1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 11
Текст из файла (страница 11)
M – произвольная точка тела, значит вектор ρ̄OM – любой, тогда получим:ω̄ a = ω̄ e + ω̄ r¥Здесь ω̄ a и ω̄ e – относительно неподвижной системы координат Oa xi , а ω̄ r –относительно подвижной системы координат Cηi . Но все вектора покомпонентнозаданы в терминах неподвижной системы координат Oa xi .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.18 / 19ТЕОРЕМА сложения угловых ускорений: Если твёрдое тело совершаетсложное движение, то в каждый момент времени его абсолютное угловоеускорение равно векторной сумме переносного, относительного идобавочного угловых ускорений.Доказательство: Продифференцируем по времени формулу из теоремысложения угловых скоростей тела, учитывая относительно каких системкоординат заданы, входящие в неё угловые скорости:ε̄a =dω̄ adω̄ edω̄ rdeω̄ r=+= ε̄e ++ ω̄ e × ω̄ r = ε̄e + ε̄r + ε̄cdtdtdtdtИтакε̄a = ε̄e + ε̄r + ε̄cгде ε̄c = ω̄ e × ω̄ r – добавочное ускорение.¥Замечание: Видно, что переносная и относительная угловые скорости входятнесимметрично в добавочное ускорение, поэтому важно какое вращениесчитать за переносное, а какое за относительное.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 8ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯ ТОЧКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.1 / 14Законы механики Ньютона, как уже говорилось, справедливы нев любой, а только в инерциальной системе отсчёта. Такаясистема характеризуется тем свойством, что относительно неёвсякая свободная изолированная точка движется прямолинейно иравномерно, т.е. по инерции. (I Закон Ньютона)В результате действия силы (для неизолированной точки)ускорение, приобретаемое свободной точкой, пропорциональносиле и направлено в ту же сторону (II Закон Ньютона).Однако, в ряде случаев представляет интерес движение точкиотносительно системы отсчёта, не являющейся инерциальной,т.е.
которая может как угодно перемещаться по отношению кинерциальной системе отсчёта.Такое движение называют – относительное.Важно поэтому установить основной закон, управляющийотносительным движением точки. Это позволит рассматриватьширокий класс задач и, в частности, оценить ту ошибку, которуюдопускают пренебрегая неинерциальностью системы.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.2 / 14Рассмотрим материальную точку M массой m, находящуюся под действиемсилы F̄ (t, r̄, v̄). Свяжем с некоторым телом сопутствующую системукоординат Oξ1 ξ2 ξ3 , которая перемещается относительно инерциальнойсистемы координат Oa x1 x2 x3 произвольным заданным образом.Уравнение (векторное) движения точки M в абсолютной неподвижнойсистеме координат Oa xi по II Закону Ньютона:md2 r̄= F̄ (t, r̄, v̄)dt2d2 r̄Заменим 2 = āa = āe + ār + ācdtпо теореме Кориолиса:Oax3Ox2x1rOx2x1где вектора J̄ e , J̄ c имеют вид:J̄ e = −māe = −m(āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)) −Батяев Е.
А. (НГУ)Mrmār = F̄ (t, r̄, v̄) + J̄ e + J̄ cJ̄ c = −māc = −m 2 ω̄ × v̄ rFx3−переносная силаинерциикориолисова сила инерцииЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.3 / 14Согласно кинематическим формулам Эйлера угловая скорость ω̄ выражаетсячерез углы Эйлера, являющиеся функциями t, значит ω̄ = ω̄(t). Отсюда˙ – также функция времени: ε̄ = ε̄(t). Т.е. силыугловое ускорение: ε̄ = ω̄edρ̄инерции являются функциями переменных: t, ρ̄ и v̄ r =:dtÃ!edρ̄J̄ e = J̄ e (t, ρ̄), J̄ c = J̄ c t,dtСила F̄ (t, r̄, v̄) определяет, как и говорилось, величину механическоговзаимодействия материальной точки с другими материальными телами.И зависит, фактически, не от абсолютного положения (r̄) и абсолютнойскорости (v̄), а от взаимного относительного расположения и ототносительной скорости взаимодействующих тел (скоростей точекотносительно друг друга).
По этой причине силу F̄ можно представить как:F̄ (t, r̄, v̄) = F̄ (t, r̄ − r̄ ∗ , v̄ − v̄ ∗ )где r̄ ∗ и v̄ ∗ абсолютные радиус-вектор и скорость той точки M∗ с которойвзаимодействует точка M .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.4 / 14Для любых двух точек справедливы следующие соотношения:¾r̄ 1 = r̄ O + ρ̄1=⇒ r̄ 2 − r̄ 1 = ρ̄2 − ρ̄1r̄ 2 = r̄ O + ρ̄2e dρ̄1 v̄ 1 = v̄ e1 + v̄ r1 = v̄ O + ω̄ × ρ̄1 +eedρ̄dρ̄dt2⇒ v̄ 2 −v̄ 1 =− 1 = v̄ r2 −v̄ r1dtdte dρ̄v̄ 2 = v̄ e2 + v̄ r2 = v̄ O + ω̄ × ρ̄2 + 2 dtпотому чтосилы, зависящие от скорости, это силы контактного взаимодействия(вязкого трения, сопротивления). Поэтому для этих сил ρ̄2 = ρ̄1 , а значитпереносное вращение ω̄ × (ρ̄2 − ρ̄1 ) = 0.
Отсюда:F̄ (t, r̄, v̄) = F̄ (t, r̄ − r̄ ∗ , v̄ − v̄ ∗ ) = F̄ (t, ρ̄ − ρ̄∗ , v̄ r − v̄ r∗ ) = F̄ (t, ρ̄, v̄ r )Учитывая, что относительное ускорение ār равно второй относительнойde2 ρ̄производной от радиус-вектора: ār = 2 , а также зависимость сил инерцииdtот переменных, получим:!Ã!Ãeedρ̄de2 ρ̄dρ̄+ J̄ e (t, ρ̄) + J̄ c t,m 2 = F̄ t, ρ̄,dtdtdtБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.5 / 14Основной закон динамики относительного движения точкиВ сопутствующей системе координат Oξα , учитывая введённые ранееобозначенияρ̄ = Aeρ,edρ̄deρ=A ,dtdtede2 ρ̄d2 ρ=A 2,2dtdte,F̄ = AFe e,J̄ e = AJecJ̄ c = AJe, Je e, Je c – вектора, заданные покоординатно в сопутствующих осяхe, Fгде ρ(A – матрица перехода от Oξα к Oxi ), получим:Основной закон динамикиотносительного движения точкиed2 ρem 2 =Fdtµdeρe,t, ρdt¶¶µdeρeee) + J c t,+ J e (t, ρdtОбратим внимание, что он записан в неинерциальной системе координат OξαА выражение в рамке, приведённое выше, является аналогичной формойосновного закона относительного движения точки, но записанногопокомпонентно в инерциальной системе координат Oa xi .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.6 / 14Сравнивая его со II Законом Ньютон൶d2 r̄(t)dr̄m= F̄ t, r̄,dt2dtможно сделать вывод, что уравнение относительного движения можносоставить так же, как и уравнения абсолютного движения, если кдействительным силам прибавить переносную и кориолисову силыинерции. Т.е. J̄ e и J̄ c являются указанными поправками длянеинерциальной системы координат.Эти векторы были названы силами, благодаря их силовой размерности(масса·ускорение) и непосредственной возможности измерять ихдинамометром. На самом деле их нельзя отождествлять с реальнымидействительными силами, потому что действительные силы – всегдасилы взаимодействия материальных тел, а силы инерции этимсвойством не обладают.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.7 / 14Принцип относительности ГалилеяРассмотрим частный случай, когда подвижная система координат Oξαдвижется поступательно, прямолинейно и равномерно. Тогда легко видеть,что āO = ε̄ = ω̄ = 0 и матрица поворота A = const. Значитe e = −mee c = −2mee+ωe × (ωe ×ρe)) = 0,er = 0,Jae = −m(eaO + eε×ρJω×vосновной закон динамики относительного движения точки принимает вид:µ¶ed2 ρdeρee,m 2 = F t, ρdtdtтакой же как и уравнение абсолютного движения (II Закон Ньютона).Т.е. при данном движении среды, относительное движение будет происходитьпо тем же законам, что и абсолютное. Следовательно любая подвижнаясистема координат, двигающаяся указанным способом, также будетинерциальной. Значит инерциальных систем отсчёта оказываетсябесчисленное множество и справедлив уже известный намПринцип Галилея: Всякая система отсчёта, движущаяся поступательно,прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы —также будет инерциальной.Во всех инерциальных системах отсчёта динамические уравнения движенияимеют одинаковый вид, и, значит, все такие системы – равноправны.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.8 / 14Относительное равновесие точкиЧастным видом относительного движения является относительный покой приe ≡ const. Условие его даётся вкотором ρТЕОРЕМА: Для относительного равновесия точки необходимо и достаточно,чтобы точка первоначально покоилась и равнялась нулю равнодействующаяобычных (действительных) сил и переносной силы инерции.Доказательство: Необходимость. Если точка находится в относительном покое:eerdρdve c = −2mωe ≡ const, тогда: ver (t) =er =e ×ver = 0 иρ= 0, a= 0, Jdtdteeуравнения относительного движения дают: F + J e = 0.e +Je e = 0 тогда изer (0) = 0 и FДостаточность.
Если точка вначале покоилась v2ed ρe ×ver . Умножаязакона относительного движения точки следует: m 2 = −2mωdt2eedρd ρer =er получим: ver · 2 = 0. Учитывая, что vотсюдавыражение скалярно на vdtdt2eerd ρ1 ddver · 2 = ver )2 = 0, следовательно (ver )2 ≡ const, а в силуer ·имеем: v=(vdtdt2 dter (t) ≡ 0.начальных условий получаем v¥e +Jee = 0FБатяев Е. А. (НГУ)− уравнения относительного равновесия точкиЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.9 / 14Равновесие точки в окрестности ЗемлиРассмотрим равновесие точки подвешеннойна нити вблизи поверхности Земли.Условие относительного равновесия будетGRMaḠ + P̄ = 0JeW FOгде Ḡ – реакция нити,PP̄ – та сила, которая уравновешивает Ḡ.j yСилу P̄ пружинный динамометр регистрируетýêâàòîðOкак силу тяжести, таким образомнаименование её тяжестью – вполне оправдано.Ω̄ = const – угловая скорость вращения Земли.Направление веса P̄ даёт направление «вертикали» в данной точки земнойповерхности.
Эта вертикаль, вообще говоря, не обязана совпадать снаправлением земного радиуса, если учитывать вращение Земли.Угол ϕ между радиусом и плоскостью экватора называют геоцентрическойширотой места. Угол ψ между вертикалью и плоскостью экватораназывают географической широтой. Из рисунка видно ψ = ϕ + α, где α –угол отклонения радиуса от вертикали.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.10 / 14Появление отклонения и сама величина силы тяжести P̄ являетсяравнодействующей двух сил:1) так называемой гравитационной силы F̄ O , направленной кцентру O Земли и вблизи поверхности Земли численно равнойmḡ 0 = F̄ O(ḡ 0 - ускорение свободного падения, g0 = 9.81 м/с2 );2) переносной силы инерции−−→−−→J̄ e = −m(āO + ε̄ × OM + Ω̄ × (Ω̄ × OM )) = mΩ2 R̄где R̄ – радиус-вектор вращения вокруг земной оси, R = ρ cos ϕ, (ρ –радиус Земли).
Из-за направления силы инерции J̄ e от оси вращения(в данном случае), она называется центробежной силой инерции.Таким образомP̄ = F̄ O + J̄ eБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.11 / 14sin αsin(π − ψ),=JeFOОценим α. Из теоремы синусов:sin(π−ψ) = sin ψ = sin(ϕ+α) ⇒Ω2 ρcos ϕ(sin ϕ + cos ϕ tg α)g0µ 2¶,µ¶Ω2 ρ cos ϕ sin ϕΩ ρΩ2 ρ2=tg α =sin2ϕ1−cosϕg0 − Ω2 ρ cos2 ϕ2g0g0⇒⇒sin αsin ϕ cos α + cos ϕ sin α=2m Ω ρ cos ϕmg0tg α =Конкретные значения: ρ = 6370 км = 6.37 · 106 м,µ¶12π11−5Ω = 7.29 · 10≈≈=Следовательносекунд24 ч4ч14400 сΩ2 ρ1≈≈ 0.0034 ∼ ε — очень малая величина (по сравнению с 1).g0289Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.12 / 14Учитывая ограниченность тригонометрических функций| sin | 6 1, | cos | 6 1 после обозначенийΩ2 ρΩ2 ρsin 2ϕ, ε2 =cos2 ϕ2g0g0– каждая из которых очень малая величина, имеем:ε1 =tg α =ε1Ω2 ρ= ε1 (1 + ε2 + ε22 + ε32 + . .
.) ≈ ε1 =sin 2ϕ1 − ε22g0(использовали бином Ньютона или, что то же самое, разложение в рядМаклорена – ряд Тейлора в окрестности нуля). Отсюдаtg α ≈ 0.0017 sin 2ϕ – очень малая величина.Учитывая, что в окрестности нуля α ≈ tg α, окончательно получаем:αmin = 0 при ϕ = 0, π/2αmax ≈ 0.0017 ≈ 0◦ 60 − 0◦ 70на широте ϕ = 45◦ — Харбин (КНР)Итак, наибольшее отклонение вертикали от радиуса Земли в среднихширотах и совсем отсутствует на экваторе и полюсах.Видно, что это отклонение невелико, поэтому часто им пренебрегают.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.13 / 14Зависимость веса от широты местаВычислим теперь величину силы веса P̄ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
