1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 18
Текст из файла (страница 18)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.12 / 20Если осевые моменты инерции представляют собой меру инертности тела(системы) при её вращении вокруг соответствующей оси (JαO - вокруг Oξα ),то центробежные моменты инерции можно трактовать как мерунеуравновешенности масс системы: они характеризуют несимметричностьраспределения масс относительно координатных плоскостей.Понятно, что для различных точек O осевые и центробежные моментыинерции разные. Очевидно, что они изменяются также при поворотесистемы координат Oξα вокруг точки O (т.е.
при выборе другойсопутствующей системы координат, ведь её выбор - условен). Анализируяполученное выражение (∗) для осевого момента инерции тела относительнооси l через осевые и центробежные моменты инерции можно установитьследующую простую формулу для определения JlO :JlO = (JO e) eгдеJ1OOJO = −J12O−J13O−J12J2OO−J23O−J13O −J23J3O−оператор (тензор) инерцииВидно, что оператор инерции JO является симметрической матрицей –постоянной в сопутствующих осях Oξα .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.13 / 20Таким образом(JO )∗ = (JO )T = JOгде (JO )∗ сопряженная к JO матрица, которая в нашем случае (в поледействительных чисел R) эквивалента только транспонированойматрице (JO )T .Значит вместо 9 (как обычно) независимых компонент у него их будеттолько 6 независимых.Итак, для вычисления момента инерции JlO относительно какой-либооси l, проходящей через точку O пространства необходимо знатьоператор инерции тела JO в точке O и дважды умножить его нанаправляющий орт оси e.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.14 / 20Эллипсоид инерции. Главные оси инерцииФормула для осевого момента инерции (∗) допускает наглядную геометрическуюинтерпретацию. На оси l отложим по обе стороны от точки O отрезки длины1ON = p O . Радиус-вектора всех таких точек:Jl!r1e1e2e3x3e = ±e · pρ=± p ,p ,pOOOOJlJlJlJleαОбозначая ξα = pнайдём геометрическоеJlON(x1,x2,x3)N(x1,x2,x3)место всех таких точек N (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).x2Из формулы (∗) поделив на JlO получим:llelO3Xα=1JαO ξα2 − 23XOJαβξα ξβ = 1(∗∗)rx1α,β=1α6=βПолученное выражение описывает, как видно, поверхность второго порядка, вee= pсистеме координат Oξα .
Её точки, определённые радиус-вектором ρ,JlOнаходятся на конечном расстоянии от точки O, т.к. JlO > δ > 0 (по смыслумомента инерции). Известно, что из всех поверхностей 2-го порядка условиюконечности расстояния от начала координат удовлетворяет только эллипсоид.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.15 / 20Эта поверхность (т.е. эллипсоид), описываемая формулой (∗∗) называется –эллипсоид инерции тела для точки O . Если точка O совпадает сцентром масс C, он называется – центральный эллипсоид инерции телаОси симметрии эллипсоида инерции (главные оси эллипсоида) – Oξα∗называются – главные оси инерции тела для точки O.В системе координат, оси которой*x3направлены по главным осям эллипсоидаинерции (осям симметрии) уравнениеэллипсоида имеет простой вид(канонический):O*x23XJαO∗ (ξα∗ )2 = 1α=1x1∗Т.е.
в системе координат Oξα все центробежные моменты инерции равны нулю:*JαO∗ β ∗ = 0 ∀α, β, α 6= βВеличины Jα∗ – моменты инерции относительно главных осей инерции Oξα∗называются — главные осевые моменты инерции тела для точки O.Если O совпадает с центром масс C, то везде необходимо впереди добавитьслово – центральные.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.16 / 20С точки зрения оператора инерции, очевидно, что в системе отсчёта совмещённойс главными осями инерции Oξα∗ , он принимает диагональный вид (так как всецентробежные моменты инерции равны нулю).
Т.е. путём поворота координатныхосей Oξα до их совмещения с Oξα∗ , или путём их специального подбора,квадратная симметрическая матрица JO приводится к диагональному виду.Из высшей алгебры известно, что любая симметрическая матрица A(представляющая линейное векторное преобразование) имеетвзаимно-ортогональные собственные вектора, определяемые из уравненияAv̄ = λv̄Вид этой матрицы в осях, совмещенных с направлениями собственных векторов v̄,имеет диагональный вид, причём на диагонали у неё стоят собственные значения λ,т.е. решения уравненияdet (A − λE) = 0(на самом деле, это справедливо и для более общего случая так называемыхнормальных матриц: AA∗ = A∗A).Наш оператор инерции JO как раз и является симметрическим, а диагональныйвид имеет, как уже было сказано, в главных осях инерции (т.е.
осях симметрииэллипсоида инерции). Следовательно — эти главные оси инерции направленывдоль собственных векторов оператора инерции JO , определяемых из выражения:JO v̄ = λv̄главные моменты инерции Jα∗ являются собственными числами оператора инерциипотому что стоят на диагонали JO , записанного в осях вдоль собственных векторов.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.17 / 20Замечание 1 : Если все собственные значения оператора инерции - различны, тоглавные оси определяются однозначно. Если эллипсоид инерции для точки Oявляется эллипсоидом вращения вокруг оси Oξ1∗ (т.е. J2O∗ = J3O∗ ), то за его главныеоси можно принять ось Oξ1∗ и любые две взаимно-ортогональные оси, лежащие вэкваториальной плоскости эллипсоида (т.е.
плоскости перпендикулярной осивращения Oξ1∗ ). Если все собственные значения оператора инерции - одинаковы(т.е. элипсоид инерции является сферой) то все оси, проходящие через точку Oявляются для неё главными.Замечание 2: Не любой эллипсоид, вообще говоря, может быть эллипсоидоминерции. В самом деле если рассмотреть уравнение эллипсоида в главных осяхинерции:3XZhJαO∗ (ξα∗ )2 = 1, то его главные осевые моменты инерции имеют вид:α=1JαO∗ =i∗∗(ξα+1)2 + (ξα+2)2 dm и для них должны выполняться неравенства:(M )JαO∗+ JβO∗ > JγO∗ (α 6= β 6= γ). Действительно:J1O∗ + J2O∗ =Z h(M )=i(ξ2∗ )2 + (ξ3∗ )2 + (ξ1∗ )2 + (ξ3∗ )2 dm =Z h(M )Батяев Е. А. (НГУ)i(ξ1∗ )2 + (ξ2∗ )2 dm + 2Z(ξ3∗ )2 dm = J3O∗ + 2(M )ЛЕКЦИЯ 12Z(ξ3∗ )2 dm > J3O∗(M )Новосибирск, 2017 г.18 / 20Замечание 3: Если эллипсоид инерции тела для точки O построен, томомент инерции тела относительно какой-либо оси JlO , проходящей через т.равен:1JlO =ON 2где ON – расстояние от центра O до точки пересечения эллипсоида спрямой l.Замечание 4: Условием того, что какая-то ось, скажем Oξ1 будет осьюсимметрии эллипсоида инерции (в ведённых обозначениях это ось Oξ1∗ ),является отсутствие в уравнении эллипсоида членов, содержащихпроизведения ξ1 ξ2 и ξ1 ξ3 , т.е.
когда по сути: J1O∗ 2∗ = J1O∗ 3∗ = 0.Значит чтобы координатная ось Oξα , проходящая через точку O, былаглавной осью инерции тела для этого центра, необходимо и достаточнообращение в нуль центробежных моментов инерции содержащих индекс этойOOоси Jαβ= Jαγ= 0.Если проводить анализ главных осей инерции с точки зрения геометрии тела(или системы точек), т.е. производить определение осей, обладающихсвойством главных осей (у которой соответствующие центробежные моментыинерции - ноль), то можно указать некоторые важные, частные, случаи:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.19 / 20• Если у системы есть ось материальной симметрии, то она является главной осьюинерции для всех точек на оси.
Например, для оси Oξ1 : µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = µ(ξ1 ,−ξ2 ,−ξ3 )OJ12=ZZZξ1 ξ2 µ dV =(V )ξ1 ξ2 µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dV +(V∗ )ξ1 (−ξ2 )µ(ξ1 , −ξ2 , −ξ3 ) dV = 0(V∗ )где V∗ – объём одной из двух равных частей объёма V тела, на которые оноOделится плоскостью Oξ1 ξ2 . Аналогично для J13разделяя V плоскостью Oξ1 ξ3 (илилюбой другой плоскостью, содержащей ось симметрии Oξ1 ).• Если у системы есть плоскость материальной симметрии, толюбая прямая, перпендикулярная этой плоскости материальной симметрии,является главной осью инерции системы для точки, в которой эта прямаяпересекает плоскость симметрии. Например плоскость Oξ1 ξ2 : для плотностиматериала имеем: µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = µ(ξ1 , ξ2 , −ξ3 )OJ13=ZZξ1 ξ3 µ dV =(V )Zξ1 ξ3 µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dV +(V0)ξ1 (−ξ3 )µ(ξ1 , ξ2 , −ξ3 ) dV = 0(V0)где (V 0 ) – объём одной половинки тела, на которые оно делится плоскостью Oξ1 ξ2 .OАналогично для J23.• Для однородного тела вращения – ось вращения и любые две перпендикулярныеей взаимно-перпендикулярные оси образуют систему главных осей инерции.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.20 / 20ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 13ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.1 / 18В основе всех выражений основных динамических величин длятвёрдого тела, характеризующих или описывающих движение тела,лежит формула распределения скоростей точек твёрдого тела, котораякак раз и содержит необходимую информацию о специфике иособенности рассматриваемого объекта – твёрдое тело:v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄где v̄ O – скорость фиксированной точки тела (полюса O), ω̄ – угловая−−→скорость тела, ρ̄ – радиус-вектор точки тела: ρ̄ = OM – записанный внеподвижной системе координат.
Эта формула представленакомпонентами, т.е. разложением по координатам – в неподвижной(абсолютной) системе координат (Oa xα ) или, что то же самое, в осях,поступательно перемещающихся с телом – кёниговых осях (Cxα ).В дальнейшем, для удобства и простоты, в качестве полюса мы будембрать точку тела, совпадающую с положением центра масс C тела –потому что положение центра масс тела не изменяется относительноточек тела, так как взаимные расстояния между любыми точками телавсегда постоянные. Т.е. центр масс твёрдого тела – можноотождествить с фиксированной «точкой тела» – полюс O.Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
