1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 23
Текст из файла (страница 23)
А. (НГУ)j̄0v2Ck̄ϕ̇v3C° °−v2C ϕ̇−ξ1C ϕ̇2j̄(v1C ϕ̇)−°°== v1C ϕ̇ = −ξ2C ϕ̇2 °−ī(v2C ϕ̇)°00ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.14 / 21Тогда получим скалярную форму векторных уравнений движения тела:−M ξ2C ϕ̈ − M ξ1C ϕ̇2= F1 + R1 + Q1(a)M ξ1C ϕ̈ − M ξ2C ϕ̇2= F2 + R2 + Q2(б)=(в)0F3 + R3 + Q3OO 2−J13ϕ̈ + J23ϕ̇= MO1 − hQ2(г)OO 2−J23ϕ̈ − J13ϕ̇= MO2 + hQ1(д)= MO3(е)J3O ϕ̈Последнее уравнение в системе не содержит реакций и называется –дифференциальное уравнение вращения телавокруг неподвижной оси.Остальные 5 уравнений служат для нахождения реакций (полагаем, чтоглавный вектор и главный момент сил известны).
Эта задача уже являетсянеопределенной. В самом деле: из (a-б)-(г-д) находятся поперечные реакцииR1 , R2 , Q1 , Q2 . А оставшиеся продольные реакции R3 , Q3 из (в) определитьневозможно. Только их сумму. Причем эта сумма не зависит от характеравращательного движения тела.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.15 / 21Условия, при которых динамические реакции равны статистическимЕсли в уравнениях (а, б, г, д) положить ϕ̇ = ϕ̈ = 0, то получим систему дляопределения поперечных статических реакций (т.е. в покое). Если же теловращается, то либо ϕ̇ 6= 0, либо ϕ̈ 6= 0, либо одновременно.
Поэтому левые частиэтих уравнений в общем случае не будут тождественно равны нулю во все времядвижения, следовательно, динамические реакции отличаются от статических.Найдем условия их равенства: приравняем нулю левые части уравнений (а, б, г, д) :−ξ2C ϕ̈ − ξ1C ϕ̇2=0ξ1C ϕ̈ − ξ2C ϕ̇2=0OO 2−J13ϕ̈ + J23ϕ̇=0OO 2−J23ϕ̈ − J13ϕ̇=0⇒⇒ϕ̈ ξ1C − ϕ̇2 ξ2C=0ϕ̇2 ξ1C + ϕ̈ ξ2C=0OOϕ̈ J13− ϕ̇2 J23=0OOϕ̇2 J13+ ϕ̈ J23=0))Каждую пару уравнений можно рассматривать как систему однородныхOOалгебраических уравнений относительно (ξ1C , ξ2C ), (J13, J23). Видно, чтоопределители этих систем одинаковы и равны величине ϕ̈2 + ϕ̇4 . Если теловращается, то эта величина не может быть тождественно равной нулю.Следовательно, эти уравнения удовлетворяются только для тривиального решения:ξ1C = ξ2C = 0,OO=0= J23J13Значит динамические реакции равны статическим тогда и только тогда когдаось вращения является главной центральной осью инерции тела.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.16 / 21Физический маятникВ качестве примера вращательного движения рассмотрим вращениетвердого тела вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силытяжести. Такое тело называют – физическим маятником.Проведём через центр масс C плоскость,x2перпендикулярную оси вращения;Oточку O пересечения этой плоскости с осьюhx2назовём – точкой подвеса физического маятника. x3Cj h’Рассмотрим движение маятника относительноO’системы отчета Oxα , в которой ось Ox3 совпадает x3x1x1с осью вращения, а ось Ox1 направлена вниз.PМассу m тела, расстояние h от точки подвеса доцентра масс и осевой момент инерции J3O относительно оси вращениясчитаем заданными. Свяжем с маятником сопутствующую системукоординат Oξα , как указано на рисунке.
Тогда дифференциальное уравнениеего вращения примет вид:J3O ϕ̈ = M3 (P̄ ) = −mgh sin ϕБатяев Е. А. (НГУ)⇒ЛЕКЦИЯ 15ϕ̈ +mghsin ϕ = 0J3OНовосибирск, 2017 г.17 / 21Приведём уравнение движения кругового математического маятника длины l– точечного тела, вращающегося вокруг горизонтальной оси в вертикальнойплоскости при помощи нити или невесомого стержня, под действием веса.Трансверсальное уравнение движенияматериальной точки:maϕ = Pϕr=l=const−−−−−−→⇔x2Om(rϕ̈ − 2ṙϕ̇) = −mg sin ϕglϕ̈ = −g sin ϕ ⇒ ϕ̈ + sin ϕ = 0llx3jx3x2TMx1x1PСравнивая уравнения движения физического и математического маятниковзаключаем, что физический маятник будет двигаться (колебаться) потакому же закону ϕ = ϕ(t) что и математический маятник с длинойl=J3Omhиз одинаковых начальных условий.
Такой математический маятникназывают – синхронным данному физическому маятнику, а его длину l –приведённой длиной физического маятника. Таким образом, вопрос одвижении физического маятника сведён к уже изученному вопросу одвижении синхронного ему математического маятника.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.18 / 21Отложив на оси Oξ1 отрезок OO0 = l получим точку O0 , соответствующуюположению синхронного математического маятника; эту точку называют –центром качания физического маятника.
С помощью теоремыГюйгенса-Штейнера легко установить как связаны параметры h и l:JCρ2l = 3 +h= C +hJ3O = J3C + mh2 ⇒mhhгде ρC – радиус инерции тела относительно оси Cx3 , проведённой черезцентр масс параллельно оси вращения (J3C = mρ2C ). Ясно, что всегда l > h.Приведённая длина является единственнойl/rCхарактеристикой физического маятника.
Видно, что5она зависит только от расстояния h от центра массдо оси вращения (ρC = const). При неограниченномrC4увеличении этого расстояния приведённая длинаможет стать сколь угодно большой. Оказывается,3однако, что её нельзя сделать сколь угодно малой.Действительно, вычислив производные:2ρ2dld2 l2ρ2C= 1 − C2 ,=dhhdh2h31d2 ldl= 0,устанавливаем, что при h = ρC ,> 0,rCdhdh20123 следовательно l имеет минимум, равный lmin = 2ρC .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.19 / 21На свойстве минимума длины l основан интересный эффект.Рассмотрим малые колебания маятника (sin ϕ ≈ ϕ). Тогда период этихколебаний определяется выражением:pT = 2π l/gЕсли h > ρC , то с приближением центра масс к точке подвеса,величина h уменьшается вместе с l; следовательно, уменьшается ипериод колебаний.Если же h < ρC , то приближение центра масс к точке подвесаувеличивает длину l, а следовательно, и период.Этот эффект был замечен в свое время на часах Вестминстерскогоаббатства, которые отставали. При уменьшении h часы сначала сталиходить быстрее, при дальнейшем уменьшении h, часы стализамедлять ход.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.20 / 21Взаимность точки подвеса и центра качания маятникаЕсли твердое тело подвешивать в различных точках, то расстояния до центрамасс до оси вращения будут различными, и мы будем получать физическиемаятники с различными приведенными длинами. Гюйгенсом было замеченоодно замечательное свойство, выраженное им в форме теоремыТЕОРЕМА Гюйгенса. Точка подвеса и центр качания физическогомаятника являются взаимными точками: если центр качания сделать точкойподвеса, то бывшая точка подвеса станет центром качания.Доказательство.
Сделаем центр качания O0 точкой подвеса. Новой точкеподвеса O0 отвечает расстояние h0 центра масс до оси и приведёная длина l0 .ρ2Т.к. h + h0 = l, значит h0 = l − h = C . Тогда из зависимости l0 от h0 имеем:hl0 =ρ2Cρ2Cρ2C h ρ2C0+=h+=l+h=2h0hhρC¥Свойство взаимности точки подвеса и центра качания используется в такназываемом оборотном маятнике Катера – физическом приборе, которыйможно использовать для экспериментального определения ускорениясвободного падения по формуле g = (2π)2 l/T 2 , определив период колебаний.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.21 / 21ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 16ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМСИЛОВОМ ПОЛЕ(ЭЛЕМЕНТЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ)Лектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.1 / 20Предположим, что на материальную точку, двигающуюся относительнонекоторой инерциальной системы отсчёта во всём пространстве, действуетсила, зависящая только от положения точки (и, может быть, от времени), ноне зависящая от скорости точки. В этом случае, говорят, что в пространствезадано силовое поле, а также, что точка движется в силовом поле, т.е.силовое поле: F̄ = F̄ (t, r̄) (сила пружины, гравитационная сила).Силовое поле называется центральным, еслисила, приложенная к движущейся в нём точке,направлена вдоль прямой, проходящей череззаданный центр – неподвижную точку O (вышеприведены примеры – именно центральных сил).Т.е.
центральная сила имеет вид:F̄ = F (t, r̄)r̄rFîòòàëêèâàíèÿx3MrOx1Fïðèòÿæåíèÿx2где F (t, r̄) - закон изменения силы.Центральные силы это так называемые силыпритяжения (F < 0) или силы отталкивания (F > 0).Определим некоторые свойства движения точки в центральном силовом поле.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.2 / 20Интеграл площадей (векторный)Пусть точка двигается в некоторой инерциальной системе координат сначалом в центре притяжения O, и на неё действуют центральная сила.dv̄r̄Тогда по основному закону динамики:m=FdtrУмножая его справа векторно на r̄ получим:dv̄r̄dm× r̄ = F × r̄ = 0 ⇒(v̄ × r̄) = 0,dtrdtинтегрируя по t окончательно получаем интеграл уравнения движения−−−→r̄ × v̄ = const = r̄ 0 × v̄ 0− интеграл (закон) площадейИнтеграл площадей (хотя и векторный, пока) представляет собой первыйинтеграл, т.к.
содержит лишь скорость (т.е. 1-ю производную) r̄ × v̄ = c̄где векторная константа c̄ определяется по начальным данным: c̄ = r̄ 0 × v̄ 0Умножая скалярно интеграл площадей на радиус-вектор r̄ получим:c̄ · r̄ = (r̄ × v̄) · r̄ = 0. Таким образом имеем:c̄ · r̄ = 0⇒ r̄ ⊥ c̄Т.к. c̄ = const отсюда следует, что точка двигается по плоской траектории,т.е. по линии, которая лежит в плоскости, перпендикулярной вектору c̄.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.3 / 20В теории дифференциальных уравнений i-ым интегралом дифференциальногоуравнения (или системы дифференциальных уравнений) n-го порядка называютвыражение, содержащее производные на i единиц меньше чем исходное уравнение,обращающееся в тождество при любом решении исходного уравнения.
Т.е. порядокэтого дифференциального уравнения (вообще говоря нелинейного) n − i.Для дифференциальных уравнений движения точки (или системы), порядоккоторых равен 2, первым интегралом называется зависимость вида f (t, q, q̇) = C,т.е. обязательно содержащая хотя бы одну скорость и всегда выполняющаяся прилюбом решении qα = qα (t) системы дифференциальных уравнений движения.Важность значения интегралов движения трудно переоценить. Ведь если мы знаем3 первых скалярных интеграла вида fα (t, q, q̇) = Cα (α = 1, 2, 3), которые являютсянезависимыми по скоростям если отличен от нуля функциональный определитель:∂(f1 , f2 , f3 )6= 0, тогда данную систему первых интегралов можно разрешитьdet∂(q̇1 , q̇2 , q̇3 )относительно скоростей и получить зависимости вида q̇α = q̇α (t, q1 , q2 , q3 , C1 , C2 , C3 )что позволяет интегрирование исходной системы 3-х уравнений 2-го порядказаменить интегрированием системы 3-х уравнений, но уже 1-го порядка, и, темсамым, существенно продвинуться по пути получения общего решения.Не говоря уже о вторых интегралах, т.е.
зависимостях вида ϕα (t, q1 , q2 , q3 ) = Bα ,которые в случае взаимной независимости при отличности от нуля определителя∂(ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )det6= 0 позволяют вообще получить единственное решение обратной∂(q1 , q2 , q3 )задачи динамики: qα = qα (t, C1 , C2 , C3 , B1 , B2 , B3 ).Знание интегралов движения существенно упрощает процесс решения задачи.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.4 / 20Секторная скоростьОбозначим за S величину площади конической_поверхности, ограниченной кривой M0 M ирадиус-векторами r̄ 0 и r̄.
За время ∆t, точка Mперейдёт в положение M 0 , так что ∆r̄ = r̄ 0 − r̄.Приращение площади поверхности S за время ∆t,можно приближённо, с точностью до величин1-го порядка малости, представить в виде вектора−→∆S, модуль которого равен площади 4OM M 0 :O−→1∆S = (r̄ × ∆r̄)x12−→∆S1∆r̄1dS̄∆t→0Предел отношения=r̄ ×−−−→(r̄ × v̄) =∆t2∆t2dtназывается — секторная скорость точки M в момент времени t.Т.е. секторная скорость характеризует темп изменения площади, заметаемой˙ ⊥ v̄.˙ ⊥ r̄ и S̄радиуc-вектором r̄ в единицу времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
