1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 2
Текст из файла (страница 2)
V 6= 0, т.е. вектора ā, b̄, c̄ не лежат в однойплоскости, то эти вектора называются некомпланарныe – необходимоеa×bусловие любого базиса.cbba¯ ¯a1¯S = |S̄| = |ā × b̄| = a b sin α V = |c̄ · (ā × b̄)| = ¯¯det b1¯c1• двойное векторное произведение через скалярное:ā × (b̄ × c̄) = b̄(ā · c̄) − c̄(ā · b̄) (правило "бац минусaБатяев Е. А. (НГУ)aЛЕКЦИЯ 1a2b2c2¯a3 ¯¯b3 ¯¯c3 ¯цаб")Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 2КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯСИСТЕМА КООРДИНАТЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕДВИЖЕНИЯ ТОЧКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.1 / 18Криволинейные координатыДля определения положения точки в пространстве вместо трёх декартовыхкоординат x1 , x2 , x3 можно использовать три другие независимые величины(параметры) q1 , q2 , q3 , однозначно определяющих положение точки.Причём декартовы координаты выражаются через {qi } с помощью функцийxi = xi (q1 , q2 , q3 ), а вектор3Xr̄ =xi (q1 , q2 , q3 )k̄i = r̄(qα )i=1Будем предполагать, что функции xi (q1 , q2 , q3 ) ∈ C 3 — трижды непрерывндифференцируемые, причём∂xidet6= 0∂qαЭто свойство позволяет обратить выражения: xi = xi (qα ) → qα = qα (xi ).Каждой точке M соответствует 3 координаты xi тогда найдём qα . Верно инаоборот: для любой тройки чисел qα определяется xi . Таким образом,между xi и qα есть взаимно однозначное соответствие, поэтому говорят{qα } – обобщённые координаты (криволинейные).Движение точки считается заданным, если её обобщённые координаты qα –являются функциями времени: qα = qα (t).
А радиус-вектор r̄ – сложнаяфункция времени:r̄(t) = r̄(q1 (t), q2 (t), q3 (t))Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.2 / 18Криволинейный базисêîîðäèíàòòíàÿ ëèíèÿäèíàîîð-êqax3Oaíàÿîñür0M0ýaПусть M0 какая-либо точка в пространстве.Её криволинейные координаты: (q10 , q20 , q30 ).qα - координатная линия, проходящаячерез точку M0 , называется криваяr̄ = r̄(qα , qα+1,0 , qα+2,0 ),x1получающаяся из r̄ = r̄(q1 , q2 , q3 ) путём изменения координаты qα прификсированных остальных координатах: qα+1 = qα+1,0 , qα+2 = qα+2,0 .x2Касательная прямая к координатной линии qα в точке M0 называетсякоординатная ось, проходящаячерез M0 .
Легко понять, что вектор¯¯∂r̄ ¯= э̄ α∂qα ¯M0определяет касательный вектор к координатной линии qα в точке M0 .µ¶33X∂xi∂x1 ∂x2 ∂x3∂r̄∂ Xxi (q1 , q2 , q3 )k̄i =k̄i =э̄ α ==,,∂qα∂qα∂qα∂qα ∂qα ∂qαi=1Батяев Е. А. (НГУ)i=1ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.3 / 18Криволинейный базисРассмотрим 3 вектора э̄ 1 , э̄ 2 , э̄ 3 . Каждый из них направлен по координатнойоси. Объём параллелепипеда построенного на э̄ α :µ¶∂xiV = э̄ 1 · (э̄ 2 × э̄ 3 ) = det6= 0∂qαЗначит {э̄ α } - некомпланарны и могут быть взяты в качестве координатногобазиса (называется ковариантным).¯∂r̄ ¯¯Обратим внимание, что э̄ α =зависит от точки M0 , значит для∂qα ¯M0каждого положения точки M0 в пространстве свой координатный базис {э̄ α },т.е. э̄ α = э̄ α (q1 , q2 , q3 ) – это вектор-функции координат.
Но он определяетсяоднозначно – т.е. он единственный в каждой точке M0 пространства.В общем случае {э̄ α } могут быть не ортогональны. Но мы будемрассматривать в дальнейшем только ортогональные системы координат.Условие ортогональности {э̄ α }: э̄ α · э̄ β = 0 при α 6= β, т.е.3X∂r̄ ∂r̄∂xi ∂xi·== 0,∀ α 6= β∂qα ∂qβ∂qα ∂qβi=1получается 3 выражения. Кроме того, в общем случае э̄ α – не единичные.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.4 / 18Физические компоненты векторовОбозначимshα = |э̄ α | =∂x1∂qα2+∂x2∂qα2введём единичные вектора ēα =+∂x3∂qα2 ∂r̄ − коэффициенты Ламе∂qα = э̄ α11 ∂r̄=э̄ α =|э̄ α |hαhα ∂qαПричём: ēα · ēβ = δαβ значит {ēα } – ортонормированный базис в точке M0 .Важность координатного криволинейного базиса {ēα } понятна из разложенияпроизвольного вектора c̄ по базису {ēα }:c̄ =Xcα э̄ α =Xα√|c̄| = c̄ · c̄ =sXcα hα ēα =αc∗α ēα ·αXβc∗β ēβ =sXc∗α ēα⇒c∗α = hα cααX(c∗α )2 − вид как и декартовых координатахαc∗α,c∗Компоненты cα — физические компоненты вектора c̄ — это проекции c̄ наc∗α= c̄ · ēα = c · cos ∠(c̄, ēα )cos ∠(c̄, ēα ) =координатные оси qα , компоненты cα – контравариантные компоненты вектора c̄.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.5 / 18Физические компоненты скорости точкиЗамечание: Отметим, что координатная линия имеет направление! И векторэ̄ α направлен вдоль координатной оси строго по возрастанию qα . Т.е. еслиточка M : r̄(qα0 , qα+1,0 , qα+2,0 ) и точка M0 : r̄(qα,0 , qα+1,0 , qα+2,0 ) такие чтоqα0 > qα,0 , то вектор э̄ α направлен от M0 в сторону M .Используем следующее представление для скорости точкиv̄ =XXdr̄ X ∂r̄=q̇α =э̄ α q̇α =hα q̇α ēαdt∂qααααc другой стороны v̄ =Pαvα∗ ēα – единственное разложение в базисе (т.к.базис однозначен), где vα∗ – проекции на координатные оси qα вектора v̄.Поэтому физические компоненты скорости:sXv∗vα∗ = hα q̇αv=(vα∗ )2 , cos ∠(v̄, ēα ) = αvαгде q̇α – обобщённая скорость.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.6 / 18Физические компоненты ускорения точкиДля вычисления ускорения используем представлениеXā =a∗α ēα ,a∗α = ā · ēαα· µ¶¸1 d∂r̄d ∂r̄=v̄ ·− v̄ ·hα dt∂qαdt ∂qαdr̄ X ∂r̄Тождества Лагранжа.
Из выражения для скорости v̄ ==q̇αdt∂qααимеем:∂ v̄∂r̄=∂ q̇α∂qαa∗αиdv̄1=· ēα =dthαµX ∂ 2 r̄∂ v̄=q̇β .∂qα∂qα ∂qβdv̄ ∂r̄·dt ∂qα¶Кроме тогоβX ∂ 2 r̄d ∂r̄=q̇βdt ∂qα∂qα ∂qββпоскольку r̄(q1 , q2 , q3 ) – трижды непрерывно дифференцируемаявектор-функция. Тогда получим:d ∂r̄∂ v̄=dt ∂qα∂qαБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.7 / 18Физические компоненты ускорения точкиПолучим следующее выражение для физических компонент ускорения:· µ¶¸1 d∂ v̄∂ v̄∗aα =v̄ ·− v̄ ·hα dt∂ q̇α∂qαPздесь v̄ = hα q̇α ēα , т.е. v̄ = v̄(t, q, q̇)αОбозначая T =т.к.
v̄ ·v2получим следующее выражение2·¸1 d ∂T∂T∗aα =−hα dt ∂ q̇α ∂qα1 ∂ v̄ · v̄∂v 2 /2∂ v̄==. При этом:∂ q̇α2 ∂ q̇α∂ q̇αsXa∗a=(a∗α )2 , cos ∠(ā, ēα ) = αaαБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.8 / 18Цилиндрическая система координат {r, ϕ, z}azezzajejrM er arzOaM 0 - проекция M на плоскость Oxy.Цилиндрические координаты :q1 = Oa M 0 = r,q2 = ∠xOa M 0 = ϕ,q3 = zСвязь с декартовыми координатами x, y, zyM’x = r cos ϕ,Коэффициенты Ламе: hr = 1,hϕ = r,xjy = r sin ϕ,z=zhz = 1Физические компоненты скорости и ускорения:vr∗ = ṙvϕ∗ = rϕ̇vz∗ = żБатяев Е.
А. (НГУ)a∗r = r̈ − rϕ̇2– радиальная21 d( r ϕ)a∗ϕ == rϕ̈ + 2ṙϕ̇ – трансверсальнаяr dta∗z = z̈– осеваяЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.9 / 18ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯТОЧКИs=s(t)MòðàårèÿO’+Oêòîð_Пусть в пространстве задана траекторияточки. Для определения положенияточки M на траектории возьмёмпроизвольную точку O кривойза начало отсчёта дуг и зададимположительное направление отсчёта.Каждому положению точки M поставим в соответствие своюдуговую координату — s.Величина s – положительная или отрицательная в зависимости от_направления отсчёта дуг. При этом длина дуги OM = |s|.Естественный способ задания движения точки – состоит в задании1) траектории движения точки — уравнений траектории;2) функции s = s(t) – уравнение движения точки по траектории.Предполагаем s(t) – дважды непрерывно дифференцируемая функция.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.10 / 18Касательный векторРадиус-вектор r̄ точки M относительно какой-нибудь фиксированнойточки O0 будет сложной функцией времени: r̄ = r̄(s(t)). Введёмτ̄ =dr̄ds– касательный вектор к траекторииОчевидно,pPчто он всегда направлен по касательной к траектории и|dr̄| =(dxi )2 = ds ⇒ |τ̄ | = 1 – единичный векторs=s(t)M+OtrБатяев Е. А.
(НГУ)_O’ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.11 / 18Нормальный вектор¯ 2 ¯¯ d r̄ ¯d2 r̄Рассмотрим вектор 2 . Обозначим через k = ¯¯ 2 ¯¯ – его модуль, аdsdsчерез n̄ – единичный вектор этого направления. Определим:k n̄ =d2 r̄dτ̄=2dsdsn̄ – главный нормальный вектор (нормаль). Он перпендикуляренкасательнойк траектории:¯¯ddτ̄dτ̄dτ̄τ̄ ·τ̄ = 1 ¯¯⇒·τ̄ +τ̄= 0 ⇒ 2 ·τ̄ = 0 ⇔ 2k n̄τ̄ = 0 ⇔ n̄⊥τ̄dsdsdsdsНаправлен n̄ в сторону вогнутости траектории.âûïóvêë¯ 2 ¯ uX µ 2 ¶2òðàåêò îñòü¯ d r̄ ¯ uMdxîðèè–кривизнаik = ¯¯ 2 ¯¯ = tt2траекторииdsdsOr âîãiρ=1– радиус кривизны траекторииkБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 2nròðà íóòîñåêò òüîðèèO’Новосибирск, 2017 г.12 / 18Бинормаль. Естественный трёхгранник ФренеВведём третий вектор: b̄ = τ̄ × n̄ – вектор бинормали(очевидно: b̄⊥τ̄ , b̄⊥n̄, |b̄| = 1 – единичный).{τ̄ , n̄, b̄} – естественный базис (трёхгранник, натуральный триэдр)Свойства:bñïðÿìëÿþùàÿïëîñêîñòüs=s(t)òð + OMtíîðìàëüíàÿïëîñêîñòüàå êòîðèÿñîïðèêàñàþùàÿñÿïëîñêîñòün1. τ̄ , n̄, b̄ – являются функциями s, т.е.зависят от точки (как и в криволинейнойортогональной системе координат);_ 2.
{τ̄ , n̄, b̄} – ортонормированный базис,однозначно определяется в любойточке траектории;3. τ̄ α = τ̄ α+1 × τ̄ α+2 (α = 1, 2, 3; α 6 3) –образуют правую тройку векторов(τ̄ 1 = τ̄ , τ̄ 2 = n̄, τ̄ 3 = b̄)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.13 / 18Естественные компоненты скорости иускорения точкиdr̄(s(t))dr̄ ds== τ̄ ṡ.
Учитывая, что естественныйdtds dtбазис определяется единственным образом, т.е. разложение любого векторав нём также единственно, т.е. для скорости точки:По определению v̄ =v̄ = vτ τ̄ + vn n̄ + vb b̄ = ṡτ̄⇒vτ = ṡ,vn = vb = 0что понятно, т.к. v̄ направлен по касательной к траектории.dv̄dτ̄ (s)ṡdτ̄ dsdṡṡ2Ускорение: ā ===ṡ + τ̄= τ̄ s̈ + n̄.dtdtds dtdtρАналогично, в силу единственности разложения ā = aτ τ̄ + an n̄ + ab b̄ имеем:an = ṡ2 /ρ = vτ2 /ρ, ab = 0v̄ τ = ṡ τ̄āτ = s̈ τ̄– касательнаяṡ2v̄ n = 0ān =n̄ – нормальнаяскорость и ускорение (векторы!)ρv̄ b = 0āb = 0– бинормальнаяНаправлены эти компоненты скорости и ускорения в те же стороны что исоответствующие вектора естественного трёхгранника (с учётом знака ṡ, s̈).aτ = s̈,Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
