1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 4
Текст из файла (страница 4)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.9 / 17Аксиома независимости действия сил (Закон сложения сил)Аксиома независимости действия силСилы взаимодействия двух материальных точек не могут быть измененывозможными действиями на них других материальных точек, еслиположение и скорости этих точек остаются неизменными.Это значит: если точки Mi одновременно действуют на точку M с силами F̄ i ,то полное ускорение ā точки M складывается из ускорений āi , получаемыхточкой M , при действии каждой силы от точек Mi - по отдельности:Xā =āiУчитывая, что по II Закону Ньютона āi = F̄ i /m, где m - масса точки, имеем:X1 X1ā =āi =F̄ i = F̄m imiPгде обозначено F̄ = F̄ i − равнодействующая сил F̄ i .
Итак получилиЗакон сложения сил (другая формулировка аксиомы независимостидействия сил): ускорение точки, получаемое в результате действиянескольких сил F̄ i равно ускорению сообщаемому точке одной силой F̄ ,являющейся равнодействующей системы действующих сил (векторнойсуммой системы сил F̄ i ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.10 / 17Дифференциальные уравнения движения материальной точкиОсновной закон динамики, устанавливающий зависимость междукинематическими и динамическими характеристиками движения точки,позволяет получить дифференциальные уравнения, которым должныудовлетворять координаты точки.
По содержанию II Закон Ньютона в форм嵶dr̄d2 r̄(t)m= F̄ t, r̄,dt2dtявляется дифференциальным уравнением движения свободной точки ввекторной форме, относительно инерциальной системы отсчёта, т.е.дифференциальным уравнением 2-го порядка на r̄(t).Каждому векторному уравнению соответствует 3 скалярных покомпонентныхв фиксированной системе координат. Для этого необходиморазложитьXX обе∗части векторного уравнения в нужном базисе: ā =ai ēi , F̄ =Fi∗ ēi∗∗(например ортогональном криволинейном базисе), где ai , Fi – физическиекомпоненты ускорения и силы, т.е.
проекции на оси выбранной системыкоординат. Таким образом получим скалярные дифференциальныеуравнения движения материальной точки в инерциальной системе отсчета:ma∗i = Fi∗ ,Батяев Е. А. (НГУ)(i = 1, 2, 3)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.11 / 17Дифференциальные уравнения движения материальной точкиВ декартовых осях:mẍi (t) = Fi (t, x1 , x2 , x3 , ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 )(i = 1, 2, 3)В цилиндрических осях:ma∗r =ma∗ϕ =ma∗z =m(r̈ − rϕ̇2 ) = Fr (t, r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż)m(rϕ̈ + 2ṙϕ̇) = Fϕ (t, r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż)mz̈= Fz (t, r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż)– радиальное– трансверсальное– осевоеВ естественных осях:maτ =man =mab =Батяев Е. А. (НГУ)ms̈= Fτ (t, s, ṡ)mṡ2 /ρ = Fn (t, s, ṡ)0= Fb (t, s, ṡ)ЛЕКЦИЯ 3– касательное– нормальное– бинормальноеНовосибирск, 2017 г.12 / 17Основные задачи динамики точкиПрямая задача – определение силы по заданному движению точки.Обратная задача – определение движения по заданным силам иначальному состоянию.Для решения прямой задачи необходимо знание движения точки вкакой-либо инерциальной системе отсчёта (закон движения).Например, в криволинейных координатах: qα = qα (t) - уравнениядвижения.
Причём считаем (предполагаем), что qα (t) ∈ C 2 , т.е.являются дважды непрерывно-дифференцируемыми функциями.Тогда из дифференциальных уравнений движения (в криволинейныхкоординатах в общем виде):· µ¶¸m d∂ v̄∂ v̄∗˙maα =− v̄ ·= Fα∗ (t, q̄, q̄)v̄ ·hα dt∂ q̇α∂qα3Xопределим силу в любой момент времени, где вектор v̄ =hα q̇α ēα ,α=1и обозначено q̄ = (q1 , q2 , q3 ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.13 / 17Разрешимость обратной задачи динамики точкиДля ответа на вопрос о существовании и единственности решения обратнойзадачи динамики, вначале сформулируем теорему из теории обыкновенныхдифференциальных уравнений (ДУ) о разрешимости начальной задачи длянормальной системы ДУ (первого порядка) – без доказательства: duk (t)dtuk (0)Задача Коши: (начальная задача)= fk (t, u1 , .
. . , un )= u0k ,− нормальная система ДУ(k = 1, . . . , n) − начальные условияТЕОРЕМА: Пусть правые части ДУ из задачи Коши fk (t, u1 , . . . , un )являются непрерывными функциями и обладают непрерывнымипроизводными (непрерывно-дифференцируемые) в некоторой окрестностиначальных значений u0k , тогда на некотором интервале начальных значенийсуществует единственная система функций uk (t), удовлетворяющаяуравнениям системы и начальным условиям (т.е.
решение задачи).Замечание: требование гладкости правых частей ДУ на самом деле можноослабить формулируя их отдельно для t и uk , а именно необходима лишьнепрерывность по t и непрерывная дифференцирумость по uk .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.14 / 17Представим наши дифференциальные уравнения движения в нормальнойформе. Для ускорения точки в криволинейном базисе справедливопредставление:·¸331 d ∂T∂Tv21X ∗ 21X∗aα =−где T ==(vσ ) =(hσ q̇σ )2hα dt ∂ q̇α∂qα22 σ=12 σ=1¯¯¯ ∂r̄ ¯¯ – коэффициенты Ламе – известные функции координат qα .Здесь hσ = ¯¯∂qσ ¯Выполняя дифференцирование получим:33Xd∂h2α∂T1 X ∂h2σ 2∂Td ∂T= h2α q̇α ,= (h2α q̇α ) = h2α q̈α +q̇σ q̇α ,=q̇∂ q̇αdt ∂ q̇αdt∂qσ∂qα2 σ=1 ∂qα σσ=1Поставляя в выражение для ускорения имеем:"#33X∂h2α11 X ∂h2σ 2∗2aα =h q̈α +q̇σ q̇α −q̇hα α∂qσ2 σ=1 ∂qα σσ=1Тогда дифференциальные уравнения движения точки примут вид:"¶ #3 µ∂h2σ1 X∂h2α˙q̇α −q̇σ q̇σ = Fα∗ (t, q̄, q̄)m hα q̈α +22hα σ=1∂qσ∂qαБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.15 / 17Отсюда получим нормальную систему дифференциальных уравнений на qα , q̇α¶3 µ11 X∂h2σ∂h2α˙ −q̇σFα∗ (t, q̄, q̄)q̇−q̇2ασmhα2h2α σ=1∂qσ∂qαdq̇α (t)dt=˙G∗α (t, q̄, q̄)=dqα (t)dt=q̇α (t)← добавим уравнение для нормальности системы ДУДля формулировки начальной задачи добавим ещё начальные условия:qα (0) = qα0 ,q̇α (0) = q̇α0Тогда обращаясь к сформулированной теореме о разрешимости начальнойзадачи для нормальной системы ДУ, получим:ТЕОРЕМА: Если задана масса точки, выражения радиус-вектора точки отобобщённой координат r̄(q1 , q2 , q3 ), т.е. xi (q1 , q2 , q3 ) (i = 1, 2, 3, ) которыеявляются трижды непрерывно-дифференцируемыми функциями,˙ непрерывно-дифференцируемыефизические компоненты силы Fα∗ (t, q̄, q̄)функции координат и скоростей, то существует и единственно решениеуравнений движения точки qα (t), удовлетворяющее заданным начальнымусловиям (в некоторой окрестности начального состояния).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.16 / 17Аналогом данной теоремы в классической механике является,считаемый справедливым,принцип детерминированности Ньютона-ЛапласаДвижение системы материальных точек является вполнедетерминированным: задание начальных положений r̄ 0ν и скоростей v̄ 0νточек единственным образом определяет их дальнейшее движение, т.е.векторные функции r̄ ν (t) (ν = 1, . .
. , N ).Согласно этому принципу состояние механической системы в любойфиксированный момент времени однозначно определяет всё еёбудущее движение (а равно и прошлое).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.17 / 17ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИРАВНОВЕСИЕ ТОЧКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.1 / 18Материальная точка всегда движется в окружении другихматериальных тел, с которыми оно взаимодействует (например,контактируя друг с другом). При этом, конечно, ограничиваютсявозможности движения точки: на положение и скорость точкинакладываются определённые ограничения, которые называютсясвязиСвязи должны выполняться при любых силах, действующих на точку.При наличии связей, материальная точка уже не можетдвигаться как угодно и становится — несвободной.Мы рассмотрим самый простейший вид ограничений наположение точки – неподвижную поверхность.Уравнения движения несвободной точки существенно отличаютсяот уравнений движения свободной точки.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.2 / 18Движение точки по неподвижной поверхностиПусть точка движется по поверхности,описываемой скалярным уравнениемf (r̄) = 0 (или f (x1 , x2 , x3 ) = 0) (такая связьназывается геометрической, и посколькувремя явно не входит в выражение, т.е.неподвижная поверхность, связь называетсястационарной). Найдём какие ограничениявозникают на скорость и ускорение точки.Ñfx3MvOaТак как радиус-вектор точки r̄ = r̄(t)x1должен удовлетворять уравнению связи, т.е.f (r̄(t)) = 0продифференцируем это выражение по t, считая функцию f (r̄)непрерывно-дифференцируемой нужное количество раз:df dr̄dfdf (r̄(t)) == v̄ ·=0dtdr̄ dtdr̄Таким образом получили v̄ ·Батяев Е.
А. (НГУ)f(r)=0rx2dfdf= 0 т.е. v̄ ⊥dr̄dr̄ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.3 / 18dfВектор=dr̄µ∂f ∂f ∂f,,∂x1 ∂x2 ∂x3¶в математическом анализе называют∇f,|∇f |т.е. перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в данной точке.Заметим, что |n̄| = 1 — единичный вектор.градиентом (∇f ). Он направлен по нормали к поверхности: n̄ =Значит полученное условие является ограничением на скорость точки:v̄ ортогонален нормальному вектору к поверхности, а следовательновектор скорости v̄ лежит в касательной плоскости к поверхности.Ещё раз продифференцируем по t:µ¶µ 2¶ddfdv̄ dfd fv̄ ·=·+ v̄· v̄ = ∇f · ā + D2 f = 0dtdr̄dt dr̄dr̄ 2получили ограничение на ускорение точки:∇f · ā + D2 f = 0где за D2 f обозначена однородная квадратичная функция компонентовµ 2¶ Xскоростей:d f∂2fD2 f = v̄·v̄=vα vβ∂xα ∂xβdr̄ 2α,βБатяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
