1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 10
Текст из файла (страница 10)
не совершала бы относительного движения.absolu – абсолютныйrelatif – относительныйentraı̂nement – переносныйБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.8 / 19Кинематические теоремы сложного движения точкиТЕОРЕМА сложения скоростей: Абсолютная скорость точки равнавекторной сумме переносной и относительной скоростей.Доказательство: Т.к. радиус-вектор точки M в абсолютной системекоординат выражается через r̄(t) = r̄ O (t) + ρ̄(t), тогда дифференцируя егопо t, с учётом зависимости между абсолютной и относительнойпроизводными получимedr̄dr̄ Odρ̄dρ̄v̄ a ==+= v̄ O + ω̄ × ρ̄ +dtdtdtdtВектор (v̄ O + ω̄ × ρ̄) есть скорость той точки подвижной системы координат(среды S, двигающейся как твёрдое тело или действительное тело) с которойсовпадает в данный момент времени двигающаяся точка M (по формулераспределения скоростей точек тела), т.е.
является переносной скоростью:v̄ e = v̄ O + ω̄ × ρ̄edρ̄есть относительная скорость v̄ r , выраженная в абсолютнойВекторdtсистеме координат (см. выше). Тогда получаем:v̄ a = v̄ e + v̄ rБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7¥VIDEOНовосибирск, 2017 г.9 / 19ТЕОРЕМА Кориоли́са (сложения ускорений): Абсолютное ускорение точкиравно векторной сумме переносного, относительного и добавочного ускорений.Доказательство: Продифференцируем выражение из теоремы сложения скоростейпо времени, с учётом зависимости между абсолютной и относительнойпроизводными:dv̄ adv̄ edv̄ rāa ==+dtdtdt!ed(v̄ O + ω̄ × ρ̄)dv̄ O dω̄dρ̄dρ̄dv̄ e==+× ρ̄+ ω̄×= āO +ε̄× ρ̄+ ω̄× ω̄ × ρ̄ +=dtdtdtdtdtdt= āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄) + ω̄ × v̄ r˙ - угловое ускорение подвижной системы координат (среды или тела).Здесь ε̄ = ω̄e rdv̄ rdv̄= ω̄ × v̄ r += ω̄ × v̄ r + ārdtdtТаким образом имеем:āa = āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄) + ω̄ × v̄ r + ω̄ × v̄ r + ārВектор (āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)) – есть ускорение той точки подвижной системыкоординат (тела), в которой в данный момент времени находится движущаясяточка M , т.е.
является переносным ускорением āe (теорема Ривальса):āe = āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)Сумма следующих двух одинаковых слагаемых называется ускорение Кориолиса(кориолисовым или добавочным ускорением): āc = 2ω̄ × v̄ r .Итак получили:Батяев Е.
А. (НГУ)āa = āe + ār + ācЛЕКЦИЯ 7¥VIDEOVIDEOНовосибирск, 2017 г.10 / 19Анализируя полученную формулу сложения ускорений в сложном движенииточки можно сказать, что ускорение Кориолиса – связано с изменениемабсолютной скорости из-за:1. влияния переносного движения на относительную скорость (при ω̄ 6= 0,v̄ r поворачивается вокруг абсолютной системы координат за счет вращения);2. влияния относительного движения на переносную скорость (при v̄ r 6= 0положение точки в подвижной системе координат меняется, следовательно,меняется и переносная скорость).Причём влияние 1-го и 2-го факторов на абсолютное ускорение – одинаковое.Замечания: ω̄ k v̄ r1. āc = 0 при v̄ r = 0 − относительный покой ⇒ ār = 0 ⇒ āa = āeω̄ = 0 − поступательное переносное движениеВ этом случае āa = āe + ār - т.е.
сложение ускорений как сложение скоростей.2. При поступательном (ω̄ = ε̄ = 0), прямолинейном и равномерном (āO = 0)движении подвижной системы координат (переносном движении) имеем:āe = āc = 0 тогда āa = ār т.е. абсолютное и относительное ускорения вданном случае – совпадают. Подвижные системы координат, двигающиесяуказанным образом, называются инерциальными системами координат.3.
Все приведённые кинематические теоремы имеют «мгновенный»характер, т.е. для некоторого конкретного момента времени .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.11 / 19Сложное движение твёрдого телаx3h3Th1 C h2x3Ox2В ряде случаев движение твёрдого телатакже удобно представитькак результирующее нескольких,более простых в описании, одновременнопроисходящих составляющих движений.Пустьнекоторое тело T движется относительноSнекоторой неизменяемой среды SOa(т.е. S представляется как твёрдое тело)x2и сама среда S перемещается относительноx1абсолютной, неподвижной системыкоординат Oa x1 x2 x3 .Очевидно, что тело T также будетперемещаться и относительно неподвижной системы координат Oa x1 x2 x3 .rCrO x1Свяжем с телом T и его средою S сопутствующие системы координат:Oξi – с телом T ,Cηi – со средой S.O и C – фиксированные точки (полюсы) тела T и среды S, соответственно.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.12 / 19h3x3Th1 C h2x3OrO x1rCSOax2x2Относительное движение тела –движение тела T по отношениюк среде S, т.е. движение системыкоординат Oξi по отношению к Cηi .Переносное движение тела –движение среды S относительнонеподвижной системы координат: т.е.движение системы Cηi к Oa xiАбсолютное движение тела –движение тела T по отношению кнеподвижной системе координат: т.е.движение системы Oξi к Oa xi .x1Пример. В качестве полезного примера рассмотрим сферическоедвижение тела, т.е. вращение вокруг неподвижной точки и заоднополучим выражения проекций мгновенной угловой скорости твёрдоготела на оси подвижной и неподвижной систем координат через углыЭйлера и их производные.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.13 / 19Рассматриваемое тело участвует в сложном движении,состоящем из трёх одновременных вращений (мгновенных):→1. с угловой скоростью прецессии −̇ϕ вокруг оси Oxx3j1x2j3 x”2→2. с угловой скоростью нутации −̇ϕ 2 вокруг линии узлов ON jj13j2→x’3. с угловой скоростью собственного вращения: −̇ϕ3j3j1 2вокруг оси Oξ3 .O→→→x2Мгновенная угловая скорость тела ω̄ = −̇ϕ 1 + −̇ϕ 2 + −̇ϕ3x1j3 x1j– это сумма угловых скоростей составляющих вращений.1j2 j231x3j2...Представление ω̄ в подвижном базисе Oξi и неподвижном Oxie = (ωξ1 , ωξ2 , ωξ3 ) и ω̄ = (ωx1 , ωx2 , ωx3 ): ω̄ = Aω.eобозначим как: ωNe и ω̄ вДля получения формул Эйлера, т.е.
выражения компонент ωразных базисах введём вспомогательную прямую Ox02 в плоскостиOx1 x2 так, что Ox02 ⊥ ON и прямую Ox002 в плоскости Oξ1 ξ2 такчто Ox002 ⊥ ON . Собственно линии Ox02 и Ox002 - это прямые в которые переходитϕ2ϕ3ϕ1Ox02 −→Ox002 −→Oξ3ось Ox2 при поворотах последовательно: Ox2 −→Кинематические формулы Эйлера8< ω ξ1ω ξ2:ω ξ3===ϕ̇1 sin ϕ2 sin ϕ3 + ϕ̇2 cos ϕ3ϕ̇1 sin ϕ2 cos ϕ3 − ϕ̇2 sin ϕ3ϕ̇1 cos ϕ2 + ϕ̇38< ωx1ωx2:ωx3===ϕ̇2 cos ϕ1 + ϕ̇3 sin ϕ2 sin ϕ1ϕ̇2 sin ϕ1 − ϕ̇3 sin ϕ2 cos ϕ1ϕ̇1 + ϕ̇3 cos ϕ2Они широко применяются при исследовании движения твёрдого тела. VIDEOБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.14 / 19Как мы видели, любые вектора (в том числе и угловую скорость) можноразложить в различных базисах (осях). В дальнейшем, чтобы не путаться,будем обозначать вектора разложенные в неподвижном базисе Oa xi обычно- как c̄, а вектора (те же самые) в подвижной системе координат Cηi как – ec.Связь между одноименными векторами осуществляется через обычнуюматрицу поворота A(t): c̄ = Aec. Тогда в ведённых терминах:e r (в Cηi )Относительной угловой скоростью тела — ω̄ r (в Oa xi ) или ωназывается угловая скорость относительного движения тела, т.е. движениятела T относительно среды S – по отношению к системе Cηi (ω̄ r = Aeω r ).Относительным угловым ускорением тела — ε̄r (в Oa xi ) или eεr (в Cηi )называетсяугловое ускорение относительногодвижения тела!Ãedeωrdω̄ rdeωre, ε̄r = Aeεr = A=.εr =dtdtdtАналогично определяются угловые скорости и ускорения переносного иабсолютного движения:µ¶dω̄ eПереносная угловая скорость (ускорение) тела — ω̄ eε̄e =dt– для движения системы координат Cηi относительно Oa xi .
µ¶dω̄ aАбсолютная угловая скорость (ускорение) тела — ω̄ aε̄a =dt– для движения системы координат Oξi относительно Oa xi .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.15 / 19ТЕОРЕМА сложения угловых скоростей:Абсолютная угловая скорость тела равна векторной сумме переносной иотносительной угловых скоростей тела.ω̄ a = ω̄ e + ω̄ rx3Доказательство:Рассмотрим произвольную точку M тела T .При сложном движении тела эта точка такжесовершает движение.По теореме сложения скоростей для точки M :h3h1 C h2rCTx3rOOx1x2SMrOax2v̄ a = v̄ e + v̄ rx1¾v̄ a − абсолютная скорость M (тела T )заданыотносительно Oa xiv̄ e − переносная скорость M (среды S)компонентамив Oa xiv̄ r − относительная скорость M тела T относительно Cηier – относительная скорость точки M тела TПричём v̄ r = Aev r , где vотносительно Cηi , заданная в Cηi . A – матрица перехода от Cηi к Oa xi .Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.16 / 19v̄ O − скорость полюса Ov̄ a = v̄ O +ω̄ a ×ρ̄OM , ω̄ a − абсолют. угл. скорость T−−→ρ̄OM − радиус-вектор OMv̄ C − скорость точки Cv̄ e = v̄ C +ω̄ e ×ρ̄CM , ω̄ e − перенос. угл. скорость S−−→ρ̄CM − радиус-вектор CMerO − скорость полюса Ove r − относит. угл. скорость Ter = verO +ωe r ×ρeOM , ωv−−→e OM − радиус-вектор OMρ9относительно =заданыOa xiкомпонентами;в Oa x i9относительно =заданыOa xiкомпонентами;в Oa xi9относительно =заданыCηiкомпонентами;в CηiДля последних векторов, заданных в Cηi , очевидны выражения в Oa xi :erO , ω̄ r = Aωe r , ρ̄OM = Aρe OMv̄ rO = AvПосле подстановки приведённых выражений в теорему сложения скоростей получим:erO + ωer × ρe OM )v̄ O + ω̄ a × ρ̄OM = v̄ C + ω̄ e × ρ̄CM + A(veOM , получим после перестановкиУчитывая, что: ρ̄CM = ρ̄CO + ρ̄OM = ρ̄CO + Aρместами слагаемых:erO + ω̄ e × ρ̄OM + A(ωer × ρe OM )v̄ O + ω̄ a × ρ̄OM = v̄ C + ω̄ e × ρ̄CO + AvЗаметим, что (v̄ C + ω̄ e × ρ̄CO ) – переносная скорость точки O тела, т.е.erO = v̄ rO - относительная скорость O (относительно Cηi )v̄ C + ω̄ e × ρ̄CO = v̄ eO , а Avзаданная компонентами в Oxi .
Тогда из теоремы сложения скоростей для O имеемerO = v̄ eO + v̄ rO = v̄ Ov̄ C + ω̄ e × ρ̄CO + AvБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.17 / 19Таким образом теорема сложения скоростей для точки M тела сведётся к видуer × ρeOM )ω̄ a × ρ̄OM = ω̄ e × ρ̄OM + A(ωДалее учтём свойство для ортогональных матриц:Свойство: для любой ортогональной матрицы A и любых векторовe , b̄ = Aee×ee × Aeā = Aab справедливо равенство:A(ab) = Aab = ā × b̄.Объяснение: Т.к. A – матрица поворота, то можно сначала умножить векторыe×ee×ee и Ae(ab) а потом повернуть A(ab) или сначала повернуть каждый (Aab) аe × Aeпотом умножить (Aab) — результативный вектор всегда одинаковый.Тогда для последнего слагаемого имеем:er × ρe OM ) = Aωe r × Aρe OM = ω̄ r × ρ̄OMA(ωПодставляя последнее выражение в формулу сложения скоростей для M имеемω̄ a × ρ̄OM = ω̄ e × ρ̄OM + ω̄ r × ρ̄OM = (ω̄ e + ω̄ r ) × ρ̄OMТ.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
