1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Теория движения твёрдого тела будетпостроена как частный случай основной механической теории –системы материальных точек.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.2 / 20Масса и центр масс твёрдого телаx3DmnDV nrnOax1x2Введённое нами ранее понятие центра масс системыматериальных точек распространим на случай тела.Для этого разобьём тело каким-либо образом набольшое число N частей и через ∆mν и ∆Vν –обозначим массу и объём ν-ой части тела.Если рассмотреть предел отношения массы этойчасти к её объёму при устремлении объёма ∆Vνк нулю, то получим так называемуюплотность тела в данной точке r̄ = r̄ν :dm∆mν=∆Vν →0 ∆VνdVµ = limТ.е. µ = µ(r̄) – скалярная, неотрицательная функция.Обычно плотность считается известной и является функцией координатточки тела.
Вообще говоря, её можно задавать и в сопутствующих осях, т.е.µ = µ(ρ̄) или µ = µ(eρ) (ρ̄ = Aeρ).Если µ = const – постоянная, то говорят, что тело – однородное.Иначе тело называют – неоднородное.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.3 / 20Масса и центр масс твёрдого телаМасса тела — называется предел, к которому стремится сумма массего частей, когда число частей N бесконечно увеличивается, а ихразмеры ∆Vν , соответственно, уменьшаются до нуля:M=limNXN →∞ν=1∆Vν → 0Z∆mν−→M=dm(M )Выражая элемент массы dm через плотность µ материала тела иэлемент объёма dV по формуле: dm = µ dV можно выразить массутела в виде интеграла по объёму:ZZZZM=µ dV =µ(r̄) dx1 dx2 dx3(V )(V )В частности для однородного тела: M = µ V .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.4 / 20Масса и центр масс твёрдого телаЦентр масс твёрдого тела — называется предел, к которомустремится центр масс системы его частей, когда число делений телаN растёт до бесконечности, а размеры его частей ∆Vν ,соответственно, уменьшаются до нуляNPr̄ C =limN →∞∆Vν → 0r̄ ν ∆mνν=1NPν=1∆mν1−→ r̄ C =MZ(M )1r̄dm =MZµ r̄dV(V )Замечание. Так как взаимные расстояния между любыми точкамитела всегда сохраняются, как бы тело ни двигалось, то и положениецентра масс тела по отношению к точкам тела никогда не изменится.А значит всегда найдётся такая «точка тела», которая совпадает сположением центра масс тела и движение этой точки будет таким жекак движение центра масс тела. Таким образом центр масс твёрдоготела – можно отождествить с фиксированной точкой тела.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.5 / 20Момент инерции системы точек и тела относительно осиМерой инерции системы точек и тела во вращательном движении вокругнекоторой оси является осевой момент инерции.Пусть расстояние точки Pν механической системыl(ν = 1, . . . , N ) до некоторой оси l равно hνP1(если ось l движется, тогда hν – в некоторыйPx32hnфиксированный момент времени).P3 Т.е. hν – длина перпендикуляра опущенного изPn,mnточки Pν на ось l.Введём величину:x1x2OJl =NXмомент инерции системыmν h2ν − точек относительно оси l(осевой момент инерции)ν=1Для тела, как обычно, необходимо совершить известный предельныйпереход (N → ∞, ∆Vν → 0), в результате которого получим выражение:ZZмомент инерции телаотносительно оси lJl =h2 dm =h2 µdV −(M )(V )(осевой момент инерции)где h = h(r̄) – функция расстояний точек тела до оси l.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.6 / 20Момент инерции системы точек и тела относительно осиТ.к. координаты точек тела можно задавать в разных системах координат,далее мы для удобства будем использовать декартову прямоугольнуюсопутствующую систему координат Oξα (жёстко связанную с телом), началоO которой находится на оси l, тогда h = h(ξ1 , ξ2 , ξ3 ). И будем обозначать:Zмомент инерции тела (системы тел или точек)JlO =h2 µdV −относительно оси l, проходящей через точку O(V )Понятно, что расстояние до любой оси ξα определяется выражением:22h2 = ξα+1+ ξα+2.
ТогдаZZZ22JξOα =(ξα+1+ ξα+2) µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dξ1 dξ2 dξ3(V )– моменты инерции тела относительно координатных осей Oξα –декартовых прямоугольных (нижний индекс ограничен по модулю 3).Величина ρ – называется радиус инерции тела относительно оси l, еслиJl = M ρ2Батяев Е. А. (НГУ)где M – масса тела.ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.7 / 20Моменты инерции тела относительно параллельных осейОчевидно, что момент инерции относительно оси зависит как от выборанаправления оси, так и от точки через которую она проходит.
Оказывается,можно установить зависимость между моментами инерции относительноразных параллельных осей.Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела (системы точек)относительно произвольной оси l равен сумме момента инерцииотносительно оси l0 – параллельной оси l и проходящей через центр масс, ипроизведению массы тела на квадрат расстояния d между данными осями:x3 l`JlA = JlC0 + M d2lAx1Cx2dБатяев Е. А. (НГУ)Доказательство:Выберем сопутствующую систему координатс началом в центре масс C, а оси ξα подберёмтак, чтобы ось Cξ3 = l0 , а ось Cξ2 – пересекала l,проходящую через точку A.
Так можно сделатьпоскольку выбор сопутствующей системы координатв определённом смысле произволен и для каждогомомента времени можно так подобрать систему.Сделано это для упрощения дальнейших выражений.ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.8 / 20Осевые моменты инерции тела (системы точек) относительно оси l0 ,проходящей через центр масс C, и относительно оси l, проходящей черезZZточку A, имеют вид:C22AJl =h2 dmJl0 =(ξ1 + ξ2 )dm,x2x1x1x2(M )(M )AdChh2 = ξ12 + (d − ξ2 )2 - расстояния от оси l до точек тела.ZZA2Jl =h dm =(ξ12 + d2 − 2dξ2 + ξ22 )dm =P(x1,x2,x3)(M )Z(M )=ZZ(ξ12 +ξ22 )dm+d2(M )(M )Zξ2 dm = JlC0 +M d2dm−2d(M )ξ2 dm = M ξ2C = 0 поскольку центр масс C вт.к.(M )выбранной системе координат является началом системы координат.¥Отсюда легко установить зависимость между осевыми моментами инерцииотносительно любых параллельных осей l1 k l2 : Jl1 = Jl2 + M (d21 − d22 ) гдеd1 и d2 – расстояния осей l1 и l2 до параллельной им обеим оси, проходящейчерез центр масс, соответственно.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.9 / 20Центробежные моменты инерции. Оператор инерцииОказывается момент инерции тела относительно оси произвольногонаправления можно выразить через направляющие косинусы этой оси инекоторую совокупность шести величин.Рассмотрим некоторую ось l, проходящую черезlполюс O, т.е. какую-то точку тела (хотяx3и не обязательно тела).hedmСвязывая с телом сопутствующуюP(x1,x2,x3)декартову систему координат Oξα (жёсткоrOсвязанную с телом) определим орт оси l:x1x2e = (e1 , e2 , e3 ),|ee|2 = e21 + e22 + e23 = 1Его компоненты, равны косинусам углов с осями ξα : eα = cos ∠(ee, ξα ).Из рисунка видно, что расстояние h от любой точки P тела, определяемойe = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ), до оси l равно: h2 = ρ2 − ρ2eрадиус-вектором ρXe на направление оси l: ρe = ρe·e=ξα eα ,где ρe - проекция вектора ρ³X´2αXX⇒h2 =ξα eαпричём: ρ2 =ξα2ξα2 −αБатяев Е.
А. (НГУ)αЛЕКЦИЯ 12αНовосибирск, 2017 г.10 / 20Следовательно осевой момент инерции тела относительно оси l:ZZ hX³X´2 iO2Jl =h dm =ξα2 −ξα eαdm =(M )(M )αα=Z hX¡(M )iX¢1 − e2α ξα2 − 2ξα ξβ eα eβ dmαα,βα6=βт.к. 1 − e2α = e2α+1 + e2α+2 (α = 1, 2, 3 индекс ограничен по модулю 3), получимZ hXiX¡¢JlO =ξα2 e2α+1 + e2α+2 −2ξα ξβ eα eβ dm = (после перегруппировки)(M )αα,βα6=βZ hXiX¡ 2¢ 22=ξα+1 + ξα+2eα − 2ξα ξβ eα eβ dm(M )αα,βα6=βОкончательно получим выражение:JlO =3Xα=1Батяев Е.
А. (НГУ)Ze2α¡Z3X¢22ξα+1+ ξα+2dm − 2eα eβξα ξβ dmα,β=1α6=β(M )ЛЕКЦИЯ 12(M )Новосибирск, 2017 г.11 / 20ZВидно, что¡ 2¢2ξα+1 + ξα+2dm = JξOα −осевые моменты инерции телаотносительно осей Oξα .(M )Для сокращения дальнейших записей будем их обозначать: JαO = JξOαZцентробежныеOξα ξβ dmОбозначим Jαβ =−моменты инерции тела(M )Очевидна симметричность центробежных моментов инерции по индексам:OOJαβ= Jβα∀ α, β (α 6= β)Итак выражение для момента инерции тела относительно некоторой оси lопределяется через осевые моменты инерции относительно координатныхосей (3 шт.) и центробежные моменты инерции (3 шт.), т.е. всего 6 величин:JlO =3Xα=1JαO e2α − 23XOJαβeα eβ(∗)α,β=1α6=βOПри этом видно, что JαO и Jαβне зависят от выбора оси l – ониопределяются только выбором точки O и осями ξ1 , ξ2 , ξ3 – сопутствующейсистемы координат, в которых тело неподвижно, поэтому они – постоянны.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
