1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для такогодвижения тела уравнения движения тела имеют вид:x0α = x0α (t),ϕα = 0(α = 1, 2, 3)а вся кинематика вполне описывается кинематикой одной точки.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.2 / 19Следует иметь в виду, что при поступательном движении телатраектории его точек могут быть самыми разнообразнымиконгруэнтными кривыми.Вид их полностью определяется уравнениями движения полюса.Равные у всех точек тела скорости и ускорения при поступательномдвижении называют соответственноскорость и ускорение тела.Итак, поступательное движение является единственным движениемтвёрдого тела, где можно говорить о скорости и ускорении тела вцелом (как для одной точки).Рассмотрим другое движение тела, не являющееся поступательным ивходящее во вторую часть формулы для самого общего движения тела:абсолютноедвижение=r̄(t)=Батяев Е.
А. (НГУ)поступательное(с полюсом)r̄ O (t)ЛЕКЦИЯ 6++вращательное(вокруг полюса)A(t)eρНовосибирск, 2017 г.3 / 19Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной осиЕсли при движении тела расстояния всех еготочек до двух неподвижных центров остаютсяпостоянными, то такое движение тела называютO1– вращение вокруг неподвижной оси,проходящей через эти центры.VIDEOx2 Пусть «в твёрдом теле» неподвижные точки O и O1jПрямая, проходящая через них, называетсяOвращения.
Понятно, что все точки телаx2 –наосьосивращения имеют нулевые скорости (чтоx1 j x1можно взять как определение оси вращения).Направим ось Ox3 неподвижной системы координат и ось Oξ3 подвижной,жёстко связанной с телом системы координат, по оси вращения.Ориентация тела относительно неподвижной системы координатопределяется единственным углом ϕ(t) между осями Ox1 и Oξ1 .Очевидно, что траектории всех точек тела, не принадлежащих оси вращения,являются окружностями с центрами N на оси вращения и лежащими вплоскостях, перпендикулярных оси вращения: M N ⊥ Ox3 . Пусть точка M−−→e (eтела задана в сопутствующих осях радиус-вектором ρρ = OM в Oξ1 ξ2 ξ3 ).x3 x3Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.4 / 19Тогда r̄ = ρ̄ = Aeρ,cos ϕ − sin ϕ 00 −ϕ̇ 000A = sin ϕ cos ϕ 0 ⇒ ȦA−1 = ϕ̇ 0 0 ⇒ ω̄ = 0 , ε̄ = 0 00100 0ϕ̇ϕ̈Таким образом, вектор угловой скорости ω̄направлен по оси вращения в ту сторону,откуда, если смотреть с конца вектора ω̄,вращение видно происходящимпротив хода часовой стрелки.Угловое ускорение ε̄ также направлено по осивращения, причём в ту же сторону, что и ω̄ –если ϕ̇ · ϕ̈ > 0 (ускоренное вращение)и в противоположную сторону,если ϕ̇ · ϕ̈ < 0 (замедленное вращение).x3 x3 a aeawvNMw arx2eOx2x1Так как угловые кинематическиеj x1характеристики в данном случае имеюттолько одну ненулевую компоненту, то подугловой скоростью и угловым ускорением подразумевают ϕ̇ = ω и ϕ̈ = ε.Точно так же будет и в плоском движении.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.5 / 19Для вычисления скорости и ускорения точкиM примем начало координат O – за полюс.Тогда v̄ O = āO = 0.Для скорости тогда имеем формулу:v̄ = ω̄ × ρ̄Нетрудно понять, что v̄ лежит в плоскости,перпендикулярной оси вращения,т.е. направлено по касательной к траектории,являющейся окружностью.x1Итак: v̄ ⊥ ω̄, v̄ ⊥ ρ̄.x3 x3 a aeawvNMw arx2eOx2jx1Его модуль |v̄| = |ω̄| · |ρ̄| · sin α = |ω| · d = |ϕ̇| · dгде α = ∠(ω̄, ρ̄), d – радиус окружности,по которой движется точка: d = M N .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.6 / 19Для ускорения из теоремы Ривальса получим:Вращательное ускорение āε = ε̄ × ρ̄направлено по касательной к траектории M(окружности радиуса d).Её модуль aε = ε · ρ · sin α = ε · d = |ϕ̈|d.Осестремительное ускорение āω = ω̄ × v̄лежит на перпендикуляре, проведённомк оси вращения из точки Mи направлено к оси вращения.Её модуль aω = ω 2 d = ϕ̇2 d.ā = ε̄ × ρ̄ + ω̄ × v̄x3 x3 a aeawvNMw arx2eOx2x1jx1Отметим, что в данном случаево вращательном движении тела вокруг неподвижной осивращательное ускорение точки M является – касательным ускорением,а осестремительное ускорение точки M – нормальным ускорением:āε = āτ ,āω = ān√Модуль полного ускорения M (т.к.
āε ⊥ āω ): a = d ε2 + ω 4 .Угол β между ā и āω : tg β = aε /aω = ε/ω 2Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.7 / 19Движение вокруг неподвижной точки (сферическое)Пусть твёрдое тело имеет одну неподвижную точку O, являющуюсяполюсом. Тогда снова v̄ O = āO = 0 и формулы для v̄ и ā те же, что ив предыдущем случае вращения тела вокруг неподвижной оси.Значит в данный момент времени скорости точек тела v̄ = ω̄ × ρ̄ т.е.какими они были бы, если бы тело вращалось с угловой скоростью ω̄вокруг неподвижной оси, на которой в этот момент времени лежит ω̄.Такая ось называется – мгновенная ось вращения,VIDEO 1а вектор ω̄ – мгновенная угловая скорость. VIDEO 2 VIDEO 3Ясно, что все точки мгновенной оси вращения имеют скорости равныенулю. Но только в данный момент времени, т.к.
мгновенная осьвращения, как и вектор мгновенной угловой скорости ω̄, перемещаетсяи в теле и в абсолютном пространстве. Следует отметить, что придвижении твёрдого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случаедвижения свободного твёрдого тела) ω̄ не является производнойнекоторого угла ϕ, т.к. нет такого фиксированного направления, т.е.неподвижной оси, вокруг которой совершается поворот на угол ϕ.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.8 / 19О мгновенном кинематическом состоянии твёрдого тела• Если в данный момент времени скорости v̄ всех точек тела одинаковы(равны между собой), то говорят, что тело совершает мгновеннопоступательное движение со скоростью v̄ (в этот момент времени ω̄ = 0).В частности, если v̄ = 0, то тело находится в мгновенном покое.Замечание: Речь идёт только о распределении скоростей точек телав данный момент времени.
Ускорения точек не обязаны быть одинаковыми.• Если в данный момент времени точки некоторой прямой в твёрдом телеимеют скорости равные нулю, то говорят, что тело совершает мгновенноевращение вокруг этой прямой (мгновенная ось вращения).Замечание: Речь идёт о распределении скоростей точек некоторой прямой втвёрдом теле и только в данный момент времени. Мгновенная осьвращения, в частности, в разные моменты времени может занимать разныеположения и в движущемся теле и в абсолютном пространстве.• Мгновенное движение твёрдого тела, в самом общем случае, разлагаетсяна два типа простейших мгновенных движений:1. поступательное движение со скоростью, равной скорости какого-то полюса,2.
вращение вокруг оси, проходящей через этот полюс, направленной по ω̄.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.9 / 19Для дальнейшего изложения рассмотрим два разложения радиус-вектора ρ̄:ρ̄ = ρ̄kω + ρ̄⊥ωkиρ̄ = ρ̄kε + ρ̄⊥εkρ̄ω и ρ̄ε – векторы коллинеарные ω̄ и ε̄ (в данный момент времени),⊥ρ̄⊥ω и ρ̄ε – лежат в плоскости перпендикулярной ω̄ и ε̄, соответственно.Вращательное ускорение āε :⊥āε = ε̄ × ρ̄ = ε̄ × (ρ̄kε + ρ̄⊥ε ) = ε̄ × ρ̄εзначит āε представляет собой вектор, полученный при «вращении» Mвокруг вектора ε̄, проведённого из полюса O: āε ⊥ ρ̄⊥ε , āε ⊥ ε̄.Причём модуль: aε = |ε| · |ρ⊥|.εMMr|reOБатяев Е. А.
(НГУ)r||eaee=ww|reOЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.10 / 19Осестремительное ускорение āω :⊥⊥⊥2 ⊥āω = ω̄×(ω̄×ρ̄) = ω̄×(ω̄×(ρ̄kω +ρ̄⊥ω )) = ω̄×(ω̄×ρ̄ω ) = ω̄(ω̄ρ̄ω )−ρ̄ω (ω̄ ω̄) = −ω ρ̄ωИтак имеем:āω = −ω 2 ρ̄⊥ωзначит āω совпадает с нормальным ускорением, которое имела бы точка M ,если бы тело вращалось вокруг мгновенной оси вращения как вокругнеподвижной оси с угловой скоростью ω̄, и направлено āω к мгновенной осивращения, поэтому и называется осестремительным.ìîñ ãíîüâð âåíàù íàÿåíèÿM||Mrwaw rrrw||e=wwwOOБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.11 / 19Следует понимать,что при вращении тела вокруг неподвижной точкив отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси,āε и āω – уже не обязаны быть касательной āτ и нормальной ānсоставляющими ускорения точки M .Потому что āτ и ān – определяются траекторией точки, аāε и āω – определяются расположением полюса O, ω̄ (или мгновеннойосью вращения) и ε̄ для тела.2 ⊥В общем случае движения тела к āε = ε̄ × ρ̄⊥ε и āω = −ω ρ̄ω ещёнеобходимо добавлять полюсное ускорение āO .VIDEO 1Батяев Е. А.
(НГУ)VIDEO 2ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.12 / 19Плоское движение твёрдого телаДвижение твёрдого тела называется – плоское, если расстояние от любойего точки до некоторой неподвижной плоскости сохраняется всё времядвижения — все точки тела перемещаются в плоскостях параллельныхнеподвижной плоскости.VIDEO 1 VIDEO 2Легко понять, что все точки тела, лежащие на прямой l, перпендикулярнойэтой плоскости двигаются одинаково, т.е. данные прямые движутсяпоступательно. Поэтому для определения движения этой прямой достаточнознать движение какой-либо одной её точки. Движение же всего тела будетизвестно, если известно движение любого сечения тела плоскостьюпараллельной неподвижной. Т.о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
