1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 16
Текст из файла (страница 16)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.9 / 18Теорема об изменении относительного кинетического моментамеханической системы относительно её центра массИз теоремы об изменении абсолютного кинетическогомомента системы относительно центра масс:dL̄Ce= M̄Cdtиспользуя полученное равенство абсолютного и относительногокинетических моментов относительно центра масс L̄C = L̄Cr , получимdL̄Cre= M̄CdtПроизводная по времени относительного кинетическогомомента системы относительно её центра масс равнаглавному моменту внешних сил относительно центра массТ.е. вид этой теоремы для абсолютного и относительногокинетических моментов механической системы — одинаковый.На практике, для исследования вращательного движения, чаще всегоиспользуется именно эта теорема об изменении относительногокинетического момента системы относительно центра масс.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.10 / 18Теоремы динамики системы в неинерциальной системе отсчетаЕсли рассмотреть движение механической системы в произвольно двигающейся,неинерциальной, системе отсчета (подвижная среда типа моря или воздуха, ноперемещающаяся как абсолютное твердое тело), тогда, как мы видели ранее, дляописания движения любой точки в таком сложном движении, необходимоecдобавить к обычным силам – силы инерции: J̄ ν = −mν āeνJ̄ ν = −mν ācν –eпереносную и кориолисову, где āν – переносное ускорение точки Pν (ускорение тойточки среды или тела, с которой Pν совпадают в данный момент времени) иācν = 2ω̄ × v̄ νr – кориолисово ускорение точки.Тогда дифференциальные уравнения относительного движения точки имеют вид:eiecmν āνr = F̄ ν + F̄ ν + J̄ ν + J̄ ν(ν = 1, .
. . , N )– записанные покомпонентно в абсолютной инерциальной системе координат, илиeieceν + Feν + Jeν + Jeνe νr = Fmν a(ν = 1, . . . , N )– представленные покоординатно в неинерциальной, переносной системе координат.Как обычно принято: āνr и v̄ νr – ускорение и скорость точки системы вотносительном движении. Связь между одноименными векторами, записаннымикоординатами в инерциальной (c̄) и неинерциальной системе (ec) – традиционная:c̄ = Aec, где A – матрица поворота от Oξα к Oxα .Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.11 / 18Теорема об изменении количества движения механическойсистемы в неинерциальной системе отсчетаПолученные ранее все теоремы динамики получены из дифференциальныхдвижения точек (II-ой закон Ньютона для каждой точки). Следовательно,все сформулированные теоремы будут верны и в неинерциальной системеотсчета если к силам, приложенным к системе (внешним и внутренним)добавить переносные и кориолисовы силы инерции для ее точек.При этом следует формально силы инерции относить к внешним силам.Теорема об изменении количества движения в неинерциальнойсистеме отсчета в самом общем случае имеет вид:erdQee +Jee + Jec=Fdter =QNXeνr = M veCr – относительное количество движения системы,mν vν=1e e – главный вектор внешних сил (главный вектор внутренних сил – ноль),FNNXXee =ee , Jec =e c – главные вектора переносных и кориолисовыхJJJννν=1ν=1сил инерции.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.12 / 18Теорема об изменении кинетического момента относительнонеподвижного центра в неинерциальной системе отсчетаТеорема об изменении кинетического момента в неинерциальнойсистеме отсчета (для неподвижного относительно неинерциальной системыцентра A):e AreJJdLf +Mf e +Mf c=MAAAdte Ar =LNXeνr – относительный кинетический момент системы,eνA × mν vρν=1−−→eνA = APν – радиус-вектор точки Pν относительно центра A,ρef – главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно A,MAJf e=MANXee – главный момент переносных сил инерции,eνA × Jρνν=1Jf c=MANXee – главный момент кориолисовых сил инерции.eνA × Jρνν=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.13 / 18Теорема об изменении относительной кинетической энергииТеорема об изменении относительной кинетической энергии Trсистемы, для её движения в неинерциальной системе координат:dTr = δr Ae + δr Ai + δr AJeNTr =1X2mν vνr– кинетическая энергия относительного движения,2 ν=1δr Ae , δr Ai – элементарная работа внешних и внутренних сил, приложенныхρν точек системы:к системе, но на относительных перемещениях deeδr A =NXδr Aeνν=1δr AJe =NXeeJν=NXe e · deFρννiδr A =ν=1NXν=1δr Aiν=NXe i · deFρννν=1· deρν – элементарная работа переносных сил инерции.ν=1Здесь отсутствует работа кориолисовых сил инерции так как она равна нулю:e c = −2mν ωe ×veνrкориолисова сила инерции Jνeνr · dt.перпендикулярна относительному перемещению deρν = vБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.14 / 18Заметим, что векторные теоремы динамики системы (кроме скалярнойтеоремы о кинетической энергии), записанные выше в неинерциальной(подвижной) системе координат, можно представить (покомпонентноразложить) в инерциальной (неподвижной) системе координат,заменив абсолютную производную по времени от относительнойвекторной величины в подвижных осях – на относительнуюпроизводную той же величины, но выраженную в неподвижных осях,edc̄decиспользуя связь= A , где A – матрица поворота от Oξα к Oxα :dtdtdeQ̄reec= F̄ + J̄ + J̄dtQ̄r =NXdeL̄ArJeJ= M̄A + M̄Ae + M̄Acdtmν v̄ νr ,eJ̄ = −ν=1L̄Ar =NXρ̄νA × mν v̄ νr ,mν āeν ,ν=1NXM̄A = −ν=1Батяев Е. А.
(НГУ)eNXρ̄νA × mν āeνν=1ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.15 / 18Если неинерциальная система координат перемещается поступательно (не вращается)тогда угловые скорость и ускорение равны нулю: ω̄ = ε̄ = 0, а переносное ускорениеточек: āeν = āO + ε̄ × ρ̄ν + ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν ) равно ускорению āO любой точки Oдвижущейся среды с которой связана подвижная система координат: āeν = āOОтсюда главный вектор переносных сил инерции:eJ̄ = −NXmν āeν = −ν=1NXmν āO = −M āO ,ν=1а главный момент переносных сил инерции:JM̄Ae = −NXρ̄νA × mν āeν = −ν=1NX−→mν ρ̄νA × āO = −M AC × āO ,ν=1−→где AC – радиус-вектор центра масс C, M – масса системы точек.Кроме того, видно, что кориолисовы силы инерции для всех точек системы такжеcравны нулю: J̄ ν = −2mν ω̄ × v̄ νr = 0, а значит и главные вектор и момент системыcJкориолисовых сил инерции зануляются: J̄ = M̄Ac = 0.Более того, при поступательном переносном движения совпадают относительная иeedc̄dc̄dc̄=+ ω̄ × c̄ =и c̄ = ec потому что вабсолютные производные вектора:dtdtdtотсутствии вращения матрица поворота A = const и можно положить A ≡ E –единичная.
Тогда теоремы для неинерциальных систем координат приобретают видdQ̄re= F̄ − M āOdtБатяев Е. А. (НГУ)−→dL̄Are= M̄A − M AC × āOdtЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.16 / 18Если āO = āC , т.е. неинерциальная система координат двигаетсяпоступательно со скоростью и ускорением центра масс механической системы– является кёниговой, тогда относительное количество движения системыNXточек в этой системе координат равно нулю: Q̄r =mν v̄ νr = M v̄ Cr = 0. Аν=1теорема об изменении количества движения системы принимает известныйвид теоремы о движении центра масс: M āC = F̄eКроме того, для кёниговой системы, относительно которой центр масс C−→неподвижен, как и точка A (AC = const) относительно которой вычисляетсякинетический момент системы L̄Ar , с учетом полученной выше формулыдля абсолютного кинетического момента относительно центра A имеем:´ dL̄−→−→dL̄ArdL̄Ar −→dv̄ Cd ³A+M AC × āC =+ AC ×M=L̄Ar + AC × M v̄ C =dtdtdtdtdtТогда теорема об изменении относительного кинетического моментаотносительно неподвижной точки A в неинерциальной системе координат,dL̄Aeявляющейся кёниговой, принимает вид:= M̄A аналогичный как иdtдля абсолютной, инерциальной системы координат.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.17 / 18В кёнинговой системе координат теорема об изменении кинетическойэнергии системы в её движении относительно центра масс также упрощаетсяи принимает вид такой же как и для инерциальной системы координат.δr AJe – слагаемое, обусловленное неинерциальностью системы отсчета:ÃN!NNNXXXXeJeeδr A =J̄ ν dρ̄ν = −mν āν dρ̄ν = −mν āC dρ̄ν = −mν dρ̄ν āCν=1ν=1ν=1ν=1Сумма в скобках равна нулю, т.к. в кёнинговой системе отсчетаXmν ρ̄ν = M ρ̄C = 0 из-за выбора начала системы координат в центре масс,νXследовательно суммаmν dρ̄ν — также ноль. Отсюда окончательно имеемνвыражение для дифференциала кинетической энергии движения системыотносительно центра массdTr = δr Ae + δr Aiт.е.
в целом у нее вид такой же как и для инерциальной системы отсчета.Отличие заключается только в том, что элементарная работа внешних ивнутренних сил системы вычисляется на перемещениях точек их приложения(приложения сил к точкам) – по отношению к центру масс (т.е. как если быцентр масс был неподвижен).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 12ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.1 / 20Материальное тело — является частным видоммеханической системы, у которой точки системы сплошнымнепрерывным образом заполняют некоторую область пространствавсё время движения.Абсолютно твёрдое тело — это такое материальноетело, у которого расстояния между любыми точками остаютсяпостоянными (сохраняются) в любой момент времени.Абсолютно твёрдое тело является моделью реальных тел.Эта модель тем точнее отражает свойства реального тела, чемменьше тело способно деформироваться под действиемприложенных сил.Абсолютно твёрдое тело обладает рядом особенных свойств,которые мы рассмотрим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
