1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.4 / 18Обобщение второго закона Ньютона на движение несвободной точкиПусть точка перемещается по поверхности f (r̄) = 0 под действием силы F̄ .Если бы она была свободна, тогда по основному закону динамики,ускорение точки: ā = F̄ /m. Однако в общем случае ниоткуда не следует, чтоусловие на ускорение:∇f · ā + D2 f = 0будет при этом выполняться! Выход из этого противоречия находится путемобобщения основного закон динамики в случае несвободной точки в виде:mā = F̄ + R̄т.е.
кроме силы F̄ действует ещё сила R̄, обусловленная присутствием связи.Сила R̄ называется – реакция связи. Реакция R̄ должна быть такой чтобыуравнение движения было совместимо с условием на ускорение.F̄ + R̄Найдём R̄. Выразим ускорение из последнего выражения:ā =.m¡¢F̄ + R̄⇒ ∇f ·+ D2 f = 0 ⇒ ∇f · R̄ = − ∇f · F̄ + mD2 fm∇f∇f · F̄ + mD2 f⇒· R̄ = n̄ · R̄ = −|∇f ||∇f |Т.е. уравнение связи определяет только нормальную составляющую реакции.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.5 / 18Представим реакцию связи в видеR̄ = N̄ + Q̄NnvN̄ – нормальная реакция – проекция R̄на нормаль n̄ к поверхности,Q̄ – тангенциальная реакция – проекция R̄на касательную плоскость к поверхности. Т.е.N = n̄ · R̄,N̄ = N · n̄иRQN̄ ⊥ Q̄Величина N определяется полученной выше формулой, а тангенциальнаяреакция, лежащая в касательной плоскости, вообще говоря, может бытьпроизвольной.Выразим N̄ в виде:N̄ = λ∇f,где λ = −∇f · F̄ + mD2 f|∇f |2λ – коэффициент пропорциональности, вообще говоря - переменный,называется – множителем связи (Лагранжа).
Его введение позволяетзаменить три неизвестных (N1 , N2 , N3 ) = N̄ — одной величиной λ.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.6 / 18Законы Кулона для движения и равновесия точкиДля установления вида тангенциальной реакцией требуется привлечьдополнительные соображения. На основе экспериментального изучениядвижения тела по поверхности было установлено, что тангенциальнаяреакция в движениии пропорциональна по модулю нормальной реакции инаправлена против движения:v̄Q̄ = −kNvгде v̄ – вектор скорости движения точки относительно поверхности.При равновесии точки на поверхности Q̄ направлена против возможногодвижения точки под действием приложенных сил, а её модуль принимаетодно из значений в интервале:0 6 Q 6 k1 NПриведённые зависимости называются — Законы Кулона(-Амонтона)для движения и равновесия.
Тангенциальную реакцию Q̄ называюттакже – сила трения, а k(k1 ) – коэффициент трения (скольжения).Коэффициенты k и k1 определяются экспериментально – зависят от степениобработки и материалов движущегося тела и поверхности (обычно k1 > k).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.7 / 18Основной закон динамики для несвободной точкиТ.о. полная реакция для точки, движущейся по поверхности, имеет видR̄ = λ∇f − k|λ∇f |v̄vВ общем случае при k 6= 0 поверхность называется – шероховатой(т.е. поверхность с трением). В частном случае при k = 0 поверхностьназывают – идеальной или гладкой.С учётом полученного выражения для реакции запишемОсновной закон динамики для несвободной точкиmā = F̄ + λ∇f − k|λ||∇f |v̄vВнешне данное выражение (или mā = F̄ + R̄) имеет тот же вид, как изакон движения свободной точки (mā = F̄ ), если к активным силамдобавить ещё реакцию связи.
Таким образом можно сформулироватьБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.8 / 18Принцип освобождаемости от связейЛюбую несвободную точку можно рассматривать каксвободную, если мысленно отбросить связь, а её действиезаменить силой – реакцией связи (неизвестной)В основном законе динамики несвободной точки фигурирует функцияf (r̄), определяющая уравнение поверхности. Поэтому для замыканиязадачи о движении точки по поверхности к дифференциальнымуравнениям движения необходимо добавить уравнение связи:f (r̄(t)) = 0Реакции связей называют иногда – пассивными силами, т.к. онизаранее не известны, зависят не только от связи (формы, материала),но и от других действующих сил, называемых активными, и отдвижения самой точки.
Активные силы, действуя на покоящуюсяточку, могут сообщить ей определённое движение (отсюда и название«активные»), а реакции не могут придать движение.Реакция заранее никогда не известна и подлежит определению.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.9 / 18Типы связей и реакций (действующих на тело)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.10 / 18Движение точки по линииПусть точка M двигается по линии L.Представим линию L как пересечениедвух поверхностей: f1 (r̄) = 0 и f2 (r̄) = 0.Реакции поверхностей f1 и f2 сводятся к силам:R̄1 = N̄ 1 + Q̄1f2(r)=0N1и R̄2 = N̄ 2 + Q̄2Q2LQ1N2MN̄ 1 = λ1 ∇f1 , Q̄1 - в касательной плоскости к f1 (r̄) = 0, vN̄ 2 = λ2 ∇f2 , Q̄2 - в касательной плоскости к f2 (r̄) = 0.f1(r)=0Отметим, что вектор скорости v̄ точки M направленпо касательной к линии L (и к поверхностям).Т.к.
поверхность действует на точку с некоторой силой-реакцией, то уместноположить, что воздействие линии также сводится к реакции R̄ равной суммереакций поверхностей:R̄ = R̄1 + R̄2 = λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 + Q̄v̄где Q̄ = Q̄1 + Q̄2 = −kN , k – коэффициент трения скольжения (по линии)vpN̄ = N̄ 1 + N̄ 2 ,N = (λ1 ∇f1 )2 + (λ2 ∇f2 )2 + 2λ1 λ2 ∇f1 ∇f2Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.11 / 18Дифференциальные уравнения движения точки вдоль линии вестественных осяхИтак, при движении по линии основной закон движения следует брать в виде:v̄mā = F̄ + λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 − kNvПусть траектория L точки M ,vявляющаяся шероховатой линией – известна:r̄ = r̄(s), где s = s(t) – дуговая координата,характеризующая закон движения по траектории,который требуется найти. На точку действуетNсила F̄ и реакции N̄ – нормальная, Q̄ – сила трения.Основной закон движения несвободной точки имеет вид:mā = F̄ + N̄ + Q̄Спроектируем все силы на естественные оси (τ̄ , n̄, b̄):FQLF̄ = (Fτ , Fn , Fb ) − компоненты активной силыN̄ − лежит в нормальной плоскости ⇒ N̄ = (0, Nn , Nb )v̄Q̄ = −kN = −kN τ̄ − лежит в касательном направлении ⇒ Q̄ = (−kN, 0, 0)vБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.12 / 18Дифференциальные уравнения движения точки вдоль линии вестественных осяхДифференциальные уравнения движения точки вдоль линии в естественныхpосях:= Fτ − kN, где N = Nn2 + Nb2 ms̈mṡ2 /ρ = Fn + Nn0= Fb + NbПоследние 2 уравнения дают выражения компонент нормальной реакции отst, ṡ, s̈:µ 2¶2ṡ2ṡNn = m − Fn , Nb = −Fb⇒N=m − Fn + Fb2ρρА первое уравнение позволяет определить движение, иззакона движения точки в естественной форме:sµms̈ = Fτ − kṡ2m − Fnρ¶2+ Fb2Fτ , Fn , Fb – известные непрерывно-дифференцируемыe функции от t, ṡ, s̈Добавляя к ним начальные данные: s(0) = s0 , ṡ(0) = ṡ0 , получим задачуКоши, имеющую единственное решение.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.13 / 18Равновесие точкиГоворят, что точка находится в равновесии относительно некоторойинерциальной системы отсчёта, если её положение в этой системе неменяется со временем (или, что то же самое, если её скорость тождественноравна нулю).Zdr̄≡ 0 ⇔ v̄(t) ≡ 0 ⇒ r̄(t) = v̄dt+c̄ ≡ c̄ = constr̄(t) ≡ c̄ = const ⇒ v̄(t) =dtТЕОРЕМА: Для равновесия первоначально покоившейся свободной точкинеобходимо и достаточно равенство нулю равнодействующей всех сил,приложенных к точке.Доказательство:Необходимость: Пусть точка покоится: v̄(t) ≡ 0, тогда по II Закону Ньютона:F̄ = mdv̄=0dtДостаточность: Пусть v̄(0) = 0, и F̄ = 0 тогда по II Закону Ньютона:dv̄dv̄m= F̄ = 0 т.е.= 0, следовательно v̄(t) ≡ const = v̄(0) = 0.dtdtБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.¥14 / 18Итак, II Закон Ньютона в равновесии принимает специальную форму:F̄ = 0уравнения равновесия точки (свободной)−Заметим, что хоть в общем случае F̄ = F̄ (t, r̄, v̄), но для равновесия:F̄ = F̄ (r̄)от скорости очевидно не зависит т.к. она равна нулю, а в независимости отвремени убеждаемся дифференцируя II Закон Ньютона по времени:dF̄d2 v̄= m 2 = 0.dtdtЗамечание 1: Если точка не свободна, тогда по основному закону динамикинесвободной точки необходимо к активным силам добавить реакции связей:F̄ + R̄ = 0−уравнения равновесия несвободной точкиНапример, если поверхность гладкая, то уравнения равновесия принимаютвид:F̄ + N̄ = 0 или F̄ + λ∇f = 0Добавляя к этим трём уравнениям выражение связи f (r̄) = 0 получим 4уравнения которые позволяют найти 4 неизвестных: λ, x1 , x2 , x3 .Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
