1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 21
Текст из файла (страница 21)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.10 / 20Плоское движение телаx2x1Пусть все точки тела движутсяпараллельно плоскости Oa x1 x2 .x1Получим дифференциальные уравнения,описывающие это плоское движение тела.x2x2j3Cx1OaБез ограничения общностиможно считать, что центр масс движетсяв плоскости Oa x1 x2 поэтому xC3 =0 .Также можно считать, что оси Cξ1 и Cξ2 , связанной с телом системыкоординат Cξα , движутся в плоскости Oa x1 x2 , т.е. ось Cξ3перпендикулярна плоскости движения.Тогда полагая ϕ1 ≡ 0, ϕ2 ≡ 0 из кинематических уравнений Эйлераимеем:ω1 ≡ 0, ω2 ≡ 0, ω3 = ϕ̇3 ,Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.11 / 20Подставляя данные выражения в уравнения (1)-(2) получим:M ẍC1 = F1 ,M ẍC2 = F2 ,0 = F3i=1:C ω̇ − I C ω 2 = MCI13323 31i=2:C ω̇ + I C ω 2 = MCI23313 32i=3:J3C ω̇3 = MC3CУсловия F3 = 0 и i = 1, i = 2 для MC1 , M2 накладываютограничения на геометрию масс тела, внешние силы и частично наначальные условия, при которых плоское движение возможно.Например, в главных центральных осях выражения для i = 1, i = 2Cимеют вид MC1 = 0, M2 = 0. Остальные 3 уравнения:M ẍC1 = F1 ,M ẍC2 = F2 ,J3C ϕ̈3 = MC3дифференциальные уравнения плоского движения телаC– для определения функций xC1 (t), x2 (t), ϕ3 (t).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.12 / 20Следует отметить, что плоское движение тела является случаем такназываемого движения несвободного твёрдого тела, т.е. когда естьограничения на перемещение и скорости тела.Вообще, наличие геометрических связей упрощает движение тела, т.е.оно не может быть произвольного вида, определяемого лишьвнешними активными силами, а имеет некоторый специальныйхарактер. Это приводит к уменьшению числа независимых параметров,определяющих движение тела – часть из них задаются как известныефункции времени или выражаются через остальные величины.Однако, поскольку динамические уравнения движения пишутся длясвободного тела, в них, наряду с заданными силами, войдут и заранеенеизвестные реакции связей. Получается так называемаясмешанная задача: по части заданных (известных) уравненийдвижения (включающих дифференциальные уравнения и уравнениясвязей) и внешних сил, с помощью дифференциальных уравнений иначальных условий требуется определить остальные уравнениядвижения и силы (реакции).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.13 / 20При решении такой смешанной задачи для несвободного телавместо динамических уравнений (приведенных выше)Md2 r̄ C= F̄ ,dt2dL̄Cr= M̄Cdtиногда удобнее использовать альтернативную систему уравненийдвижения тела – в которой уравнение об изменениикинетического момента относительно центра масс заменяетсяаналогичным уравнением, но относительно какого-тонеподвижного центра O:MБатяев Е. А. (НГУ)d2 r̄ C= F̄ ,dt2dL̄O= M̄OdtЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.14 / 20Из дифференциальных уравнений движения тела следует, чтодвижение тела зависит не от вида и расположения отдельныхсил, а от суммарных характеристик, приложенных к телу:главного вектора F̄ и главного момента M̄C сил.Тогда понятно, что две системы сил будут оказывать на телоодинаковое воздействие, т.е. могут быть заменены одна на другуюбез изменения движения тела (такие системы сил называютcя —эквивалентные) — если у них равны главные векторы иглавные моменты сил относительно одного и того же центра.Очевидно верно и обратное: если тело двигается одинаково привоздействии двух разных систем сил, то их главные векторы сили главные моменты сил относительно некоторого одного центрадолжны быть равны.
Таким образом для них справедлив:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.15 / 20Критерий эквивалентности систем сил, приложенных к телуДля того, чтобы две системы сил были эквивалентными, необходимо идостаточно, чтобы они имели одинаковые главные векторы сил иглавные моменты сил относительно некоторого центра.Получим связь между главными моментами одной и той же системысил, вычисленных относительно разных центров:XX³X−−→´−−→ XM̄A =r̄ Ar̄ Br̄ BF̄ νν × F̄ ν =ν + AB × F̄ ν =ν × F̄ ν + AB×νν=⇒FrBnBABν−−→M̄A = M̄B + AB × F̄νPn Итак, при изменении центра (центра приведения)rAn главный момент сил меняется на величину равнуюAмоменту главного вектора сил, приложенногов старом центре, относительно нового центра.Следствие.
Если у двух систем сил одинаковы главный вектор F̄ иглавный момент относительно какого-либо центра M̄A , то главныемоменты этих двух систем сил для другого центра – тоже одинаковы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.16 / 20Покажем свойство, достаточно простое и оченьполезное для понятия эквивалентности системèëû Fñÿèâсил приложенных к телу. Оно вытекает изäåéñòFëèíèÿопределения момента силы относительно точки.PF,При перемещении силы вдоль её линии действия,rP,т.е.
при выборе точки приложения силыrOна линии действия силы мы не изменяемни саму силу, ни её момент относительно точки:³−−→´−−→m̄O (F̄ ) = ρ̄ × F̄ = ρ̄0 + P 0 P × F̄ = ρ̄0 × F̄ + P 0 P × F̄ = ρ̄0 × F̄−−→−−→т.к. P 0 P k F̄ - коллинеарны и P 0 P × F̄ = 0. Таким образом:Свойство сил. Воздействие силы на твёрдое тело не зависит от точкиприложения силы на её линии действия (скользящий вектор).Из критерия эквивалентности систем сил понятно, что если у какой-тосистемы сил главный вектор и главный момент относительно некоторогоцентра – нули: F̄ = 0, M̄A = 0, то добавление или отбрасывание такойсистемы сил не изменит движение твёрдого тела (или механической системыТакие системы сил называются — уравновешенные или эквивалентныенулю. А выражения для F̄ и M̄A являются необходимым и достаточнымусловием уравновешенности системы сил.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.17 / 20Статика твёрдого телаЕсли же на твёрдое тело изначально и всё время действует толькоуравновешенная система сил, причём в начальный момент времени телопокоилось, то тело будет всё время покоиться (находиться в равновесии).Верно и обратно, для покоящегося тела главный вектор и момент сил – ноль.ТЕОРЕМА. Для равновесия первоначально покоившегося (v̄ C = 0, ω̄ = 0при t = 0) тела необходимо и достаточно равенство нулю главного вектора иглавного момента сил, приложенных к телу, относительно любого центра O:F̄ = 0,M̄O = 0Доказательство.
Докажем теорему для центра масс C (M̄C = 0), аучитывая полученную выше связь между моментами сил−−→M̄O = M̄C + OC × F̄ получим и общую теорему для любого центра O.e ≡ 0, тогдаНеобходимость очевидна: если тело покоится, т.е. v̄ C ≡ 0, ω̄ = ωиз динамических уравнений движения тела следует:F̄ = MБатяев Е. А. (НГУ)dv̄ C≡0dtωf C = JC dee × JC ωe ≡0M+ωdtЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.18 / 20Достаточность: если выполнены условия на главный вектор и момент силимеем:¯dv̄ C¯M= F̄ = 0⇒v̄ C ≡ const = v̄ C ¯=0dtt=0¯¯e Cre CredLdLe Cr = MfC = 0 ⇒e Cr ¯¯·Le Cr ⇒ Le Cr · dLCr = 0+eω ×L= −eω×L¯dtdtdt¯e21 dL¯Cre Cr = JC ωe ≡ const = JC ωe¯e ≡0⇒=0 ⇒ L= 0 ⇒ JC ω2 dtt=0JC – оператор инерции определяется только геометрией масс тела и всегдапостоянный (в сопутствующих осях), т.е.
никак не зависит ни от движениятела ни от приложенных к телу сил, поэтому в общем случае det JC 6= 0 (такв главных осях инерции JC – диагональный и его элементы не равны нулю),e ≡ 0.значит решение системы однородных алгебраических уравнений: ωТ.к. главные моменты сил относительно разных центров, например, центрамасс C и неподвижного центра O связаны приведённым выше соотношением−−→M̄O = M̄C + OC × F̄ , то при равновесии последнее уравнение можнозаменить на M̄O = 0.¥Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.19 / 20Замечание: если тело изначально не покоилось, то при выполненномусловии F̄ = 0, M̄O = 0 оно будет совершать инерционное движение:поступательно и равномерно двигаться вместе с центром масси равномерно вращаться вокруг центра масс.Каждое из 2-х векторных уравнений равновесия даёт по три скалярныхуравнения равновесия твёрдого телаFα = 0,MOα =0(α = 1, 2, 3)в виде проекций сил и моментов сил относительно осей системы координат.Т.е.
всего 6 уравнений из которых необходимо определять неизвестные силы,приложенные к телу (в частности реакции), обеспечивающие равновесие.Причём некоторые из уравнений могут выполняться тождественно (всегда).Механическая система у которой неизвестные активные силы и реакции всехналоженных связей можно определить из уравнений равновесия называется— статически определимая, иначе — статически неопределимая.Случай статически определимой системы имеет место лишь тогда, когдачисло неизвестных, т.е.
проекций сил и других величин – не превосходитколичества неудовлетворяющихся тождественно уравнений равновесия.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.20 / 20ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 15ПАРА СИЛО РАЗНЫХ ВИДАХ ТРЕНИЯ ТЕЛАВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГНЕПОДВИЖНОЙ ОСИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.1 / 21Пара силВведём ещё один новый объект — пара сил.F1dF2Для этого рассмотрим специальный случайсистемы сил, которая состоитиз двух сил равных по величине,противоположно направленных,и не лежащих на одной прямой.Такую систему сил, где F̄ 1 = −F̄ 2 и называют парой сил.Плоскость в которой они лежат называют – плоскость пары, арасстояние d между линиями действия сил – плечо пары (d 6= 0)Легко видеть, что главный вектор пары сил – равен нулю:F̄ = F̄ 1 + F̄ 2 = 0Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.2 / 21Момент пары сил не зависит от точки относительно которой он вычисляется.В самом деле возьмём произвольную точку O пространства и найдёмглавный момент сил F̄ 1 и F̄ 2 , приложенных к телу, относительно O.Учтём свойство независимости воздействия силы на тело от точки еёприложения вдоль линии действия силы. Перенесём точки приложения силвдоль линий их действия так, чтобы радиус-вектор d̄ от точки приложенияF̄ 2 к точке приложения F̄ 1 был перпендикулярен линиям их действия.Главный момент сил F̄ 1 и F̄ 2 относительно O:FM̄O = r̄ 1 × F̄ 1 + r̄ 2 × F̄ 2 = (r̄ 1 − r̄ 2 ) × F̄ 1 = d̄ × F̄ 1dF1 r1O r22т.е. не зависит от O.Векторное произведение M̄O = d̄ × F̄ 1 называют – момент пары.Направлен M̄O перпендикулярно плоскости пары так, что наблюдатель сконца вектора M̄O «видит» векторы F̄ 1 и F̄ 2 , указывающими на«вращение» плоскости пары против хода часовой стрелки, т.е.положительное направление.Если F – модули сил F̄ 1 и F̄ 2 , то MO = d · F т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
