрдого телаотносительно неподвижной (абсолютной) системы координат Oa xα .Как установлено в кинематике, любое движение тела можнорассматривать как совокупность двух простейших составляющих:1. поступательное движение,определяется движением произвольной точки тела (полюса);2. вращательное движение тела вокруг полюсакак вокруг неподвижной точки.x3r̄ = r̄ C (t) + A(t)eρ = r̄ C (t) + ρ̄(t)−−→CM =½j1x2j3 x”21j3j2x’j3 Cj1 2x2x1j3rC x1 j1j2 j2Nx3x3j2.j.Mρ̄ = (x1 , x2 , x3 ) в Cxαe = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) в Cξαρe = const,ρρ̄ − функция от tA(t) − матрица переходаот Cξα к CxαБатяев Е.
А. (НГУ)r.Oax1ЛЕКЦИЯ 14x2Новосибирск, 2017 г.2 / 20При описании движения тела полюс желательно выбирать так, чтобыего движение определялось наиболее просто.Из основных теорем динамики для системы материальных точек(а твёрдое тело является частным случаем неизменяемой системы),следует, что за полюс (фиксированную точку тела) удобно взять центрмасс тела, т.к.
его положение не меняется относительно точек тела.Следовательно, поступательное движение тела описывается тремяскалярными функциями – координатами центра масс:¡¢CCr̄ C (t) = xC1 (t), x2 (t), x3 (t)Действительно, согласно теореме о движении центра масс, ондвигается как материальная точка, в которой сосредоточена вся массатела и приложены все внешние силы:dv̄ CeM= F̄dtПричём теоремы об изменении кинетического момента икинетической энергии для относительного движения тела вокругцентра масс формулируются точно так же, как и для обычногоабсолютного движения тела вокруг неподвижной точки:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.3 / 20относительно центра масс CdL̄Cre= M̄CdtdTr = δr Aeотносительно неподвижной точки AdL̄Ae= M̄AdtdT = δAeiУ тела отсутствуют силовые величины M̄C , δAi для внутренних сил,поэтому индекс e можно вообще убрать.Вращательное движение тела, описываемое ортогональной матрицейповорота A(t), определяется тремя углами Эйлера ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t)(прецессии, нутации и собственного вращения), которые фиксируюториентацию тела относительно неподвижной системы координат Oa xα(фактически – относительно кёнинговой системы координат Ca xα )и не зависят от выбора полюса.Таким образом, 6 независимых параметров (скалярныхфункций) – координаты центра масс xCα (t) и углы Эйлера ϕα (t)(α = 1, 2, 3) — полностью определяют положение тела в любоймомент времени t т.е.
задают движение тела.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.4 / 20Составим теперь систему дифференциальных уравнений,позволяющих определить эти величины как функции времени.Твёрдое тело является частным случаем механической системы,поэтому дифференциальные уравнения его движения могут бытьполучены из уравнений движения системы. Однако, своеобразиетвёрдого тела проявляется в том, что эти уравнения могут бытьполучены из общих теорем динамики.Первая группа уравнений – на координаты центра масс –получается из теоремы о движении центра масс, если положитьv̄ C =dr̄ Cdt⇒Батяев Е.
А. (НГУ)Md2 r̄ C= F̄dt2⇔ЛЕКЦИЯ 14M ẍCα = Fα(α = 1, 2, 3) (1)Новосибирск, 2017 г.5 / 20Вторая группа уравнений – описывающая вращательное движениетвёрдого тела – получается из теоремы об изменении относительногокинетического момента тела относительно центра масс.Если L̄Cr – кинетический момент тела в его движении относительноцентра масс, т.е.
относительно системы координат двигающейсяпоступательно с началом в центре масс Cxα (кёнинговой), причёмL̄Cr = L̄C , тогда имеем:dL̄Cr= M̄CdtДля получения скалярных уравнений, эту теорему удобно представитьв сопутствующей системе координат Cξα (жёстко связанной с телом).Для начала вспомним связь между абсолютной и относительнойпроизводной вектора по времени и зависимость между выражениямивектора в кёниговой Cxα и сопутствующей Cξα системах координат:Ã!e CrdL̄CrdeL̄CrdLfCe Cre ×L= M̄C = A M=+ω̄×L̄Cr = A+ωdtdtdt=⇒Батяев Е.
А. (НГУ)e CrdLe Cr = MfCe ×L+ωdtЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.6 / 20e Cr = LeC,Ранее мы получали выражение для кинетического момента Lпредставленного в сопутствующих осях Cξα , через оператор инерции JC :e Cr = JC ωeLe = (ω1 , ω2 , ω3 ) – вектор угловой скорости в системе Cξα .где ωC −J CJ1C −J1213CC − является постояннойJ2C −J23Так как JC = −J12матрицей в системе CξαC −J CJ3C−J1323тогда теорема об изменении кинетического момента принимает вид:deωfCe × JC ωe =M+ωdt333XXXCCCe Cr = e =LJC ωI1jωj ,I2jωj ,I3jωj JCЗдесь векторj=1j=1j=1где IijC – элемент оператора инерции JC расположенный в i-ой строкеn o3f C = (M C , M C , M C )и j-ом столбце:JC = IijCM321i,j=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.7 / 20Тогда i-ая компонента этого векторного уравнения имеет вид (i = 1, 2, 3):333XXXC dωjCCi:Iij+ ωi+1 ·Ii+2,jωj − ωi+2 ·Ii+1,jωj = MCidtj=1j=1j=1=⇒3X¡ C¢CCIij ω̇j + Ii+2,jωj ωi+1 − Ii+1,jωj ωi+2 = MCij=1=⇒3X¡ C£ C¤ ¢CIij ω̇j + Ii+2,jωi+1 − Ii+1,jωi+2 ωj = MCi(2)j=1Если оси Cξα являются главными центральными осями инерции тела —для которых центробежные моменты инерции равны нулю, т.е. всенедиагональные элементы оператора инерции, у которых разноимённыеиндексы – тогда из (2) легко получить новое выражение теоремы обизменении относительного кинетического момента тела относительно C:¡ C¢C− Ji+1ωi+1 ωi+2 = MCJiC ω̇i + Ji+2(i = 1, 2, 3)iназываются — динамические уравнения Эйлера (для центра масс).Здесь JiC = IiiC – главные осевые моменты инерции тела относительноглавных центральных осей инерции сопутствующей системы координат Cξα .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.8 / 20Отметим, что в общем случае главный вектор сил F̄ и главныймомент сил относительно центра масс M̄C являются функциямивремени t, координат r̄ и скоростей v̄ точек их приложения:F̄ = F̄ (t, r̄, v̄),M̄C = M̄C (t, r̄, v̄)Однако,r̄ = r̄ C (t) + ρ̄(t) = r̄ C (t) + A(t)eρ,v̄ = v̄ C (t) + ω̄(t) × ρ̄(t) = r̄˙ C (t) +ȦA−1 ρ̄ = r̄˙ C (t) +Ȧ(t)eρe = const – радиус-векторы точек приложенния сил вгде ρсопутствующих осях считаются заданными, а ортогональная матрицаповорота A является функцией эйлеровых углов:A(t) = A(ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t)),поэтомуr̄ = r̄(xCα , ϕα ),v̄ = v̄(ẋCα , ϕα , ϕ̇α )©ªCСледовательно F̄ и M̄C будут функциями от t, xCα , ϕα , ẋα , ϕ̇α .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.9 / 20Дифференциальные уравнения движения телаВ динамических уравнениях Эйлера стоят выражения ωi и чтобы получиласьзамкнутая система к (1)-(2) необходимо добавить или просто выразить ωiчерез углы Эйлера ϕα и их производные ϕ̇α с помощью кинематическихуравнений Эйлера: ω1 = ϕ̇1 sin ϕ2 sin ϕ3 + ϕ̇2 cos ϕ3ω2 = ϕ̇1 sin ϕ2 cos ϕ3 − ϕ̇2 sin ϕ3(3)ω3 = ϕ̇1 cos ϕ2 + ϕ̇3Полученная система дифференциальных уравнений (1)-(2)-(3)M ẍCα = Fα ,(α = 1, 2, 3)3X¡ C£ C¤ ¢CIij ω̇j + Ii+2,jωi+1 − Ii+1,jωi+2 ωj = MCi(1)(i = 1, 2, 3)(2)j=1содержит 9 уравнений для определения 9 функций: xCα , ϕα , ω α .Она определяет математическую модель механической системы (т.е.описывает движение) — «свободное абсолютно твёрдое тело».Уравнения (1)-(2) называются — динамические уравнения движениятвёрдого тела.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
