1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Спроектируем P̄ = F̄ O + J̄ e навертикаль:P = FO cos α − Je cos ψ = FO cos α − Je cos(ϕ + α)Ввиду малости угла α можно положить α = 0, тогда22P = FO − Je cos ϕ = FO − mΩ ρ cos ϕ = FOmΩ2 ρ cos2 ϕ1−FO= P (ϕ)Получается, что гравитационная сила FO больше силы тяжести P везде на Землекроме полюсов, где ϕ = ±π/2 т.е. cos ϕ = 0 ⇒ P (±π/2) = FO = mg01Ω2 ρ cos2 ϕcos2 ϕΩ2 ρВеличина≈, значит P (ϕ) = FO 1 −= FO 1 −g0289g0289отсюда получимнаименьшееP(ϕ)приϕ=0(cosϕ=1),т.е.наэкваторе,где1P (0) = FO 1 −= Pmin . Отсюда ясно, что наибольшее относительное289Pmax − Pmin1≈ 0.0034 , т.е.
составляет всего 0,34%.изменение веса:=Pmax289В большинстве технических вопросов этой разницей обычно пренебрегают. Тем неменее эта разница существенна в задачах космических полётов ракет, из-за чеговсе космодромы стараются сделать поближе к экватору, чтобы минимизироватьрасход горючего на старте ракеты, т.к. основная его часть тратится за это время.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.14 / 14ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 9-10ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ,КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА,КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.1 / 40Механической системой называетсятакое множество материальных точек,где движение каждой точки зависитот положений и движений остальных точек.Механическая система— это совокупностьвзаимодействующих материальных точек.Пример: Солнечная система, механизмы машин.Но горсть песчинок, подброшенных в воздух, систему не образуют,т.к.
не взаимодействуют, т.е. двигаются независимо друг от друга.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.2 / 40Внутренние и внешние силыP1P2x3PnFnmiPmrnrmOax1P3Fmnix2Рассмотрим произвольную механическуюсистему из N материальныхточек Pν (ν = 1, . . . , N ), с массами mν .Силы, действующие на точкисистемы (приложенные к точкам) можноусловно разделить на внутренние и внешние:Внутренние силы – силы взаимодействиямежду точками данной системы.Будем их обозначать индексом i .Внешние силы – силы, действующие на точки системы от точекне включённых в рассматриваемую систему. Обозначаем индексом e .Итак, силу, действующую на точку Pν – можно представить из двухсоставляющих:ieF̄ ν = F̄ ν + F̄ νБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.3 / 40Отметим, что под силой F̄ ν , действующей на точку Pν системы,которая участвует выражении II закона Ньютона, подразумевается –iравнодействующая :eF̄ ν = F̄ ν + F̄ νт.е. сумма всех сил от точек системы (внутренних) на точку PνформируетiF̄ νравнодействующая внутренних сил,−а сумма всех остальных сил – от точек не включённых в систему(внешних) определяетeF̄ ν−равнодействующая внешних силт.е. равнодействующая внутренних сил выражается в виде:iF̄ ν=NXiF̄ νµµ=1iF̄ νµгде– сила, действующая на точку Pν со стороны остальных точекPµ системы (µ = 1, .
. . , N − 1).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.4 / 40Будем считать, что силы определены как функции времени,положений точек и их скоростей: F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N , v̄ 1 , . . . , v̄ N ).Тогда для каждой точки в инерциальной системе отcчёта справедливоустановленное ранее дифференциальное уравнение (II закон Ньютона):mν ¨r̄ ν = F̄ ν (t, r̄ 1 , . .
. , r̄ N , r̄˙ 1 , . . . , r̄˙ N )(ν = 1, . . . , N )эквивалентное 3N скалярным дифференциальным уравнениям:mν ẍαν = Fνα (t, xβµ , ẋβµ )(ν, µ = 1, . . . , N ; α, β = 1, 2, 3)которые определяют математическую модель«система материальных точек»Предполагая известными начальные условия:xαν = xαν0 ,ẋαν = ẋαν0при t = 0получим соответствующую задачу Коши для функций xαν (t).Разрешимость полученной задачи (существование и единственностьрешения в некоторой окрестности начального положения)обеспечивается при условии на силы Fνα – непрерывность по времени инепрерывная дифференцируемость по координатам xβµ и скоростям ẋβµ .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.5 / 40Для исследования движения механической системы надо призаданных начальных условиях (Задача Коши) проинтегрироватьсистему уравнений и найти зависимость r̄ ν (t). Это в большинствеслучаев невозможно, особенно если число уравнений (точек) велико.Однако, при практическом исследовании движения очень часто нетнеобходимости изучать всю систему дифференциальных уравненийдвижения системы, а достаточно знать изменение со временем лишьнекоторых величин, общих для всей материальной системы иявляющихся функциями координат и скоростей точек системы (иможет быть времени), т.е.
не зависящих от ускорений. В частностиесли такая функция (дифференциальное выражение) остаётсяпостоянной при действительном движении системы, то она называетсяи является первым интегралом уравнений движения т.е. имеет видf (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N , r̄˙ 1 , . . . , r̄˙ N ) = constИспользование первых интегралов позволяет упростить задачуисследования движения системы, а иногда и решить её до конца.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.6 / 40Самый известный приём получения первых интегралов уравненийдвижения механической системы основан на изучении поведенияосновных динамических величин (характеристик) системы:количество движения,кинетический момент,кинетическая энергия.Изменение этих величин во времени описываетсяосновными теоремами динамики системы,которые непосредственно вытекают из уравнений движения.Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые изосновных динамических величин, остаются постоянными (т.е.
первыеинтегралы уравнений движения) называют – законы сохранения.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.7 / 40ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР СИЛЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ ТОЧЕККОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫЗАКОН СОХРАНЕНИЯКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.8 / 40Главный вектор системы сил — сумма всех сил(равнодействующих) приложенных к точкам системы:F̄ =NXF̄ νν=1Поскольку равнодействующая сила F̄ ν , приложенная к точке Pν равнаieсумме равнодействующих внутренних сил F̄ ν и внешних сил F̄ ν тогда:NNNN XNXXXXieieF̄ =F̄ ν +F̄ ν =F̄ νµ +F̄ νν=1ν=1ν=1 µ=1ν=1Но согласно III-му закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют двелюбые точки системы, равны по величине и направлены вдоль прямой,соединяющей точки, в противоположные стороны (это силы взаимногоiiпритяжения или отталкивания): F̄ νµ = −F̄ µν , поэтому, в выражении дляглавного вектора сил, внутренние силы – взаимно сокращаются.
Получили1 Свойство внутренних сил: главный вектор внутренних сил равен нулю:iF̄ =NXν=1iF̄ ν =NXiF̄ νµ = 0ν,µ=1Поэтому для главного вектора системы сил справедливо выражение:NPeeF̄ = F̄ =F̄ νν=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.9 / 40Центр масс механической системыЦентр масс системы — называетсяP1x3CP2геометрическая точка C пространства,определяемая радиус-вектором:N1 Xr̄ C =r̄ ν mνMP3rCOax1rn Pn,mnx2ν=1где M =NXmν – масса системы.ν=1В скалярной (координатной) форме:xαCN1 X=xαν mνMν=1Замечание: для механической системы это не какая-то конкретная точкасистемы (материальная частица), а некоторая геометрическая точка впространстве, определяемая по данной формуле.Центр масс системы иногда называют также – центр инерции.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.10 / 40Количество движения механической системыКоличество движения системы материальных точекQ̄ =NXν=1mν v̄ ν =NXq̄ νν=1P1 P q22v2v1q1Pn,mn vn— количество движения материальной точки Pν ,qnгде q̄ ν = mν v̄ νv̄ ν – скорость точки. Т.к. центр масс системы определяется выражениемNXM r̄ C =r̄ ν mν , то дифференцируя его по времени получим:M v̄ C =ν=1NXv̄ ν mν = Q̄, таким образом имеем другое выражение количестваν=1движения системы:Q̄ = M v̄ Cгде M – масса всей системы, v̄ C – скорость центра масс. Т.е.
количестводвижения системы равно массе системы, умноженной на скорость её центрамасс. Количество движения иногда называют также — импульс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.11 / 40Теорема об изменении количества движениямеханической системыСложив почленно уравнения движения системы получим:NNNXXXiemν āν =F̄ ν +F̄ ν ,ν=1ν=1NXν=1iiСогласно 1-му свойству внутренних силF̄ ν = F̄ = 0, поэтому справаNXν=1eeостаётся только F̄ =F̄ ν – главный вектор внешних сил.ν=1Учитывая постоянство массы каждой из точек системы mν имеем:NNNXXdv̄ νd XdQ̄mν āν =mν=mν v̄ ν =dtdtdtν=1ν=1ν=1⇒dQ̄e= F̄dtПроизводная по времени (изменение) количества движениясистемы равна главному вектору всех внешних сил системыБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.12 / 40Теорема об изменении количества движения механической системыЭту теорему можно представить в интегральной форме проинтегрировав повремени от t0 (начальный момент времени) до t1 (конечный момент):Zt1Q̄1 − Q̄0 =t0Zt1Выражение S̄ =eF̄ dtF̄ dt — называется импульс силы за время t1 − t0 ,t0причём очевидно: S̄(F̄ ) =NXS̄(F̄ ν ), если F̄ =ν=1NXF̄ ν . Тогда получимν=1альтернативную формулировку теоремы:Разность значений количества движения системы в конечный ив начальный моменты времени (приращение за конечное время)равно сумме импульсов внешних сил (импульсу главного векторавнешних сил) за это времяЗамечание: интегральная форма теоремы используется в случае, когдаможно вычислить интеграл в правой части выражения, т.е. когдаeeF̄ = F̄ (t) и не зависит от положений r̄ ν и скоростей r̄˙ ν точек.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.13 / 40Теорема о движении центра масс системыДифференциальной форме теоремы об изменении количества движенияпридадим ещё другой вид: т.к. Q̄ = M v̄ C , то с учётом постоянства массысистемы M имеемdv̄ CeM= F̄dtЦентр масс системы движется так же, как двигалось быматериальная точка, масса которой равнялась бы массе системы, поддействием силы, равной главному вектору всех внешних сил системыОтметим, что система, в частности , может состоять из одной единственнойточки, поэтому для точки также справедлива теорема об изменении еёNXdq̄= F̄ =F̄ µ , где q̄ = mv̄, Причём для однойколичества движения:dtµ=1точки все силы - внешние - поэтому индекс e можно не использовать.Учитывая, что m = const отсюда получаемmdv̄= F̄dt⇐⇒ основной закон динамики точки (II Закон Ньютона).Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
