1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 3
Текст из файла (страница 3)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.14 / 18Естественные компоненты скорости иускорения точки. Простейшие типы движенийv = |vτ |a=pa2τ + a2nïîêàñàòåëüíîéЕсли v ≡ const - движение называется равномерное⇒aτ = v̇τ = s̈ = 0vЕсли vτ – положительно, тогда M двигаетсяâ ñòîðîíóâîãíóòîñòè_в положительном направлении отсчёта дуг OM .dv>0 dtdvЕсли v(t) - убывает - движение замедленное<0dt8 2dv>>ṡ, s̈ − одного знака (ускоренное)>< dt > 0 :dv 2222v = vτ = ṡ ⇒= 2ṡs̈ ⇒>dt2>>: dv < 0 : ṡ, s̈ − разных знаков (замедленное)dtЕсли an = 0, но v 6= 0 – движение прямолинейное (ρ = ∞)Если v(t) - возрастает - движение ускоренноеЕсли an 6= 0 – движение криволинейное,Батяев Е.
А. (НГУ)при ρ ≡ const – движение круговоеЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.15 / 18Связь между координатным и естественнымспособами описания движенияПусть движение точки задано координатным способом, т.е. известныдекартовы координаты точки как функции времени:x = x(t),y = y(t),z = z(t)Перейти к естественному способу задания движения означает найти по этимуравнениям траекторию точки и закон её движения по траектории.Данные уравнения являются параметрическими уравнениями траектории.Явные уравнения траектории получаются исключением времени t.Для определения уравнения движения по траектории рассмотрим выражениеэлемента дуги линии в декартовых координатах:pds = dx2 + dy 2 + dz 2Выражая дифференциалы координат: dx = ẋ dt, dy = ẏ dt, dz = ż dtпосле подстановки и интегрирования по времени получимZ ps(t) =ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt+s0(s0 −из начальных условий)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.16 / 18Определение естественных компонент скоростии ускорения через декартовы координатыdr̄= (ẋ, ẏ, ż) = vτ τ̄dtПолагаем, что vτ > 0, т.е. движение точки происходит по увеличению s.ppdsdx2 + dy 2 + dz 2v̄vτ ===⇒vτ = v = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2τ̄ =dtdtv2d r̄ā = 2 = (ẍ, ÿ, z̈) = aτ τ̄ + an n̄dtdvτv̄ẋẍ + ẏ ÿ + ż z̈=⇒aτ == ā · τ̄ = ā · = pdtvẋ2 + ẏ 2 + ż 2v̄ =a=илиpa2τ + a2npБатяев Е.
А. (НГУ)an =a2 − a2τpẍ2 + ÿ 2 + z̈ 2|ā × v̄|ā × τ̄ = aτ τ̄ × τ̄ + an n̄ × τ̄ = −an b̄ =⇒ an = |ā × τ̄ | =vp2222(ÿ ż − z̈ ẏ) + (z̈ ẋ − ẍż) + (ẍẏ − ÿ ẋ)vpan =ρ=222anẋ + ẏ + ż=⇒ЛЕКЦИЯ 2где a =Новосибирск, 2017 г.17 / 18Пример: Круговое движениеtvaRatbs = Rϕ ⇒ ṡ = Rϕ̇ ⇒ s̈ = Rϕ̈M⇒ v̄ = Rϕ̇τ̄ ,sanj +_Oāτ = Rϕ̈τ̄ ,ān = Rϕ̇2 n̄ω = ϕ̇ – угловая скорость,ε = ϕ̈ – угловое ускорение⇒ v̄ = Rω τ̄ ,a=Rān = Rω 2 n̄āτ = Rετ̄ ,pε2 + ω 4tg ∠(ā, ān ) =aτ|ε|= 2anωПри равномерном круговом движении:ϕ̈ = ε = 0 (aτ = 0)⇒Батяев Е.
А. (НГУ)⇔tg ∠(ā, ān ) = 0ЛЕКЦИЯ 2ϕ̇ = ω ≡ const⇒β=0Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3ДИНАМИКА ТОЧКИЗАКОНЫ НЬЮТОНАЗАДАЧИ ДИНАМИКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.1 / 17До сих пор мы рассматривали точку и её движение с геометрическойточки зрения, не касаясь специфики её как частицы материи, т.е. какматериальной точки. Теперь мы займёмся исследованием причин,вызывающих движение точки и факторов, влияющих на движение.Свободная материальная точка – точка, которая можетзанимать в пространстве произвольное положение и двигаться влюбом направлении с какой угодно скоростью.Иначе точка называется – несвободная,а условия, стесняющие её движение, называются – связи.Законы механики сформулированы для свободных тел(свободных материальных точек)Изолированная материальная точка – точка, которая невзаимодействует с другими материальными телами.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.2 / 17СилаПутём наблюдений и опытов было установлено, что:движение тела определяется его взаимодействием с другими телами, т.е.причиной движения тела и изменения его движения является взаимодействие.В механике принимается, что такоевзаимодействие тел определяется векторной величиной F̄ , называемой силой.Сила – является мерой механического взаимодействия тел,Fт.е.
F̄ обладает величиной (модулем) |F̄ | и направлением.M1 кг · 1 мЕдиница силы: 1 Ньютон =1 сек2F̄ = F̄ (t, r̄, v̄)Экспериментально установлено, что в общем случае:т.е. вектор силы является вектор-функцией времени t, координат(радиус-вектора) r̄ и скорости v̄ точки M к которой сила приложена.При этом имеется в виду положение (радиус-вектор) r̄ и скорость v̄ точки –по отношению к другим телам, с которыми оно находится во взаимодействии.Например от t зависят силы вибрации (F = a sin ωt), от r̄ – силы гравитации(F̄ = −αrr̄), сила упругости (F̄ = cr̄), от v̄ – силы трения, сопротивлениядвижению (F̄ = −αvv̄).От ускорения ā точки M сила F̄ в классической механике не зависит.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.3 / 17Различают силы контактного взаимодействия (непосредственногосоприкосновения, давление прижатых тел, трение) и силы дальнодействия(гравитационные, электромагнитные).Измерять силу можно статически – уравновешивая её известной силой (спомощью динамометра), и динамически на основе законов механики.Как действуют эти силы, т.е.
к чему, каким последствиям приводят,отвечают аксиомы, постулаты, законы механики. Но гораздо важнее знать,что происходит с телом, когда на него не действует никаких сил, т.е. когдаоно изолированно. Логично предположить, что в этом случае тело покоится.Но ранее мы убедились, что понятие покоя и движения – относительны.Т.е. всё зависит с каким телом мы свяжем систему отсчёта. Естественнопоэтому отдать предпочтение тем из них, где закономерности движенияимеют наиболее простой вид.
Такими системами являются так называемыеИнерциальные (галилеевы) системы отсчёта— системы отсчета, в которых всякая свободная изолированная точка(не подверженная действию сил), движется равномерно и прямолинейно−−−→(v̄(t) ≡ const) или покоится, как частный случай движения (v̄(t) ≡ 0̄)Именно для таких систем сформулировал основные законы механики И.Ньютон.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.4 / 17Все фактически рассматриваемые системы отсчёта являютсяинерциальными лишь с определённой точностью. Установлено, чтогелиоцентрическая система отсчёта (начало в центре масс Солнца,координатные оси фиксируются по удалённым звёздам) – инерциальнас огромной степенью точности.
Однако для многих явленийинерциальной можно считать систему, связанную с Землей(геоцентрическая). Всё зависит от скорости исследуемого явления илипроцесса, продолжительности, размеров или габаритов тел-участникови т.д. – всё относительно.Законы классическоймеханики сформулировалИсаак Ньютон (1643-1727)и опубликовал в 1686 г.в трактате«Математические началанатуральной философии».Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.5 / 17I Закон Ньютона (закон инерции)Всякая свободная материальная точка находится в состоянии покоя илиравномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно невынуждается приложенными силами изменить это состояние.1 утверждение: постулирование существования инерциальной системы отсчёта2 утверждение: естественным состоянием точки (в отсутствии сил) являетсяПокой или равномерное прямолинейное движениеНикакой разницы между ними не делается.
Отсюда, логическиследует вывод: если какая-то система инерциальная (а такиесуществуют по первому утверждению), а другая системаотносительно неё покоится либо поступательно (т.е. без вращения),равномерно и прямолинейно движется – то она тоже инерциальна,поскольку относительно неё точка, не подверженная действию сил,также будет покоится либо равномерно и прямолинейно двигаться.Такие системы эквивалентны: Принцип относительности Галилея.3 утверждение: только силы (как причины) могут вывести точку из естественногосостояния.
Только сила может сообщить материальной точкеускорение, т.е. изменить её равномерное прямолинейное движениеили вывести из покоя. Именно в этом смысле мы говорим осуществовании силы, приложенной к материальной точке.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.6 / 17Масса«Способность» материальных тел «сохранять» свою скорость (направление ивеличину) при отсутствии сил называют – инерция.Наблюдение и опыт показывают, что все материальные тела обладают«врождённым» (внутренним) свойством, из-за которого тело «с трудом» (несразу, а постепенно, т.е.
когда это можно увидеть или зафиксировать) выводитсяиз состояния покоя или изменяет свое движение.«Способность» материальной точки «сопротивляться» «видимому» изменениюеё скорости называют – инертность.У каждого материального тела существует какая-то внутренняя характеристикакоторая приводит к различным «откликам» (т.е. изменениям движения) —для различных тел — при одинаковом силовом воздействии.Количественная мера инертности материальной точки, пропорциональнаяколичеству вещества, заключённого в точке, называется – масса (m, кг)Материальная точка – геометрическая точка, обладающая инертностью,и, следовательно, с динамической стороны характеризуется своей массой.Масса – скалярная, существенно положительная величина, обладающая свойствомаддитивности: массы материальных точек складываются.Масса материальной точки – постоянная величина, не зависящая от обстоятельствдвижения (если скорость ¿ скорости cвета ≈ 299 792 458 м/с)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.7 / 17II Закон Ньютона (основной закон динамики)Произведение массы точки на её ускорение равно силе, действующей на точкуmā = F̄Т.к. m > 0, то вектор ускорения ā всегда направлен так же как и вектор силы F̄ т.е.Faускорение ā и сила F̄ направлены в одну сторону.MАльтернативная математическая запись основного закона динамики: ā = F̄ /mВ подобном виде сформулировал основной закон динамики И.Ньютон:ускорение ā приобретаемое свободной материальной точкой в результате действиясилы F̄ , направлено в ту же сторону что и сила, и пропорционально этой силе.Коэффициентом пропорциональности между получаемым ускорением идействующей силой является мера инертности точки – масса m. Значит чембольше масса m, тем меньше по величине (по модулю) получаемое ускорение ā.F̄ , m – динамические величины, ā – кинематическая величина.dv̄= ā = 0, значит v̄ ≡ const – т.е.
получили законПри F̄ = 0 имеем ā = 0, т.е.dtинерции. Но хоть I Закон Ньютона и получен здесь как следствие из II ЗаконаНьютона (при частном случае силы), важность его не утрачивается, поскольку самII Закон Ньютона изначально справедлив только в инерциальной системе отсчета(существование которых как раз и постулируется в I Законе Ньютона).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.8 / 17III Закон Ньютона (закон равенства действия ипротиводействия)Две материальные точки действуют друг на другас силами равными по величине ипротивоположно направленными вдоль прямой, соединяющей точкиДействию всегда есть равное и противоположное противодействиеAFAFB BF̄ A – сила на A со стороны B,F̄ B – сила на B со стороны A.Взаимодействие 2-х тел определяется закономF̄ A = −F̄ Bматематическая запись III Закона Ньютона.Замечание 1: Если одна материальная точка действует на другую, то ивторая точка тоже действует на первую.Замечание 2: Классическая механика рассматривает взаимодействиематериальных точек только по III Закону Ньютона.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
