1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 9
Текст из файла (страница 9)
изучение плоского движения тела сводитсяв изучению движения плоской фигуры в её плоскости. VIDEO 1 VIDEO 2x2=hlzyx1=xx2=yj1=jOOaБатяев Е. А. (НГУ)OOaxЛЕКЦИЯ 6x1=xНовосибирск, 2017 г.13 / 19Выберем эту плоскость так, чтобы она проходила через полюс тела точку O,а неподвижную систему координат так, чтобы оси Oa x1 и Oa x2 лежали вплоскости, а ось Oa x3 – перпендикулярна плоскости (т.е. ось Oa x3неподвижной системы и ось Oξ3 подвижной системы координат совпадают).Понятно, что при таком выборе осей из трех уравнений движения полюсаостаются два:x01 = x01 (t), x02 = x02 (t) (x03 ≡ 0)Легко понять, что для выполнения требования плоского движения, т.е.сохранения расстояний точек тела до фиксированной плоскости, придвижении точек плоской фигуры в плоскости остаётся одно уравнениевращения вокруг полюса – вращение в плоскости движения вокруг оси Oξ3 :ϕ1 = ϕ1 (t)Итак, плоское движение сочетает в себе плоское поступательное движение ивращение вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс перпендикулярноплоскости движения.
Тогда легко понять, что00ω̄ = 0 ,ε̄ = 0 ϕ̇ϕ̈т.е. ω̄ и ε̄ – перпендикулярны плоскости движения.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.14 / 19Для дальнейших рассуждений полезными будут более простые выражениядля формул распределения скоростей и ускорений точек телапри плоском движении :−−→−−→−−→v̄ M = v̄ O + ω̄ × OMāM = āO + ε̄ × OM − ω 2 OM−−→где радиус-вектор OM точки M тела – лежит в плоскости движенияфигуры, как и скорость и ускорение полюса O: v̄ O и āO – тоже лежат вплоскости движения фигуры.Таким образом при плоском движении имеем:VIDEO 1 VIDEO 2−−→−−→ω̄ ⊥ OM и ε̄ ⊥ OM−−→−−→−−→−−→ −−→|ω̄ × OM | = |ω̄||OM |, ω̄ × OM ⊥ ω̄, ω̄ × OM ⊥ OMВращательное ускорение:−−→āε = ε̄ × OM ⇒āε ⊥ ε̄,−−→āε ⊥ OM ,−−→|āε | = |ε̄| · |OM |Центростремительное ускорение (не осестремительное):−−→āω = −ω 2 OM − к полюсу O,−−→|āω | = ω 2 |OM |Вращательное āε и центростремительное āω ускорения — лежат в плоскостидвижения, причём āε ⊥ āω .VIDEO 1 VIDEO 2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.15 / 19ТЕОРЕМА: Если движение плоской фигуры в её плоскости в данныймомент времени не является мгновенно поступательным (т.е. ω̄ 6= 0), то вэтот момент времени существует единственная точка P фигуры (плоскости),скорость которой равна нулю v̄ P = 0 . Скорости остальных точек таковы,какими они были бы при мгновенном вращении фигуры вокруг точки P.yPwДоказательство: Найдём точку P.Согласно формуле распределения скоростей:wõOMvM−−→v̄ P = v̄ O + ω̄ × OP = 0MOvOOaxУмножим выражение слева векторно на ω̄:(ω̄ направлен перпендикулярно плоскости движения)−−→−−→−−→ω̄ × v̄ O + ω̄ × (ω̄ × OP) = ω̄ × v̄ O + ω̄(ω̄ · OP) − OP(ω̄ · ω̄) = 0−−→Второе слагаемое равно нулю т.к. ω̄ ⊥ OP, отсюда:−−→−−→причём OP ⊥ ω̄ и OP ⊥ v̄ O ,Батяев Е.
А. (НГУ)OP =vOωЛЕКЦИЯ 6−−→ ω̄ × v̄ OOP =ω2¥Новосибирск, 2017 г.16 / 19Точка P плоской фигуры, обладающая данным свойством (v̄ P = 0)называется – мгновенный центр скоростей.wvMЕсли за полюс взять P,P−−→то для любой точки M тела v̄ M = ω̄ × PMvN– как при «чистом» вращении вокругMO vNмгновенного центра скоростейOVIDEO 1 VIDEO 2в данный момент времени.Замечание: P – не фиксированная точка тела, а возможная точка тела,которая обладает указанным свойством, она может лежать и вне фигуры.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.17 / 19ТЕОРЕМА: Пусть плоская фигура движется в своей плоскости.Если в некоторый момент времени хотя бы одна из величин ϕ̇ или ϕ̈ неравна нулю, то в этот момент времени существует единственная точка Qфигуры (хотя не обязательно в фигуре), что: āQ = 0 .Доказательство: Найдём точку Q. Согласно формуле распределения ускорений:−−→−−→−−→−−→0 = āQ = āO + ε̄ × OQ − ω 2 OQ ⇒ ω 2 OQ = āO + ε̄ × OQУмножим последнее выражение слева векторно на ε̄:−−→−−→−−→−−→ω 2 ε̄ × OQ = ε̄ × āO + ε̄ × (ε̄ × OQ) = ε̄ × āO + ε̄(ε̄ · OQ) − OQ(ε̄ · ε̄)−−→Второе слагаемое в последнем выражении равно нулю т.к.
ε̄ ⊥ OQ отсюда−−→−−→ω 2 ε̄ × OQ = ε̄ × āO − ε2 OQaeyИз исходного уравнения имеем:−−→−−→Mε̄ × OQ = ω 2 OQ − āOaeOwOaaw MaOxподставим его в полученное выражение:−−→−−→ω 2 (ω 2 OQ − āO ) = ε̄ × āO − ε2 OQ−−→⇒ OQ(ω 4 + ε2 ) = ω 2 āO + ε̄ × āO−−→ω 2 āO + ε̄ × āOOQ =ω 4 + ε2çàìåäëåííîå âðàùåíèåБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6¥Новосибирск, 2017 г.18 / 19Точка Q плоской «фигуры», обладающая данным свойством (āQ = 0)называется – мгновенный центр ускорений.Если взять точку Q в качестве полюса, то формула распределения ускоренийпримет форму:−−→−−→āM = ε̄ × QM − ω 2 QM−−→āε = ε̄ × QM ,−−→āω = −ω 2 QM ,āε ⊥ āω⇒aM = QMpε2 + ω 4−−→−−→|āε | = |ε̄|·|QM |, |āω | = ω 2 |QM |ae⇒ tg β = |āε |/|āω | = ε/ω 2 −не зависит от M−−→т.е. угол β между āM и QM –– одинаковый для любых точек тела.Mb aw aBAebQ baMaAБатяев Е.
А. (НГУ)VIDEO 1VIDEO 2BЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 7КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯТОЧКИ И ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.1 / 19x3Mx3Sx2OrOax1rOx2x1Иногда необходимо изучить движениеточки одновременно по отношениюк двум системам координат.Когда мы рассматривали кинематикутвёрдого тела и определяли скоростии ускорения точек тела, тоэти точки тела были неподвижными всопутствующей системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 ,−−→e = OM = const.т.е.
радиус-вектор ρТеперь будем предполагать, что это вектор-функцияe=ρe(t) в системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 .ρВ более общем случае можно рассматривать не тело, а некоторуюсреду S, двигающуюся как твёрдое тело, положение которой определяетсясистемой координат Oξ1 ξ2 ξ3 с заданным законом движения относительнонеподвижной абсолютной системы координат Oa x1 x2 x3 . Это значит, чтоизвестны движение полюса O через радиус-вектор r̄ O (t) и матрица поворотаA(t), задающая ориентацию осей Oξ1 , Oξ2 , Oξ3 относительно абсолютнойсистемы координат Oa x1 x2 x3Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.2 / 19Относительное движение точки M —называется её движение по отношениюк сопутствующей системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 ,e=ρe(t),определяемое радиус-вектором ρx2 т.е. это движение точки M относительноOrнекоторой неизменяемой среды S.x1rOАбсолютное движение точки M —Oaназывается движение точки M относительноx2абсолютной системы координат Oa x1 x2 x3 ,x1определяемое радиус-вектором r̄ = r̄(t).Переносное движение — называют движение самой подвижной(сопутствующей) системы координат Oξ1 ξ2 ξ3 (т.е.
тела или среды S) поотношению к абсолютной системе координат Oa x1 x2 x3 .Относительное и переносное движение называют ещё составляющимидвижениями, а абсолютное называют – результирующим или сложным.Так возникает задача сложения движений, которое в абсолютной системекоординат в векторной форме имеет вид:r̄(t) = r̄ O (t) + ρ̄(t)x3Mx3SЗадача состоит в установлении связи между основными кинематическимихарактеристиками движения точки в неподвижной Oa x1 x2 x3 и подвижнойOξ1 ξ2 ξ3 системах координат.VIDEOБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.3 / 19Любой вектор,заданный компонентами в сопутствующей системе координат Oξ1 ξ2 ξ3(cξ1 , cξ2 , cξ3 )—обозначается какecвыражается компонентами в абсолютной системе координат Oa x1 x2 x3(cx1 , cx2 , cx3 )—обозначается какc̄с помощью ортогональной матрицы поворота A(t) по формуле:c̄(t) = A(t) ec(t)В том числе и вектор½−−→e=ρe(t) в Oξ1 ξ2 ξ3ρOM =:ρ̄ = ρ̄(t) в Oa x1 x2 x3ρ̄(t) = A(t)eρ(t)Далее нам необходимо будет дифференцировать по t вектор c̄(t),определяемый относительно подвижной системы координат Oξ1 ξ2 ξ3 —которая сама двигается относительно абсолютной системы Oa x1 x2 x3 .Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.4 / 19Относительная и абсолютная производные вектора по времениСкорость изменения этого вектора c̄(t) в абсолютной (неподвижной) системекоординат Oa x1 x2 x3 : c̄(t) = A(t)ec(t) называют абсолютная производная,а скорость изменения исходного вектора ec(t) в системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 –относительная или локальная производная.Пусть движение системы Oξ1 ξ2 ξ3 задано, тогда матрица поворота A(t),определяющая ориентацию подвижной системы координат относительнонеподвижной – известна.
Таким образом векторdc̄= c̄˙dtобозначая−абсолютная производная вектора c̄,edc̄dec=A= Aėcdtdt−относительная производная вектора c̄.edc̄ dc̄и— заданы компонентамиdtdtв неподвижной системе координат Oa x1 x2 x3 (причём вектор dec/dt задан вОтметим, что обе производные вектора c̄:системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.5 / 19Дифференцируя по t выражение c̄(t) = A(t)ec(t) имеем:dc̄= Ȧec + Aėc = ȦA−1 c̄ + AėcdtПосколькуȦA−1 c̄ = ω̄ × c̄где ω̄ – угловая скорость системы Oξ1 ξ2 ξ3 относительно системы Oa x1 x2 x3 ,с учётом обозначения относительной производной, эта формула устанавливаетсвязь между абсолютной и относительной производными вектора по времениedc̄dc̄= ω̄ × c̄ +dtdteОтметим, что символ относительного дифференцирования d/dtвведёнтолько для вектора, т.е.
при дифференцировании скалярной величиныe·eразличия между ними нет — она одинаковая везде (например ā · b̄ = ab).Причём относительное дифференцирование применяется только тогда –когда вектор задан своим разложением в подвижной системе координат.edc̄dc̄=при ω̄ = 0 — при поступательном движении среды SЗамечание: 1.dtdtdω̄deω̄2.=dtdtБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.6 / 19Скорости и ускорения сложного движения точкиАбсолютной скоростью v̄ a (абсолютным ускорением āa ) точки – называютеё скорость (ускорение) относительно абсолютной системы координат Oa x1 x2 x3˙v̄ a = r̄,āa = ¨r̄Относительной скоростью v̄ r (относительным ускорением ār ) точки –называют её скорость (ускорение) относительно сопутствующей системыкоординат Oξ1 ξ2 ξ3 .
Т.к. положение точки относительно сопутствующейe(t), тосистемы координат описывается (покомпоненто) вектором ρedρотносительнаяė = ver −=ρскорость,dted2 ρотносительноеėr = aer −ë = v=ρускорение.dt2в системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 . Тогда в абсолютной системе координатOa x1 x2 x3 относительные скорость и ускорение (покомпонентно) имеют вид:ėv̄ r = Aev r = Aρėr = Aρëār = Aea r = AvИли, с учётом обозначения для относительной производной вектора,относительные скорость и ускорение точки имеют выражения:v̄ r =Батяев Е. А. (НГУ)edρ̄dtār =ЛЕКЦИЯ 7e rde2 ρ̄dv̄= 2dtdtНовосибирск, 2017 г.7 / 19er (ār и ae r ) это одни и те же вектора – скорости (ускорения)Собственно v̄ r и vточки M по отношению к телу (относительно Oξ1 ξ2 ξ3 ). Только выраженыони компонентами (координатами) в разных системах координат:v̄ r (ār ) – в абсолютной Oa x1 x2 x3 :(vxr 1 , vxr 2 , vxr 3 ), (arx1 , arx2 , arx3 )er (evar ) – в сопутствующей Oξ1 ξ2 ξ3 :(vξr1 , vξr2 , vξr3 ), (arξ1 , arξ2 , arξ3 )В результате относительного движения точки M по среде S, она совпадает сразличными точками среды, которые, вообще говоря, движутся по-разному.Переносной скоростью v̄ e (переносным ускорением āe ) точки –называют скорость (ускорение) той точки среды S, с которой точка M вданный момент времени совпадает.Иными словами, переносная скорость (ускорение) есть та скорость (ускорение)которую движущаяся точка M имела бы в данный момент, если бы она вэтот момент оказалась жёстко связанной с подвижной системой координат(телом или средой), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
