1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 15
Текст из файла (страница 15)
А. (НГУ)νeνДифференциал кинетической энергии системыравен элементарной работе всех сил системыЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.37 / 40Подчеркнём, что в отличии от рассмотренных ранее теорем об измененииколичества движения и кинетического момента системы, в теореме обизменении кинетической энергии присутствует работа всех сил системы:внешних и внутренних.
То, что силы, с которыми взаимодействуют дветочки системы, равны по величине и противоположно направлены, неприводит к равенству нулю работы внутренних сил δAi , т.к. при определенииработы важны и перемещения точек dr̄ ν , а они у двух взаимодействующихточек не обязательно одинаковы.Проинтегрировав обе части равенства от t0 (начального) до t1 (конечного)по времени, получим интегральную форму теоремы об изменениикинетической энергии:Zt1Zt1iT1 − T0 = δA + δAe = Ai + Aet0t0T1 − T0 = Ai + AeРазность значений кинетической энергии в конечный и в начальныймоменты времени (в конечном и начальном положениях системы)(или приращение кинетической энергии системы за конечноевремя) равно работе всех сил системы за то же времяОбратим внимание, что теорема об изменении кинетической энергии имеетскалярный вид, в отличии от предыдущих теорем векторного характера.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.38 / 40Закон сохранения полной механической энергииПусть все силы системы (внешние и внутренние) – потенциальные, т.е.δAe = −dΠe ,δAi = −dΠiгде Πe , Πi – потенциалы внешних и внутренних сил, соответственно, а ихобщий потенциал Π = Πe + Πi – не зависит явно от времени (т.е. случайконсервативного силового поля), тогдаdT = δAe + δAi = −dΠe − dΠi = −dΠ=⇒dT + dΠ = d(T + Π) = 0Полная механическая энергия системы: E = T + Π– является суммой кинетической и потенциальной энергий.Из последнего равенства следует:E = T + Π = const–интеграл энергииЕсли механическая система находится в консервативном силовом поле(все силы потенциальны и потенциал не зависит явно от времени)то при движении системы её полная механическая энергия постояннаБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.39 / 40Отметим, что для справедливости закона сохранения полноймеханической энергии требование о том, чтобы все силы системыбыли потенциальными, необязательно! Достаточно потребоватьэто от только сил, работа которых на действительномперемещении системы dr̄ ν (ν = 1, . . . , N ) отлична от нуля.Например, нормальная реакция – непотенциальная сила, ноN̄ ⊥ dr̄, поэтому δA(N̄ ) = N̄ · dr̄ = 0.Тогда если все остальные силы потенциальные, а их потенциалне зависит явно от времени, то для такой системы справедливзакон сохранения полной механической энергии.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.40 / 40ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 11ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЕЁ ЦЕНТРА МАССЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.1 / 18Движение механической системыотносительно её центра массВведём важное понятие:движение системы относительно её центра масс– это движение точек системы относительно поступательнодвижущейся системы координат с началом в центре масс системы C.То есть это движение точек относительно системы координат Cxyz,которая называется — кёнигова система координат.A rnAУ неё оси Cx, Cy, Cz всегда совпадаютс направлениями осей Oa x, Oa y, Oa zнекоторой инерциальной (неподвижной)системы координат Oa xyz.
Введениеэтого движения позволяет получитьновые выражения для мер движениясистемы и новые уравнения для них.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11PnzrnBzCOaxrnByyxНовосибирск, 2017 г.2 / 18Ранее введено понятие кинетического момента системы относительноNXнекоторого центра A: L̄A =ρ̄νA × mν v̄ ν , где ρ̄νA – радиус-векторν=1−−→точки Pν системы относительно A, т.е. ρ̄νA = APν , mν – масса Pν ,v̄ ν – скорость Pν в инерциальной системе координат Oa xyz.При этом точка A (центр) может, вообще говоря, перемещаться какугодно (необязательно неподвижная точка). Рассмотрим другой центрB, и найдем зависимость между кинетическими моментами системыотносительно двух различных центров A и B, в момент времени t.Пусть ρ̄νA и ρ̄νB радиус-векторы точки Pν относительно центров A и B,тогдаNN ³´XX−−→L̄B =ρ̄νB × mν v̄ ν =BA + ρ̄νA × mν v̄ ν =ν=1=NXν=1NX−−→BA×mν v̄ ν +ν=1Батяев Е.
А. (НГУ)N−−→ X−−→ρ̄νA ×mν v̄ ν = BA×mν v̄ ν +L̄A = BA×Q̄+L̄Aν=1ν=1ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.3 / 18Связь между кинетическими моментамисистемы относительно разных центров−−→L̄B = L̄A + BA × Q̄где Q̄ – количество движения механической системы.В частности, если A = C, т.е. является центром масс системы имеем:−−→L̄B = L̄C + BC × Q̄Альтернативное выражение:L̄B = L̄C + m̄B (Q̄)считая количество движения Q̄ = M v̄ C приложенным в центре масс :−−→m̄B (Q̄) = BC × Q̄ – момент вектора количества движения системы Q̄(приложенного в центре масс) относительно B.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.4 / 18В терминах введённого понятия движения системы относительно еёцентра масс рассмотрим:NXотносительный кинетический момент− L̄Cr =ρ̄ν × mν v̄ νrсистемы относительно центра масс Cν=1где v̄ νr – скорость точки Pν в её движении относительно центра масс,т.е.
в кёниговой системе координат Cxyz, значит здесьv̄ νr – является относительной скоростью.По аналогии с этим, назовём обычный кинетический момент системыL̄C =NXρ̄ν × mν v̄ νν=1−абсолютный кинетический моментсистемы относительно центра масс CЗдесь v̄ ν – абсолютная скорость точки Pν системы, т.е. относительноабсолютной неподвижной системы координат Oa xyz.В силу того, что кёнигова система координат движется поступательно,переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны: v̄ νe = v̄ C .Поэтому абсолютная скорость точки Pν , участвующей в сложномдвижении, будет определяться формулой:v̄ ν = v̄ C + v̄ νr .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.5 / 18Вычислим теперь абсолютный кинетический момент механическойсистемы относительно C:NNXXL̄C =ρ̄ν × mν v̄ ν =ρ̄ν × mν (v̄ C + v̄ νr ) =ÃN!ν=1ν=1NXX=mν ρ̄ν × v̄ C +ρ̄ν × mν v̄ νrν=1ν=1Последнее слагаемое является относительным кинетическимNXмоментом системы относительно центра масс: L̄Cr =ρ̄ν × mν v̄ νr .ν=1Так как центр масс находится в начале кёниговой системы координат,значит ρ̄C = 0, тогда выражение в скобках первого слагаемогоNXпреобразуется:mν ρ̄ν = M ρ̄C = 0. Тогда имеем:ν=1L̄C = L̄Crт.е. абсолютный кинетический момент механической системыотносительно её центра масс — равен относительному кинетическомумоменту системы относительно её центра масс.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.6 / 18Более того если рассмотреть относительный кинетический моментсистемы относительно любой другой точки A, не являющейсяцентром масс, то получим:NN ³´XX−→L̄Ar =ρ̄νA × mν v̄ νr =AC + ρ̄ν × mν v̄ νr =ν=1ν=1NNν=1ν=1X−→ X= AC ×mν v̄ νr +ρ̄ν × mν v̄ νrПоследнее слагаемое является относительным кинетическимNXмоментом системы относительно центра масс: L̄Cr =ρ̄ν × mν v̄ νr .А сумма в первом слагаемом преобразуется:NXν=1mν v̄ νr = M v̄ Cr = 0ν=1поскольку скорость центра масс в кёниговой системе координат v̄ Cr –это скорость начала координат C, т.е. равна нулю.
Тогда имеем:L̄Ar = L̄CrТ.е. относительные кинетические моменты системы (в ее движенииотносительно центра масс) одинаковы для всех точек пространства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.7 / 18Связь между абсолютным и относительнымкинетическими моментами системыа поскольку L̄C = L̄Cr , получим:L̄Ar = L̄C−→Поскольку L̄A = L̄C + AC × Q̄, то справедливо следующее выражение−→L̄A = L̄Ar + AC × Q̄т.е. абсолютный кинетический момент системы относительнопроизвольного центра A равен сумме ее относительного кинетическогомомента (одинакового для всех точек пространства: L̄Ar = L̄Cr = L̄C )и момента вектора количества движения системы Q̄ относительноцентра A – в предположении, что он приложен в центре масс системы.Альтернативное выражение:L̄A = L̄Ar + m̄A (Q̄)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.8 / 18Своеобразный аналог полученного выражения для кинетического моментасистемы можно сформулировать и для кинетической энергии, если ввестиNTr =1X2mν vνr2 ν=1−относительная кинетическая энергиямеханической системы(т.е. кинетическая энергия относительного движения системы по отношениюк центру масс в кёниговой системе координат).ТЕОРЕМА Кёнига:Кинетическая энергия системы равна суммекинетической энергии, которую имела бы материальная точка, двигающаясякак центр масс системы с массой, равной массе системы, и кинетическойэнергии движения системы относительно центра масс системы.Доказательство:NN1X1X2T =mν vν2 =mν (v̄ C + v̄ νr ) =2 ν=12 ν=1ÃN!NNX11X1X222mν v̄ νr ·v̄ C += M vC+(M v̄ Cr )·v̄ C +Trm ν vC +mν vνr=2 ν=122ν=1ν=1но относительная скорость центра масс: v̄ Cr = 0 окончательно получимвыражение:12T = M vC+ Tr¥2Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
