1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.2 / 18Теорема о распределении скоростей в твёрдом теле приобретёт вид:v̄ = v̄ C + ω̄ × ρ̄−−→где ρ̄ = CM – радиус-вектор точки тела M относительно центра масс C.Отметим, что данная формула может быть представлена компонентами(координатами) и в сопутствующей, т.е. подвижной системе координатCξα , жёстко связанной с телом. Для этого достаточно вспомнитьформулу перехода (представления произвольного вектора) изподвижной системы координат Cξα (ec) к неподвижной Oa xα или, чтото же самое – к кёнинговой системе координат Cxα (c̄):x3x3c̄ = Aecи учесть свойство для векторного произведенияпри ортогональном преобразовании A (A−1 = A∗ ):e)ω̄ × ρ̄ = Aeω × Aeρ = A(eω×ρx3COax2x2x1 x1x1x2Т.е. либо вектора сначала повернуть (Aeω , Aeρ), а потом их умножить,e), а потом повернуть A(ee).либо сначала их умножить (eω×ρω×ρБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.3 / 18Поэтому в сопутствующей системе координат вид формулыраспределения скоростей в твёрдом теле – не изменится:e=veC + ωe ×ρeveC 6= 0, хотя иОбратим внимание, что вектор скорости центра масс vпредставлен компонентами в сопутствующей, «вмороженной» в тело,системе координат Cξα . Потому что изначально v̄ C – это скоростьцентра масс относительно точки Oa , т.е. относительно абсолютнойeC = A−1 v̄ C – выражение этого вектора всистемы координат Oa xα , а vсопутствующих осях (но v̄ Cr = 0, где v̄ Cr – относительная скорость C).e = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = const, т.к.
рассматривается точка тела.Причём здесь ρСлагаемые формулы распределения скоростей в твёрдом теленаглядно демонстрируют принятую схему разложения любого общегодвижения тела на 2 составляющих движения:• поступательное движение тела со скоростью центра масс (полюса);• вращательное (сферическое) движение вокруг центра масс (каквокруг неподвижной точки) с мгновенной угловой скоростью ω̄.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.4 / 18Количество движения телаПредставляя твёрдое тело разделённым на большое число N частей, каждаяν-ая часть которого имеет ∆mν – массу, ∆Vν – объём, ρ̄ν – радиус-вектор,v̄ ν – абсолютную скорость, а затем совершая традиционный предельныйпереход при N → ∞, ∆Vν → 0 получим:Q̄ =NXZmν v̄ ν →ν=1Zv̄ dm =(M )v̄µ dV−(V )количестводвижениятелагде v̄ – скорости точек тела.
С учётом формулы распределения скоростей втвёрдом теле v̄ = v̄ C + ω̄ × ρ̄, получим другое выражение количествадвижения тела:ZZQ̄ = M v̄ Cт.к.ω̄ × ρ̄ dm = ω̄ ×(M )ρ̄ dm = ω̄ × M ρ̄C = 0(M )Однако эта величина не содержит в себе вращения тела, и описывает лишьпоступательное движение тела как одной материальной точки массой телаM со скоростью центра масс v̄ C . Для определения динамической величины,характеризующей вращательное движение тела, рассмотрим для началапростейший случай – сферического движения, т.е.
найдём для твёрдого тела:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.5 / 18Кинетический момент твёрдого тела, движущегосявокруг неподвижной точкиПримем неподвижную точку O тела за полюс и началосистемы координат Oξα – оси которой неподвижныx3относительно тела. В этой системе координат−−→x2e = OP = const.радиус-вектор точки P тела: ρe на оси Oξα (т.е. его координаты):Проекции ρOae = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).ρx2x1x1Проекции на эти же оси мгновенной угловой скоростиe = (ω1 , ω2 , ω3 ).ωВычислим абсолютный кинетический момент тела относительно точки O.Представим его в виде разложения по осям сопутствующей системы Oξα :e O = (LO1 , LO2 , LO3 ).Le O = A−1 L̄O = A∗ L̄O , где L̄O – абсолютный кинетический момент тела(т.е.
Lотносительно точки O, координатно представлен в неподвижных осях Oxα ).e=ωe ×ρe в этихУчитывая выражения для скоростей точек тела vжеZX¡¢сопутствующих осях Oξα , получим L̄O =ρ̄ν × mν v̄ ν →ρ̄ × v̄ dm :x3νБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13(M )Новосибирск, 2017 г.6 / 18ZZeO =LZe×ve dm =ρ(M )Z=(M )e × (ωe ×ρe) dm =ρ(M )e) − ρe (ee )]dm =[eω (eρρρω(M ) 33ω1ξ1LO1XX ω2 ξα2 − ξ2 ξα ωα = LO2 α=1α=1ω3ξ3LO3=⇒Отсюда получим выражение для компонент абсолютного кинетического#момента:Z " X33X2ωβLOβ =ξα − ξβξα ωα dm (β = 1, 2, 3)(M )α=1α=1сокращая одинаковые слагаемые при α = β получим:ZZZ¡ 2¢2LOβ =ωβ ξβ+1+ ξβ+2dm −ξβ ξβ+1 ωβ+1 dm −ξβ ξβ+2 ωβ+2 dm(M )(M )(M )учитывая независимость ωα от точек тела (угловая скорость – этоуниверсальная характеристика для всего тела) имеем:ZZZ¢¡ 22dm − ωβ+1ξβ ξβ+1 dm − ωβ+2ξβ ξβ+2 dmLOβ = ωβξβ+1 + ξβ+2(M )Батяев Е. А.
(НГУ)(M )ЛЕКЦИЯ 13(M )Новосибирск, 2017 г.7 / 18из выражения осевых и центробежных моментов инерции тела для точки Oотносительно осей Oξα имеем:OOLOβ = ωβ JβO − ωβ+1 Jβ,β+1− ωβ+2 Jβ,β+2(β = 1, 2, 3−ограничен по модулю 3)Формулы можно записать более компактно – используя оператор инерциитела JO для точки O (постоянный в сопутствующей системе координат):e O = JO ωeL−кинетический момент телапри вращении вокруг неподвижной точкиВ частном случае – когда оси Oξα представляют собой главные оси инерциитела Oξα∗ для точки O, имеем что матрица JO – диагональная, т.е.
всецентробежные моменты инерции равны нулю, а её диагональные элементыявляются главные осевые моменты инерции тела для точки O:LOβ ∗ = JβO∗ ωβ∗Если твёрдое тело вращается только вокруг неподвижной оси, например,вокруг оси Oξ3 (т.е. выберем так, что Oξ3 = Ox3 ), тогдаOOω1 = ω2 = 0=⇒LO1 = −J13ω3 , LO2 = −J23ω3 , LO3 = J3O ω3Видно, что при вращении тела вокруг неподвижной оси – направленияоси вращения и кинетического момента тела, вообще говоря – различны.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.8 / 18Теперь удобно определить относительный кинетический момент твёрдоготела относительно центра масс, т.е. в относительном движении тела поотношению к центру масс в кёниговых осях – вращении вокруг центра масс.Переходя от системы точек к телу (после разбиения тела на бесконечноеколичество частей бесконечно малых размеров) абсолютный кинетическиймомент тела по отношению к центру масс C принимает вид:ZNXL̄C =ρ̄ν × mν v̄ ν → L̄C =ρ̄ × v̄ dmν=1(M )Причём, мы выяснили, что он совпадает с относительным кинетическиммоментом тела относительноZ центра масс C:L̄Cr =ρ̄ × v̄ r dm=L̄C(M )где v̄ r – скорости точек тела в кёниговой системе координат с началом вцентре масс и поступательно с ним перемещающейся. Для тела v̄ r = ω̄ × ρ̄.В сопутствующей системе координат Cξα с началом в центре масс, как ужеer = ωe ×ρe, тогдаZговорилось, ve Cr =eCe × (ee) dm = LLρω×ρ(M )и получим уже знакомое выражение:Батяев Е.
А. (НГУ)e Cr = JC ωeCe =LLЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.9 / 18Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегосявокруг неподвижной точкиZПолучим выражение для кинетической энергии тела:1NT=v 2 dmX ∆mν v 2 N →∞, ∆Vν →02ν−−−−−−−−−−→Для системы точек: T =(M )2ν=1e=ωe ×ρe, a v 2 = ve·ve = (ee) · (ωe ×ρe) = ωe · (ee ×ρe))Так как vω×ρρ × (ωZимеем:11 ee·e × (ωe ×ρe)dm = ωe LOρT = ω22(M )кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точкиT =1e1e = L̄O ω̄LO ω22Напомним здесь, что скалярные произведения векторов представленныхкомпонентами в абсолютной или сопутствующей осях – совпадают.e O – есть выражение через оператор инерции: Le O = JO ωeКроме того, для L=⇒Батяев Е. А. (НГУ)T =1e) ωe(JO ω2ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.10 / 18e = eω · ω где eω – ортПредставим вектор угловой скорости в виде: ωмгновенной оси вращения в осях Oξα : eω = (e1 , e2 , e3 ), |eeω | = e21 + e22 + e23 = 1,e , ξα ), то есть ωe = (ω1 , ω2 , ω3 ) где ωα = eα · ωгде eα = cos(ω⇒T =111e) ωe = (JO eω ) eω · ω 2 = JωO ω 2(JO ω222→T =1 O 2J ω2 ωгде JωO – осевой момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.В случае, когда сопутствующие оси Oξα являются главными осями инерции: O33J1∗00X1X O 20 → JωO =J∗O = 0 J2O∗T =J ∗ω ∗JαO∗ e2α∗ →2 α=1 α αα=100 J3O∗Если происходит вращение тела только вокруг одной неподвижной осиOξ3 = Ox3 :1ω1 = ω2 = 0 →T = J3O ω322Замечание: т.к.
T > 0, то угол между L̄O и ω̄ всегда острый2T = LO ω cos(L̄O , ω̄)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.11 / 18Если рассмотреть общий случай произвольного движения тела, тогда12 + T , гденеобходимо вспомнить теорему Кёнинга: T = M vCr212 – характеризует кинетическую энергию• первое слагаемое: M vC2поступательного движения тела со скоростью центра масс;Z1• второе слагаемое: Tr =vr2 dm – определяет кинетическую2(M )энергию относительного движения тела относительно центра масс –в кёниговых осях, которое является – вращение вокруг центра масскак вокруг неподвижной точки.er = ωe ×ρe, где ρe – радиус-вектор точек телаТ.к.
в этом случае vотносительно центра масс, тогда11e )eTr = (JC ωω = JωC ω 222Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.12 / 18ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТВЁРДОГО ТЕЛАТеоремы динамики для абсолютно твёрдого тела выглядят точно также, как и для произвольной механической системы, потому что,твёрдое тело – это частный случай системы материальных точек,непрерывным образом заполняющей некоторую область пространства,у которой сохраняются взаимные расстояния между любыми точками.Теоремы об измененииdQ̄e= F̄dtdL̄Oe= M̄OdtdL̄Cre= M̄CdtdT = δAeколичества кинетического относительного кинетическойдвижениямоментакинетическогоэнергииотносительномомента(отсутствуетнеподвижной относительнослагаемоеδAi )точки Oцентра масс CДля твёрдого тела все силы – внешние, и индекс e обычно опускают.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.13 / 18Неизменяемая системаВо всех векторных теоремах динамики системы точек фигурируютµ¶dQ̄e dL̄Aeтолько внешние силы= F̄ ,= M̄A и лишь в теореме обdtdtизменении кинетической энергии стоят оба слагаемых для работы сил– и для внешних и внутренних сил: dT = δAe + δAiОдин из случаев, когда работа внутренних сил равна нулю являетсяслучай так называемой – неизменяемой системы – это механическаясистема у которой взаимные расстояния между точками постоянны.Частным примером такой системы является абсолютное твёрдое тело,т.е.
можно сказать что твёрдое тело – это неизменяемая механическаясистема у которой точки сплошным образом занимают некоторыйобъём пространства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.14 / 18Работа внутренних сил неизменяемой системыВ самом деле, для любых двух точек такой системы требование сохранениярасстояния – означает равенство проекций их элементарных перемещений налинию соединяющую точки, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
