1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 13
Текст из файла (страница 13)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.14 / 40Закон сохранения количества движенияeЕсли всё время движения главный вектор внешних сил – ноль: F̄ = 0̄, то изтеоремы об изменении количества движения следует первый векторныйинтеграл или закон сохранения количества движения:−−−→Q̄ = const⇐⇒NX−−−→mν v̄ ν = constν=1Если главный вектор внешних сил – ноль, то количество движения – постоянноА из формулировки теоремы об изменении количества движения системы ввиде теоремы о движении центра масс системы, если главный векторвнешних сил – ноль, получим:−−−→v̄ C = constЕсли главный вектор внешних сил – ноль, то скорость центра масс – постояннаТакое происходит, например, для так называемых замкнутых (изолированных)систем, которые двигаются только под влиянием внутренних взаимодействий,т.е.
взаимодействий точек, входящих в систему, а взаимодействия с внешнимителами, не входящими в систему – отсутствуют, т.е. этих внешних тел какбудто нет, или они не влияют на движение системы материальных точек.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.15 / 40Закон сохранения количества движенияСтрого говоря, замкнутых систем в таком смысле не существует, хотя быпотому что гравитационное взаимодействие между материальными точкамисуществует всегда, на каком бы расстоянии точки друг от друга ненаходились, поэтому замкнутость системы следует рассматривать условно.Однако закон сохранения количества движения справедлив не только длязамкнутых систем, но и для общего случая, лишь бы главный векторeвнешних сил всё время движения был равен нулю: F̄ = 0̄.Проектируя закон сохранения количества движения системы на оси системыкоординат, получаем 3 скалярных первых интеграла:Qx = C1 ,Q y = C2 ,Q z = C3илиvCx = C10vCy = C20vCz = C30На практике как раз часто бывает справедливы не все, а 1 или 2 интеграла,т.е.
если Fxeα = 0 (проекция главного вектора внешних сил на ось Oxα )тогдадля этой координаты xα : Qxα = const или vCxα = const.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.16 / 40ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИМОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ(КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ)СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИКИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫЗАКОН СОХРАНЕНИЯКИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.17 / 40Момент силы F̄ относительно точки (центра) O —называется векторmO(F)m̄O (F̄ ) = r̄ × F̄Farгде r̄ – радиус-вектор точки P приложения−−→силы F̄ относительно точки O: r̄ = OP .Из свойств векторного произведения определяеммодуль момента силы по формуле:|m̄O (F̄ )| = |r̄| · |F̄ | · sin αdO rPëèíèÿ äåéñòñèëû âèÿгде α = ∠(r̄, F̄ ) – наименьший угол между r̄ и F̄ .Направлен момент – по нормали к плоскости, содержащей r̄ и F̄ , в сторону,откуда «вращение» вокруг O, вызванное силой, происходило бы против ходачасовой стрелки (так называемое «положительное направление» вращения).Нетрудно видеть, что величина: d = |r̄|· sin α = |r̄| · sin(π−α) – плечо силы– равно расстоянию от точки O до линии действия силы – прямой накоторой лежит сила F̄ .
Т.е. плечо d – длина перпендикуляра, опущенного източки O на линию действия силы. ТогдаmO (F̄ ) = d · FБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.18 / 40Момент силы F̄ относительно оси lllmO(F)eml(F)FO2r2– называется проекция на эту ось моментасилы m̄O (F̄ ) относительно произвольнойточки O, взятой на этой оси:ml (F̄ ) = m̄O (F̄ ) · ēPr1O1Составим разность:где ē – единичный вектор (орт)направления оси l. Т.е.
ml (F̄ ) – скаляр.Убедимся, что момент силы относительнооси не зависит от выбора точки O на оси.Для O1 : m̄O1 (F̄ ) = r̄ 1 × F̄ ,для O2 : m̄O2 (F̄ ) = r̄ 2 × F̄ .m̄O1 (F̄ ) · ē − m̄O2 (F̄ ) · ē = (r̄ 1 × F̄ ) · ē − (r̄ 2 × F̄ ) · ē = ((r̄ 1 − r̄ 2 ) × F̄ ) · ē−−−→−−−→но r̄ 1 − r̄ 2 = O1 O2 , который коллинеарен ē, а вектор O1 O2 × F̄ – ортогонален ēСледовательноm̄O1 (F̄ ) · ē − m̄O2 (F̄ ) · ē = ((r̄ 1 − r̄ 2 ) × F̄ ) · ē = 0Т.е моменты силы относительно оси, вычисленные по определению (черезмомент силы относительно разных точек на этой оси) – совпадают.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.19 / 40Рассмотрим плоскость π,перпендикулярную оси l и содержащуюточку P , к которой приложена сила F̄ .Представим радиус-вектор r̄ и силу F̄в виде суммы двух составляющих:lFe|F |||eFa||rr̄ = r̄ ⊥ + r̄ k ,PF̄ = F̄⊥k+ F̄ ,⊥где r̄ ⊥ , F̄ – проекции r̄ и F̄ ³на плоскость´πkkkkа r̄ , F̄ – проекции на ось l r̄ , F̄ k ē .Подставляя эти разложения в формулуOдля момента силы относительно оси lи пользуясь свойствами векторного и скалярного произведений получим:r ||rpml (F̄ ) = (r̄ × F̄ ) · ē = ((r̄ ⊥ + r̄ k ) × (F̄отсюда имеем:⊥k⊥+ F̄ )) · ē = (r̄ ⊥ × F̄ ) · ē⊥ml (F̄ ) = ±|r̄ ⊥ × F̄ |⊥где «+» – если (r̄ ⊥ × F̄ ) и ē – направлены в одну сторону и «−» – если в⊥⊥разные стороны.
Поскольку |r̄ ⊥ × F̄ | = |r̄ ⊥ | · |F̄ | · sin α где α -наименьший⊥⊥угол между r̄ ⊥ и F̄ , тогда вводя плечо силы F̄ как и ранее: d = |r̄ ⊥ | · sin α,получим альтернативное выражение для момента силы относительно оси:ml (F̄ ) = ±d · F ⊥Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.20 / 40Пусть F̄ = (Fx , Fy , Fz ), r̄ = (x, y, z) – компоненты силы и радиус-вектораточки приложения силы, соответственно, в декартовой прямоугольнойсистеме координат Oxyz с началом в O. Тогда из определения момента силыотносительно точки O получим его компоненты в этой системе координат:¯¯¯ īj̄k̄ ¯¯¯m̄O (F̄ ) = r̄×F̄ = ¯¯ xyz ¯¯ = ī (yFz −zFy )+j̄ (zFx −xFz )+k̄(xFy −yFx )¯ Fx Fy Fz ¯Очевидно, что величиныmx (F̄ ) = yFz − zFy , my (F̄ ) = zFx − xFz , mz (F̄ ) = xFy − yFxпомоментами силы F̄ относительно осей Ox, Oy, Oz¡ определению являются¢mx (F̄ ) = m̄O (F̄ ) · ī .
Отсюда сразу следует полезноеСвойство: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда,когда сила и ось лежат в одной плоскости.Например, пусть сила F̄ = (Fx , Fy , Fz ), приложенная к точке Pс радиус-вектором r̄ = (x, y, z) лежит в плоскости, содержащей ось Oz.FxxЭто означает, справедливость отношения:= . Отсюда имеем:Fyymz (F̄ ) = xFy − yFx = 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.21 / 40Рассмотрим систему N точек Pν , обозначимieF̄ ν = F̄ ν + F̄ ν – равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pν ,а r̄ ν – радиус-вектора точек Pν относительно центра O.Главный момент системы сил относительно точки O— называется сумма моментов всех сил, приложенных к точкамсистемы относительно того же центра O:M̄O =NXm̄O (F̄ ν ) =ν=1NXr̄ ν × F¯νν=1Главный момент системы сил относительно оси l— называется проекция на эту ось главного момента M̄O ,вычисленного относительно какой-либо точки O на этой оси l:Ml = M̄O · ēгде ē – единичный вектор направления оси l.
Независимость Ml отвыбора точки O на оси очевидна.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.22 / 40NPieieЗапишем главный момент сил в виде: M̄O =r̄ ν ×(F̄ ν +F̄ ν ) = M̄O +M̄Oν=1NNPPiiiM̄O =m̄O (F̄ ν ) =r̄ ν × F̄ ν − главный момент внутренних сил,eM̄Oν=1NP=ν=1em̄O (F̄ ν )ν=1NP=ν=1er̄ ν × F̄ ν−главный момент внешних сил.Ранее мы вводили выражение для равнодействующей внутренних сил:NNNNPPPPiiiiiim̄O (F̄ ν ) =m̄O (F̄ νµ ) =r̄ ν × F̄ νµ .F̄ ν =F̄ νµ , тогда M̄O =ν=1µ=1ν,µ=1ν,µ=1iPn F inmrniСогласно III-му Закону Ньютона: F̄ νµ = −F̄ µν ,так что для любых 2-х точек системы Pν , Pµ имеем:FmniPm m̄O (F̄ iνµ )+m̄O (F̄ iµν ) = r̄ν ×F̄ iνµ +r̄µ ×F̄ iµν = (r̄ν −r̄µ )×F̄ iνµ−−−→iВектор r̄ ν − r̄ µ = Pµ Pν – коллинеарен F̄ νµ , поэтому−−−→iiiOPµ Pν × F̄ νµ = 0̄ = m̄O (F̄ νµ ) + m̄O (F̄ µν )2 Свойство внутренних сил: главный момент внутренних сил равен нулю:rmiM̄O =NXim̄O (F̄ ν ) = 0̄ν=1eА для главного момента системы сил справедливо: M̄O = M̄O =Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10NPν=1Новосибирск, 2017 г.em̄O (F̄ ν )23 / 40Пусть ρ̄ν - радиус-вектора точек Pν системыотносительно некоторой точки A, называемой центром.Момент количества движения точки Pν(кинетический момент) относительно центра A— называется вектор:l̄νA = ρ̄ν × q̄ νт.е.arnPnvn qnrn rn AO rAlnAl̄νA = ρ̄ν × mν v̄ ν = mν ρ̄ν × v̄ νМомент количества движения (кинетический момент) точки Pνотносительно оси — называется проекция на эту ось момента количествадвижения точки относительно любого центра, выбранного на данной оси:(например относительно оси Oz)ezzPnlνz = l̄νA · ēz(A ∈ Oz, ēz - единичный вектор оси Oz).В независимости кинетического момента относительнооси lνz от выбора центра A на этой оси можноубедиться так же как и при определении момента силыотносительно оси.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10lnArnlnzНовосибирск, 2017 г.AezO24 / 40Момент количества движения (кинетический момент)системы точек относительно центра A — называется вектор:L̄A =NXν=1l̄νA =NXρ̄ν × q̄ ν =ν=1NXmν ρ̄ν × v̄ νν=1Момент количества движения (кинетический момент)системы точек относительно оси — называется проекция наэту ось момента количества движения точек системы относительнолюбого выбранного на данной оси центра: (например относительнооси Oz)Lz = L̄A · ēz(A ∈ Oz, ēz - единичный вектор оси Oz).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.25 / 40Теорема об изменении кинетического момента системыотносительно произвольно двигающегося центра AКинетический моментPN системы относительно центра A определялся нами поформуле: L̄A = ν=1 ρ̄ν × mν v̄ ν , где ρ̄ν – радиус-вектор точки Pν системыотносительно точки A, mν – её масса. При этом точка A – абсолютно любая.Точка A может быть неподвижной, а может и совершать какое-то движение.Обозначим v̄ A – её скорость в выбранной инерциальной системе координат.Продифференцируем по времени обе части выражения, учитывая mν = constNNNN³´XXXXdρ̄νdρ̄νdL̄Aie=×mν v̄ ν +ρ̄ν ×mν āν =×mν v̄ ν +ρ̄ν × F̄ ν + F̄ νdtdtdtν=1ν=1ν=1ν=1Последняя сумма с учётом 2-го свойства внутренних сил равна главномуNXeeмоменту внешних сил относительно центра A: M̄A =ρ̄ν × F̄ ν .ν=1dρ̄νdr̄ νdr̄ AУчитывая, что ρ̄ν = r̄ ν − r̄ A , откуда=−= v̄ ν − v̄ A , получим:dtdtdtÃ!NNXdL̄A Xeee=(v̄ ν − v̄ A )×mν v̄ ν +M̄A =mν v̄ ν ×v̄ A +M̄A = M v̄ C ×v̄ A +M̄Adtν=1ν=1Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
