1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904)
Текст из файла
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 1ВВЕДЕНИЕЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.1 / 18ЛитератураМаркеев А.П. Теоретическая механика: Учебник для университетов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. - 592 С.ISBN 978-5-93972-604-7Бондарь В. Д. Лекции по теоретической механике.: Учебное пособие.- НГУ, 1970, ч.
1; 1972, ч. 2; 1974, ч.3.Голдстейн Г. Классическая механика. - М: Наука, 1975. - 416 С.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособиедля вузов/ Под ред. Е.С.Пятницкого, - 3-е изд. - М.:Физматлит, 2005........................................................................Мещерский И.В.
Сборник задач по теоретической механике, издание35 и последующие.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическаямеханика в примерах и задачах, Т. 1-3. любое издание.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.2 / 18ВведениеМеханика – наука о движении и взаимодействии материальных тел.Механическое движение – процесс изменения взаимногоположения тел или частей тела в пространстве с течением времени.Теоретическая механика, как часть естествознания, использующаяматематические методы, имеет дело не с самими реальнымиматериальными объектами, а с их моделями.Моделями, изучаемыми в теоретической механики, являютсяматериальная точка,система материальных точек,абсолютно твёрдое тело.Область применимости механики: движение макроскопических телсо скоростями, малыми сравнительно со световой (предельные случаиописываются квантовой и релятивисткой механикой).Теоретическая механика изучает движение ивзаимодействие абсолютно твёрдых телБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.3 / 18Основные разделы теоретической механики(ðàâíîâåñèå)Кинематика – изучает движение тел с геометрической точки зрения,без исследования причин, вызывающее это действие.Кинетика – изучает равновесие (статика) и движение (динамика) телпод действием приложенных к ним сил.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.4 / 18Пространство и времяМеханическое движение происходит в пространстве и времени.В теоретической механике в качестве моделей реальных пространстваи времени принимаются их простейшие модели:абсолютное пространство и абсолютное время,существование которых постулируетсяАбсолютное пространство и абсолютное время – считаютсянезависимыми одно от другого (в отличие от теории относительности,где пространство и время взаимосвязаны).Абсолютное пространство – трёхмерное, однородное и изотропное(т.е.
свойства движений в каждой точке пространства и в каждомнаправлении – одинаковы), неподвижное евклидово (т.е. со скалярнымпроизведением) пространство, независящее от движущихся в нём тел.Абсолютное время – непрерывно изменяющаяся величина, оно течётот прошлого к будущему. Время однородно, одинаково во всех точкахпространства и не зависит от движения материи.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.5 / 18Механическое движениеМеханическое движение, в его геометрическом представлении,всегда имеет относительный характер: т.е. можно только сказать,некоторое тело движется относительно другого тела, еслирасстояния между всеми или некоторыми точками этих тел –изменяются.Пример: движение в поезде, автомобиле, лифте.Движения тела относительно различных тел будут вообщеразличными.Поэтому для удобства исследования геометрического характерадвижения необходимо взять некоторое вполне определённоетвёрдое тело, т.е.
тело, форма которого неизменна, и условитьсясчитать его неподвижным.Движение (покой) всех других тел по отношению к этому телуназывается абсолютным движением (покоем).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.6 / 18Неподвижная (абсолютная) система координатДля возможности аналитического описания движения тела поотношению к неподвижному телу, с этим последним связываетсяабсолютная система координат– система трёх осей, не лежащих в одной плоскости (чаще всеговзаимно ортогональных) и начало отсчёта расстояний вдоль осей(выбор направления осей), дающее арифметизацию пространстваx3Oax1M - äâèæóùååñÿòåëîx2Каждому телу M однозначносопоставляетсятройка чисел – координат:M ⇐⇒ (x1 , x2 , x3 )òåëî îòñ÷åòàЕдиница длины: 1 метр = длине пути, проходимого светом1в вакууме за 299 792секунды.458Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.7 / 18Время постигается и измеряется при помощи движения и впервую очередь механического движения.Измерение времени основано на его арифметизации, т.е. еслинекоторый момент времени принять за начало отсчёта времени,то всякий другой момент времени однозначно сопоставляетсясоответствующим числом t, т.е.
числом секунд, прошедшихмежду начальным и рассматриваемым моментом.x3tx’3x2x’1t º t’x1t’x’2Событие ⇐⇒ число tВремя не зависит от выбораабсолютной системы координат(неподвижного тела)«+» - следует за начальным моментом времени (увеличивается);«−» - предшествует начальному моменту времени (уменьшается)Единица времени: 1 секунда = 9 192 631 770 периодам излучения,соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнямиосновного состояния атома цезия-133.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.8 / 18Базовые понятияСистема отсчёта – система координат + время (с началом отсчёта).Геометрическая точка – тело (объект) достаточно малое для тогочтобы его положение и движение можно было задать (определить) какдля объекта, не имеющего размеров (используется в кинематике).Материальная точка – частица материи (материальный объект) –вращательным движением которого можно пренебречь.Условно: спутник в космическом пространстве – материальная точка;но его ориентация, положение антенн, солнечных батарей – случайкогда нельзя избегать вращения и пренебрегать размерами.В кинематике материальная точка отождествляется с геометрической.Траектория точки – геометрическое место последовательныхположений движущейся точки, т.е.
пространственная линия вдолькоторой двигается точка.Пример: если траектория - прямая линия, то движение точкиназывается прямолинейным, иначе криволинейное. Например еслитраектория является окружностью, то движение называется круговымБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.9 / 18Векторный способ задания движения точкиЗадать движение точки – означает задать способ определенияположения точки в пространстве в любой момент времени.Рассмотрим движение точки M относительно некоторого тела,которое считаем неподвижным. O – точка принадлежащая этомутелу.Радиус-векторòðàåêòîðèr̄ – движущейся точки M относительно O−−→ÿявляется направленным отрезком OMrи задаётся как вектор-функция времени:MO−−→r̄ = r̄(t) = OMВекторная функция r̄(t) должна быть однозначной, непрерывнойи, по крайней мере, дважды дифференцируемой.С течением времени конец радиус-вектора точки r̄(t) описывает –траекторию точки в пространстве.Вектор – определяется – модулем (длиной) r и направлением.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.10 / 18Скорость точкиБыстроту изменения положения точки в пространстве характеризуетскорость точки – одна из основных кинематических характеристикM’r’ DrOarM : r̄ = r̄(t)M 0 : r̄ 0 = r̄(t + ∆t)M=⇒ ∆r̄ = r̄ 0 − r̄ = r̄(t + ∆t) − r̄(t)∆r̄dr̄=∆t→0 ∆tdtv̄(t) = limVIDEOСкорость точки направлена по касательной к её траекторииСкоростью точки М: называется векторная физическая величинаявляющаяся производной по времени от радиус-вектора точки r̄(t)v̄(t) =Батяев Е. А. (НГУ)dr̄(t)dtЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.11 / 18Ускорение точкиБыстроту изменения вектора скорости с течением временихарактеризует ускорение точки.DvvM : v̄ = v̄(t)M 0 : v̄ 0 = v̄(t + ∆t)vv’Oar’M’rM=⇒ ∆v̄ = v̄ 0 − v̄ = v̄(t + ∆t) − v̄(t)∆v̄dv̄ā(t) = lim=VIDEO∆t→0 ∆tdtУскорение точки направлено в сторону вогнутости траекторииУскорением точки М: называется векторная физическая величинаявляющаяся производной по времени от вектора скорости точки v̄(t)(или вторая производная по времени от радиус-вектора r̄(t))ā(t) =Батяев Е.
А. (НГУ)dv̄(t)d2 r̄(t)=dtdt2ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.12 / 18Координатный способ задания движения точкиПусть Ox1 x2 x3 – неподвижная, декартова прямоугольная система координат.x3rk3Oak1x1k̄1 , k̄2 , k̄3 – орты её координатных осей Ox1 , Ox2 , Ox3(длина k̄i – единица: |k̄i | = 1 – единичные вектора).{k̄i } – координатный базис (3 независимых вектора),Mk2x2(t)x3(t)x2x1(t){k̄i } –½ортонормированный базис: k̄i · k̄j = δij1, i = j,δij =– Символ Кроннекера0, i 6= j.Скалярным произведением 2-х векторов: ā · b̄ называется число (скаляр)равное произведению модулей (длин) векторов и косинуса угла между ними:ā · b̄ = ab cos ∠(ā, b̄)Тогда вектор-функция r̄(t) может быть задана при помощитрёх скалярных функций x1 (t), x2 (t), x3 (t) − координатами точки Mпо формуле разложения вектора в базисе:r̄(t) =3Xxi (t)k̄ii=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.13 / 18Связь между векторным и координатнымпредставлением движения точкиxi (t) = r̄(t) · k̄i = r cos ∠(r̄, k̄i )r(t)aТ.е. физический смысл компонент (координат) вектораki xi(t) xiā = (a1 , a2 , a3 ) – это проекции вектора ā на оси Ox1 , Ox2 , Ox3 .Свойство: разложение вектора ā в координатном базисе – единственно.PP 0P(ā = ai k̄i =ai k̄i ⇒(ai − a0i )k̄i = 0 ⇒ ai = a0i т.к. {k̄i } независимые).r̄xi==r̄(t) – векторноеxi (t) – координатноеOa¾уравнения движения точкиПоследние уравнения xi = xi (t) можно рассматривать как параметрическоезадание траектории точки (где t играет роль параметра). Выражая из одногоуравнения t, например из первого t = t(x1 ), и подставляя в другие, получим¾x2 = x2 (x1 )уравнение траекторииx3 = x3 (x1 )Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движения иметодов определения скорости, ускорения и других кинематических величин.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.14 / 18Выражения для векторов скорости и ускорения−−−→Для вектора скорости точки имеем представление (k̄i = const):v̄(t) =3X3vi (t)k̄iиv̄(t) =i=1dr̄(t) X=ẋi (t)k̄idti=1Количество точек над символом (ẋi , ẍi ) равно числу производных по времени.Так как разложение вектора в координатном базисе единственно, имеем:vi = ẋi (t)– компоненты скорости точкиДля вектора ускорения точки:ā =3X3ai k̄ii=1иā =dv̄ X=v̇i (t)k̄idti=13иā =d2 r̄ Xẍi (t)k̄i=dt2i=1Так как разложение вектора в координатном базисе единственно, имеем:ai (t) = v̇i (t) = ẍi (t)– компоненты ускорения точкиСчитаем, что xi (t) – дважды непрерывно-дифференцируемые функции времениБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.15 / 18Свойства скалярного произведения вортонормированном базисе∀ ā =Xai k̄iiВеличина (длина, модуль) вектора ā: |ā| = a =√ā · ā =sXa2iiai– направляющие косинусыaXXXai k̄i ·bj k̄j =ai biСкалярное произведение векторов: ā · b̄ =Направление вектора ā: cos ∠(ā, k̄i ) =ijiКоммутативность операции скалярного произведения : ā · b̄ = b̄ · āБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.16 / 18Свойства векторного произведения вортонормированном базисеc̄ = ā × b̄Вектор c̄ – результат векторного произведенияcb– ортогонален (перпендикулярен) обоим векторам ā и b̄.aНаправлен c̄ в сторону откуда движение (вращение) первоговектора (ā) ко второму вектору (b̄) по наименьшему междуaними углу (α) видно происходящим против хода часовойстрелки – положительном направлении вращения (правило правоговинта, буравчика, штопора).c = a · b · sin ∠(ā, b̄)модуль c̄, векторного произведения ā и b̄, равен произведению их модулейна синус наименьшего угла между ними:α.XXXДля координатного представления c̄ =ci k̄i = ā× b̄ =ai k̄i ×bj k̄jиспользуется формула с применением определителя матрицы:3k̄1 k̄2 k̄3Xc̄ =ci k̄i = det a1 a2 a3 ⇒ ci = ai+1 bi+2 − ai+2 bi+1 (i = 1, 2, 3)i=1b1 b2 b3(Нижний индекс ограничен по модулю 3)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2017 г.17 / 18Все системы координат рассматриваемые в курсе (Ox1 x2 x3 ) – правые:(α = 1, 2, 3)k̄α × k̄α+1 = k̄α+2для ортонормированного координатного базиса {k̄i }.• |ā × b̄| – равен площади параллелограмма натянутого на вектора ā и b̄• антикоммутативность: ā × b̄ = −b̄ × ā• правило циклической перестановки при смешанном произведении (∀ ā, b̄, c̄)ā · (b̄ × c̄) = b̄ · (c̄ × ā) = c̄ · (ā × b̄)Модуль этого числа – объём параллелепипеда, натянутого на вектора ā, b̄, c̄.Если ā · (b̄ × c̄) 6= 0, т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
