1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 22
Текст из файла (страница 22)
он целиком определяетсятолько парой сил (их плоскостью и величиной) и расстоянием между ними.Момент пары свободный вектор (его можно переносить и «прикладывать» клюбой точке тела и он полностью определяет действие пары на тело).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.3 / 21Воздействие на тело силы и пары силПусть на покоившееся тело (v̄ C = 0, ω̄ = 0 при t = 0) действует сила F̄ ,приложенная в центре масс. Тогда M̄C (F̄ ) = 0.
Динамические уравнениядвижения тела:dv̄ CdL̄CrM= F̄ ,=0dtdte Cr = JC ωe ≡ const = JC ωe |t=0 = 0, т.е.Второе уравнение равносильно: Le ≡ 0 (как мы доказывали ранее при равновесии тела). Следовательно,ωпод действием силы, приложенной в центре масс, первоначальнопокоившееся тело начнёт двигаться поступательно вместе с центром масс.Пусть на покоившееся тело (v̄ C = 0, ω̄ = 0 при t = 0) действует пара сил смоментом M̄C , т.е.
главный вектор такой системы сил равен нулю F̄ = 0 иуравнения движения тела:dv̄ CdL̄Cr= 0,= M̄CMdtdtИз первого получаем v̄ C ≡ const = v̄ C |t=0 = 0. Значитпод действием пары сил, первоначально покоившееся тело может тольконачать вращаться вокруг неподвижного центра масс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.4 / 21В общем случае при F̄ 6= 0, M̄C =6 0 тело начнёт поступательнодвигаться вместе с центром масс и вращаться вокруг центра масс.С учётом введённого понятия пары сил и критерия эквивалентностисистем сил, приложенных к твёрдому телу,задача приведения сил,т.е. замена одной системы сил эквивалентной ей и наиболее простой,решается при помощиТЕОРЕМА Пуансо.
Произвольная система сил, приложенных ктвёрдому телу, эквивалентна системе, состоящей из• одной силы, приложенной в какой-либо точке O тела (центреприведения) и равной главному вектору F̄ данной системы сил, и• одной пары сил, момент которой равен главному моменту M̄O всехсил относительно точки O (центра приведения).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.5 / 21О разных видах трения телаРассмотрим относительное движение тела по поверхности другого.Примем, что тела ограничены поверхностями с непрерывноизменяющейся касательной плоскостью.Реальные тела вообще шероховаты.И обладают способностью деформироваться.Поэтому при соприкосновении двух тел“êóñòèê” они деформируются и касаются друг друга не(ïó÷îê)в одной точке, а вдоль некоторой поверхности,ïÿòíî êîíòàêòà ðåàêöèéобычно малой.
При относительном движенииэти деформации изменяются и вызываютколебания молекул, т.е. служат источником теплоты и возможнодругих эффектов. На всё это тратится энергия движения тела, поэтомувсе эти явления воспринимаются как сопротивление движению.Эти сложные явления становятся доступными для количественногоописания в рамках модели абсолютно твёрдого тела (недеформируемого)благодаря теореме Пуансо о приведении сил и законам Кулона.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.6 / 21Rwnwnwn n t OvOGOРеакция на одно из движущихся тел со стороныдругого представляет собой систему сил,распределённых по области касания тел.Согласно теореме Пуансо данная совокупностьсил приводится к одной силе R̄ равной главномувектору реакций и одной паре сил с моментом ḠO ,относительно одной из точек контакта O,равному главному моменту реакций.
В дальнейшемдеформацией тел пренебрегают, но считают, чтореакция на тело со стороны другого сводится к силеR̄ и к паре сил с моментом ḠO относительно O.Примем точку O за полюс, тогда движение тела в каждый момент времениможно представить как совокупность поступательного движения соскоростью v̄ O (относительно другого тела) и мгновенного вращения сугловой скоростью ω̄ вокруг точки O. Разложим вектор ω̄ на две проекциисоставляющие:ω̄ = ω̄ n + ω̄ νω̄ n – перпендикулярен касательной плоскости (вдоль нормали n̄ = ω̄ n /ωn ),ω̄ ν – принадлежит касательной плоскости (вектор ν̄ = ω̄ ν /ων ).Вектор ω̄ n называют – угловой скоростью верчения (вокруг n̄),а вектор ω̄ ν – угловой скоростью качения (вокруг ν̄).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.7 / 21Векторы реакции R̄ и ḠO удобно разложить в видепо типу оказываемого сопротивления движению:N RnwwnQGnwn n tGOvO GnR̄ = N̄ + Q̄,ḠO = Ḡn + ḠνN̄ – нормальная реакция – вдоль n̄,Q̄ – сила трения скольжения – вдоль τ̄ =v̄ O.vOКаждому из моментов Ḡν , Ḡn можносопоставить пары сил с такими моментамидля Ḡν (коллинеарно ω̄ ν ) – пара трения качения,для Ḡn (коллинеарно ω̄ n ) – пара трения верчения.Законы Кулона для тела при движенииQ̄ = −kN τ̄Ḡν = −δ ν N ν̄Ḡn = −δ n N n̄т.е. сила трения пропорциональна нормальному давлению и направлена противскольжения; моменты пар трения качения и верчения пропорциональнынормальному давлению и направлены противоположно качению и верчению.Коэффициенты пропорциональности k, δ ν, δ n определяются экспериментальнои характеризуют материалы из которых изготовлены тела, степень обработкиповерхностей и т.д.Коэффициент k – безразмерный, δ ν , δ n – имеют размерность длины (плечи)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.8 / 21Если рассматриваемое тело находится в равновесии на поверхности другоготела (или отсутствует соответствующая компонента вектора ω̄ = ω̄ n + ω̄ ν )законы Кулона принимают вид0 6 Q 6 k1 N,0 6 Gν 6 δ1ν N,0 6 Gn 6 δ1n Nт.е. сила трения и моменты пар трения качения и верчения могутизменяться от нуля до некоторых предельных значений.Значения коэффициентов k1 , δ1ν , δ1n в этих предельных величинах несколькобольше аналогичных значений при движении.Векторы Q̄ и Ḡν при равновесии, в зависимости от приложенных сил, могутпринимать любое направление в касательной плоскости. Для решения задачстатики их направление обычно выбирают в сторону противоположную«возможному» движению точки тела, если бы сил трения не было.Отметим, что вообще влияние пар трения качения и верчения мало посравнению с влиянием сил нормальной реакции и трения скольжения(коэффициенты трения верчения и качения обычно малы по сравнению скоэффициентом трения скольжения), поэтому в ряде прикладных задачпарами трения пренебрегают.
Их учитывают если нет скольжения.Сравнительная малость трения качения по сравнению с трением скольженияобъясняет применение в технике подшипников качения.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.9 / 21Вращение тела вокруг неподвижной осиРассмотрим движение твердого тела, имеющего неподвижные точки O и O1 ,через которые проходит неподвижная ось вращения, а эти точки являютсяопорным и осевым подшипниками. Тело движется под действием заданнойсистемы сил, имеющих главный вектор сил F̄ и главный момент M̄O .Пусть R̄ и Q̄ – реакции связей в точках Oи O1 , соответственно. Пусть система координатOxα является неподвижной, у которойось Ox3 направлена вдоль оси вращения.С телом жестко свяжем сопутствующуюсистему координат Oξα , у которой ось Oξ3 такженаправлена вдоль оси вращения (Oξ3 = Ox3 ).Очевидно, что при вращательном движениивокруг неподвижной оси координаты центрамасс не являются произвольными.
Параметры,которые полностью определяют его положение:• расстояние OC = const,• единственный ненулевой угол поворота тела ϕвокруг оси Ox3 , образуемый осями Ox1 и Oξ3 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15x3 x3QO1RO C jx2x2x1jx1Новосибирск, 2017 г.10 / 21Чтобы получить уравнения, описывающие движение твердого тела(несвободного) воспользуемся динамическими уравнениями движения тела:dv̄ C= F̄ + R̄ + Q̄,− теоремой о движении центра масс телаMdtdL̄O= M̄O +r̄ O1 ×Q̄dt−теоремой об изменении кинетического моментатела относительно неподвижной точки OВ последнее уравнение не вошел момент реакции R̄, т.к.
он равен нулю.Как уже говорилось – в этих теоремах участвуют абсолютные производныепо времени, связанные с относительными производными формулой:µ¶edc̄dc̄decdecdece ×e=+ ω̄ × c̄ = A + Aeω × Aec = A + A(eω×ec) = A+ωcdtdtdtdtdtКроме того компоненты любых векторов в неподвижной, инерциальнойсистеме координат Oxα , связаны с компонентами этих же векторов всопутствующей, подвижной, системе координат Oξ3 известной формулой:c̄ = AecБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.11 / 21Проектируя уравнения на оси подвижной системы координат Oξα , получимуравнения (т.е. записанные покомпоненто в осях Oξα ):devCe +Re +Qee ×veC = FM+ MωdteOdLeO = MfO +ree ×Le O1 × Q+ωdtОбозначим силовые вектора в сопутствующей системе координат Oξα в виде:F1R1Q1MO1e = F2 , Re = R2 , Qe = Q2 , Mf O = MO F2F3R3Q3MO3Ясно, что вектор угловой скорости при вращении тела вокруг неподвижнойоси направлен всегда вдоль оси вращения Oξ3 = Ox3 , тогда в разложении поe = (ω1 , ω2 , ω3 ) отличной от нуля будет толькосопутствующим осям Oξα : ωпоследняя компонента, определяемая производной по времени от углаповорота ϕ:ω1 = ω2 = 0,ω3 = ϕ̇Аналогичный вид можно получить строго математически из кинематическихуравнений Эйлера, выражающих соответствующие компоненты вектораугловой скорости через углы Эйлера и их производные, полагая углыпрецессии (ϕ1 ) и нутации (ϕ2 ) равными нулю (постоянными), а уголсобственного вращения (ϕ3 ) равным углу поворота тела ϕ.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.12 / 21Тогда кинетический момент тела относительно точки O в сопутствующихдекартовых осях Oξα имеет вид OOOLO1J1O −J12−J130−J13ϕ̇OO Oe O = JO ωe ⇔ LO2 = −J120 = −J23J2O −J23ϕ̇ LOOOLO3ϕ̇−J13 −J23J3J3O ϕ̇°° ī°ee LO = °−→ ω×° 0° LO1Обозначая0e O1 = 0 rh−→Батяев Е.
А. (НГУ)j̄0LO2k̄ϕ̇LO3° O 2°−LO2 ϕ̇J23 ϕ̇j̄(LO1 ϕ̇)−°O 2°=ϕ̇= LO1 ϕ̇ = −J13°−ī(LO2 ϕ̇)°00°° ī°eeO1 × Q = °r° 0° Q1j̄0Q2ЛЕКЦИЯ 15k̄hQ3°°−hQ2j̄(hQ1 )−°°== hQ1 °−ī(hQ2 )°0Новосибирск, 2017 г.13 / 21Учтём, что для центра масс тела, как для конкретной точки твёрдого тела,справедлива формула распределения скоростей (в сопутствующих осях):eC = ωe ×reCvОбозначая C C °° īξ1v1°CCeC = ξ2 −→ veC = v2 = °r° 0C° ξξ3Cv3C1j̄0ξ2Ck̄ϕ̇ξ3C° C °−ξ2 ϕ̇j̄(ξ1C ϕ̇)−°°= ξ1C ϕ̇ =°−ī(ξ2C ϕ̇)°0Тогда°° ī°e ×veC = °ω° 0C° v1Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
