1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.19 / 20III Закон КеплераПусть орбита M представляет собой эллипс с полуосями: a - большой и b - малой.ppИз аналитической геометрии известны выражения:a=, b= √.1 − e21 − e2За время, равное периоду T обращения точкиyпо орбите радиус-вектор r̄ заметёт всю площадьMэллипса. Учитывая, что площадь эллипса равнаbjrπab, и что секторная скорость, согласно законуxOплощадей постоянна и равна c/2 имеем соотношениеπab = T · c/2ax2y2+=1a2b2pb2Однако c = p · µ, а p = , поэтому c = b µ/a,aтогда получим:√πa = T12rµa⇒T =2πa3/2√µ⇒T2 =4π 2 a3µ⇒T24π 2== consta3µIII Закон КеплераКвадраты звёздных времен (периодов) обращения планет вокругСолнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбитБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.20 / 20ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 17ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.1 / 18В природе и технике существует широкий круг явлений и процессов, вкоторых масса тела при движении изменяется. Изменение массысопровождается, вообще говоря, изменением состава тела, как путемотделения или отсоединения частей тела, так и путем присоединения унему новых масс. Так у плавающей льдины масса возрастает принамерзании или падении снежинок и убывает при таянии; у планетымасса меняется за счет падения метеоритов, а масса самого метеоритауменьшается при падении так как частицы отрываются от негоблагодаря воздействию атмосферы, или сгорают. При этом обепричины изменения массы действуют одновременно, например, придвижении самолета с воздушно-реактивными двигателями, когдавоздух засасывается из окружающей среды в двигатели, а затемвыбрасывается вместе с продуктами сгорания топлива.Движение тел с изменяющейся массой существенно отличается отдвижения тел с постоянной массой в аналогичных условиях.
Оно ужене описывается вторым законом Ньютона. Установим закономерноститакого движения.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.2 / 18Механическую теорию – динамику точки переменной массы – можнопостроить как частный случай механики системы точек приспециальных предположениях о механизмах отделения иприсоединения частиц (т.е. о характере изменения массы) и охарактере их взаимодействия с движущимся телом.Тело, масса которого изменяется со временем за счет изменениясостава его частиц принято называть:тело переменной массы (состава)При некоторых дополнительных условиях такое тело можнорассматривать как точку переменной массы.
Это будет в случаях,когда расстояние, проходимые точками тела велики по сравнению сего размерами или когда тело двигается поступательно (т.е. безвращения или пренебрегаем). В последнем случае пренебрегаютизменениями положения центра масс тела, происходящими в процессеотделения или присоединения масс. Таким образомматериальная точка переменной массы (состава)это такое тело переменного состава, настолько малое, что его положениеи движение можно определить как для объекта, не имеющего размеров.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.3 / 18Исходные гипотезы• Массы частиц, присоединяющихся к точке или отсоединяющихсяот точки – малы (в сравнении с массой точки).• Промежутки времени между двумя их последовательнымиприсоединениями или отделениями – малы.Эти предположения позволяют принять идеализацию, что функциимасс частиц: m1 (t) – присоединяющихся и m2 (t) – отсоединяющихсяявляются непрерывно-дифференцируемыми функциями времени.• Частицы взаимодействуют с точкой только в момент присоединенияили отсоединения. Взаимодействием точки с отделившейся частицейравно как и с еще не присоединившейся частицей – пренебрегаем(гипотеза контактного взаимодействия).Тогда если масса точки в начальный момент времени равнялась m0 ,то с течением времени масса изменяется по закону:m(t) = m0 + m1 (t) − m2 (t)где m1 (t), m2 (t) – неубывающие неотрицательные функции времени.Т.е. m(t) – является непрерывной и дифференцируемой функцией.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.4 / 18Пусть в некоторый моментвремени t вся масса точки была m(t)(она имеет к этому моменту временив своем составе массу ужеприсоединившихся частиц и массуещё успевших не отделиться частиц).` `v,m v,mv,Dm2u1,Dm1 u2,Dm2ìîìåíò tìîìåíò t `=t +DtРассмотрим малый промежуток времени ∆t и обозначим через ∆m1присоединившуюся массу, а ∆m2 отделившуюся массу за то же время.Считаем ∆m1 и ∆m2 – малыми.Положим, что взаимодействие точки и присоединившихся,отсоединившихся частиц происходит в течении всего промежутка ∆t.Для согласования с гипотезой контактного взаимодействия, вдальнейшем осуществим предельный переход, полагая ∆t → 0.Рассмотрим всю механическую систему из масс — m, ∆m1 , ∆m2 ,двигающуюся в инерциальной системе отсчета.
Это обычная системавзаимодействующих точек, масса которой не изменяется со временем,и, следовательно, к ней применима теорема об изменении количествадвижения в интегральной форме за время ∆t, от t до t0 = t + ∆t.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.5 / 18В момент t (начальный момент времени):` `v,m v,mсистема была представлена –точкой массы m и частицей массы ∆m1 ,имеющих абсолютные скорости: v̄ и ū1 , v,Dm2u1,Dm1 u2,Dm2соответственно.ìîìåíò tìîìåíò t `=t +DtМасса ∆m2 входила в состав m.В момент t0 = t+∆t (конечный момент времени): система будет состоятьиз точки с массой m0 = m + ∆m1 − ∆m2 и частицы массы ∆m2 ,абсолютные скорости которых: v̄ 0 = v̄ + ∆v̄ и ū2 , соответственно.Таким образом, ū1 и ū2 – абсолютные скорости частиц, до присоединения и после отделения, а ∆v̄ полное изменения скорости точки зарассматриваемый промежуток времени ∆t.0Тогда количества движения системы Q̄ и Q̄ в моменты t и t0 :Q̄ = mv̄ + ∆m1 ū10Q̄ = m0 v̄ 0 + ∆m2 ū2 = (m + ∆m1 − ∆m2 )(v̄ + ∆v̄) + ∆m2 ū2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.6 / 18Обозначим: F̄ , ∆F̄ 1 , ∆F̄ 2 – равнодействующие внешних сил,приложенных соответственно к массам m, ∆m1 , ∆m2 .Отношения сил к соответствующим массам полагаем конечнымивеличинами (т.е. силы пропорциональны массам), тогда|F̄ | – конечная величина, а |∆F̄ 1 |, |∆F̄ 2 | – малые величины (в силумалости соответствующих масс).В силу малости ∆t суммарный импульс сил можно представить в виде:S̄ = (F̄ + ∆F̄ 1 + ∆F̄ 2 )∆tСогласно теореме об изменении количества движения системы имеет0место равенство:Q̄ − Q̄ = S̄=⇒(m + ∆m1 − ∆m2 )(v̄ + ∆v̄) + ∆m2 ū2 − mv̄ − ∆m1 ū1 == m∆v̄ + ∆m1 (v̄ + ∆v̄) − ∆m2 (v̄ + ∆v̄) + ∆m2 ū2 − ∆m1 ū1 == m∆v̄ + ∆m1 (v̄ − ū1 ) − ∆m2 (v̄ − ū2 ) + (∆m1 − ∆m2 )∆v̄ == (F̄ + ∆F̄ 1 + ∆F̄ 2 )∆tПорядок малости величин (∆m1 − ∆m2 )∆v̄, ∆F̄ 1 ∆t, ∆F̄ 2 ∆t на 1выше всех остальных слагаемых, поэтому ими можно пренебречь.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.7 / 18Закон МещерскогоТогда получим выражение:m∆v̄ + ∆m1 (v̄ − ū1 ) − ∆m2 (v̄ − ū2 ) = F̄ ∆tПоделив на ∆t и устремив ∆t → 0 получим в пределе:Закон Мещерскогоmdv̄dm1dm2= F̄ +(ū1 − v̄) −(ū2 − v̄)dtdtdtПолученное Мещерским И.В. (1904 г.) уравнение называется также –обобщённым уравнением Мещерского.
Оно являетсядифференциальным уравнением движения точки переменной массы.Заметим, что выражения: ū1 − v̄ = ū1r и ū2 − v̄ = ū2r – этоотносительные скорости присоединившихся и отсоединившихся частицотносительно точки переменной массы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.8 / 18Φ̄1 =dm1(ū1 − v̄) = ṁ1 ū1rdtΦ̄2 = −– «тормозящая» сила,dm2(ū2 − v̄) = −ṁ2 ū2rdt– «реактивная» сила.Называть векторы Φ̄1 и Φ̄2 силами позволяют два обстоятельства:1.
Они имеют размерности силы.2. Они проявляют они себя как обычные силы и могут быть измереныдинамометром.Φ̄1 = ṁ1 ū1r – пропорциональна скорости увеличения массы иотносительной скорости присоединяющихся частиц, и имеетнаправление этой скорости. Обычно векторы ū1r и v̄ направлены впротивоположные стороны, поэтому сила Φ̄1 – направлена противдвижения – тормозит движение точки.Φ̄2 = −ṁ2 ū2r – пропорциональна скорости убывания массы иотносительной скорости отделяющихся частиц и направленапротивоположно этой скорости. Обычно скорости ū2r и v̄ имеютпротивоположные направления, поэтому сила Φ̄2 – действует внаправлении движения – ускоряя точку.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.9 / 18С учётом введенных обозначений для тормозящей и реактивной силЗакон Мещерского можно записать в видеmdv̄= F̄ + Φ̄1 + Φ̄2dtЗначит, эффекты присоединения и отделения частиц эквивалентныдействию на эту точку дополнительных специальных сил Φ̄1 и Φ̄2 .Если же процессы присоединения и отсоединения отсутствуют, тоуравнение Мещерского становится уравнением Ньютона.Если имеет место только процесс отделения частиц, т.е. массаприсоединяющихся частиц m1 ≡ 0, тогда m(t) = m0 − m2 (t), откудаṁ2 (t) = −ṁ(t) и Φ̄2 = ṁ(t)ū2r , в итоге получимmздесьdv̄dm= F̄ +ū2rdtdt−уравнение Мещерскогоdm– скорость убывания массы – секундный расход массы.dtБатяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
