1611690425-4c27b5159bdb87055f4a4f61b66ebbfe (826904), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Причём S̄Ранее, для центральной силы, мы установили интеграл площадей: r̄ × v̄ = c̄,˙значит вектор c̄ имеет смысл – удвоенной секторной скорости: c̄ = r̄ × v̄ = 2S̄x3M’(t+Dt)DSr’DrM(t)DqrSqx2r0M0(t0)Кроме того, для центрального поля сил, секторная скорость перпендикулярнаплоскости движения точки, и постоянная (по направлению и модулю).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.5 / 20II Закон КеплераУчитывая смысл секторной скорости (изменение заметаемой площадирадиус-вектором в единицу времени), дающий геометрическуюинтерпретацию и название интеграл площадей, можно сформулироватьII Закон КеплераВсе планеты описывают вокруг Солнца плоские орбиты (траектории),следуя закону площадей (постоянство секторной скорости).Закон Кеплера формулировался для силы всемирного тяготения, нооказывается он справедлив и в общем случае центральной силы.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.6 / 20Интеграл площадей (скалярный)В дальнейшем будем работать в цилиндрической системе координат. Точнеев полярной, при z = const. Примем эту плоскость движения точки за z = 0(для определённости). Вектор скорости в цилиндрической системекоординат (r, ϕ, z) имеет вид:v̄ = (vr , vϕ , vz ) т.е. v̄ = vr ēr + vϕ ēϕ + vz ēzezzгде: vr = ṙ, vϕ = rϕ̇, vz = ż = 0аналогично: r̄ = rēr , т.е. r̄ = (r, 0, 0)ejOēr ēϕ ēzyj r00 = ēz (r2 ϕ̇)r̄ × v̄ = det rxM erṙ rϕ̇ 0îðáèòàиз интеграла площадей:r̄ × v̄ = c̄ = cēzотсюда получим:r2 ϕ̇ = c илиr2 ϕ̇ = 2Ṡ где c = 2Ṡ = const.Это выражение тоже называется – интеграл (закон) площадей (скалярный)Постоянная c определяется по начальным данным: c = r02 ϕ̇0 .Легко получить иной вид интеграла площадей: r2 ϕ̇ = r(rϕ̇) = rvϕ = cПостоянная c также определяется по начальным данным: c = r0 vϕ0 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.7 / 20Формулы Бине́Учтём, что центральная сила в цилиндрической системе координат имеет вид:r̄F̄ = F (t, r̄) = F (t, r̄)ēr т.е. F̄ = (Fr , Fϕ ) = (F (t, r̄), 0)rДифференциальные уравнения движения точки в центральном силовом полев полярной системе координат, имеют вид:½mar = m(r̈ − rϕ̇2 ) = Fr = F (t, r̄)maϕ = m(rϕ̈ + 2ṙϕ̇) = Fϕ =01 d ¡ 2 ¢Из второго уравнения имеем: rϕ̈ + 2ṙϕ̇ =r ϕ̇ = 0. Отсюда, послеr dtинтегрирования по t, получим уже знакомый интеграл площадей: r2 ϕ̇ = cПреобразуем первое уравнение с помощью замены переменных, положив:r = r(ϕ(t)) вместо r = r(t). При этом ϕ = ϕ(t) как обычно. Воспользуемсяинтегралом площадей для следующих преобразований:drdr dϕdrc drd(1/r)ṙ ===ϕ̇ = 2= −cdtdϕ dtdϕr dϕdϕµ¶ddṙd(1/r)d2 (1/r)c2 d2 (1/r)=r̈ =−c= −cϕ̇ = − 22dtdtdϕdϕr dϕ2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.8 / 20Тогда первое уравнение принимает форму:µ 2 2¶µ¶c d (1/r)c2mc2 d2 (1/r) 1m(r̈ − rϕ̇2 ) = m − 2−r=−+= F (t, r̄)r dϕ2r4r2dϕ2rmc2Выражение F (t, r̄) = − 2rµd2 (1/r) 1+dϕ2r¶— формула Бине для силы.В дальнейшем с помощью этой формулы мы определим форму орбиты.Для квадрата скорости в центральном силовом поле: v 2 = ṙ2 + (rϕ̇)2 послеподстановки формул преобразования от замены переменных имеем:"µµ¶2 ³¶2 µ ¶2 #´2d(1/r)cd(1/r)1v 2 = c2+ r 2 = c2+dϕrdϕr"µ22Выражение v = cБатяев Е.
А. (НГУ)d(1/r)dϕ¶2µ ¶2 #1+− формула Бине для скоростиrЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.9 / 20Интегралы уравнений движения для закона всемирного тяготенияДля дальнейших исследований мы воспользуемся конкретным выражениемдля F (t, r̄), а именно будем считать, что сила имеет вид:Закон всемирного тяготенияДва тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведениюих масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:M m r̄F̄ (r̄) = −γ 2r rMm– не зависит от времени t, а толькоr2от расстояния r между телами (не от вектора r̄).Н · м2Здесь γ = 6, 67 · 10−11– гравитационная постоянная (коэффициенткг2тяготения, пропорциональности).
Определена экспериментально (Г.Кэвендиш).Таким образом F (t, r̄) = F (r) = −γM – масса одной планеты (Солнце, Земля), m – масса другой планеты(Земли, спутника).Ньютон получил это выражение опираясь на законы Кеплера (послеэффекта падения яблока?), а мы сделаем наоборот.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.10 / 20mr̄r3где µ = M · γ – постоянная Гаусса (для Солнца или для Земли) (µ > 0).Будем использовать иное выражение силы: F̄ = −µЗначит в наших обозначениях для центрального силового поля:r̄m r̄mF̄ = F = −µ 2 имеем F = −µ 2 и направлена сила F̄ кrr rrпритягивающему центру, имеющему массу M и являющемуся началомсистемы координат.
Таким образом, векторное дифференциальное уравнениедвижения имеет вид:dv̄m r̄m= −µ 2dtr rdr̄Умножая скалярно его на скорость v̄ =получим:dtdv̄µ dr̄1 dv̄ · v̄µ 1 dr̄ · r̄1 dv 2µ 1 dr2v̄= − 3 r̄⇒=− 3⇒=− 3dtr dt2 dtr 2 dt2 dtr 2 dtВыражение в правой части равенства преобразуется к виду:¯1 dx1 dr2 ¯¯dx−1/2d 1= − 3/2− 3=¯==2r dtdtdtdtr2x2r =xТаким образом имеем:Батяев Е. А. (НГУ)d µ1 dv 2=. После интегрирования по t получим:2 dtdt rЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.11 / 20Интеграл энергииv2 −2µ= h — интеграл энергии,rгде h = const - определяется по начальным данным: h = v02 −Представив интеграл энергии в форме v 2 = h +2µ.r02µлегко получитьrСвойство 1.при удалении точки M от центра O (r - возрастает) → скорость v - убывает;при приближении M к центру O (r - убывает) → скорость v - возрастает.Свойство 2.
если h > 0, то M может уйти от центра O на сколь угоднобольшое расстояние. Если же h < 0, то, как видно из формулы, расстояние r2µ, т.е. в этом случае движениемежду M и O не может превзойти величину|h|Mµ происходит в ограниченной части пространства.¶2µ2µ2µ= v2 > 0 ⇒> −h = |h| ⇒ r 6h+rr|h|Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.12 / 20Интеграл ЛапласаПолучим ещё один (третий) первый интеграл уравнения движения.dv̄m r̄= −µ 2векторноУмножим дифференциальное уравнение движения mdtr rслева на c̄ = r̄ × v̄:³ µ ´µdv̄c̄ ×= (r̄ × v̄) × − 3 r̄ = − 3 (r̄ × v̄) × r̄dtrrdv̄dПоскольку c̄ = const, тогда c̄ ×= (c̄ × v̄)dtdt(r̄ × v̄) × r̄ = −r̄ × (r̄ × v̄) = −r̄(r̄ · v̄) + v̄(r̄ · r̄)Т.к. r̄ = rēr , а v̄ = ṙēr + rϕ̇ēϕ , значит r̄ · v̄ = rēr · (ṙēr + rϕ̇ēϕ ) = rṙ(ēr ⊥ ēϕ ),rr̄˙ − r̄ ṙd r̄отсюда (r̄ × v̄) × r̄ = v̄ · r2 − r̄rṙ = r(rr̄˙ − r̄ ṙ) = r3= r32rdtrµ¶dd r̄dr̄Окончательно имеем: (c̄ × v̄) = −µ⇒c̄ × v̄ + µ=0dtdt rdtrr̄Интегрируя по t получим: c̄ × v̄ + µ = −f̄ — интеграл Лапласа.rПостоянный вектор f̄ – вектор Лапласа.
«−» взят для удобства работы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.13 / 20Вектор ЛапласаИнтеграл Лапласа не является ещё одним независимым интегралом. Онвыражается через предыдущие интегралы площадей и энергии.Умножая скалярно интеграл Лапласа на векторную константу площадей c̄получимc̄ · f̄ = 0Т.е. вектор Лапласа ортогонален векторной константе площадей c̄ и,следовательно, лежит в плоскости орбиты.Модуль вектора Лапласа можно выразить через гауссову постоянную µ ипостоянные c и h интегралов площадей и энергии. В самом деле, возводяинтеграл Лапласа в квадрат и учитывая ортогональность c̄ и v̄ получим:f 2 = (c̄× v̄)2 +µ2µ ¶2µ¶µ2µ2µr̄+2 (c̄× v̄)·r̄ = c2 ·v 2 +µ2 − c2 = µ2 +c2 v 2 −rrrrВ итоге:f 2 = µ2 + c2 · h(использовали: (c̄ × v̄) · r̄ = c̄ · (v̄ × r̄) = −c̄ · (r̄ × v̄) = −c̄ · c̄ = −c2 )Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.14 / 20Формы орбитУстановим форму орбиты, т.е. получим уравнение орбиты.Из интеграла Лапласа при c̄ = 0 следует,rчто орбита точки будет прямолинейной: r̄ = − f̄µЕсли c̄ 6= 0, тогда умножая скалярно на r̄ интеграл Лапласа получим:µr̄ · (c̄ × v̄) + r̄ · r̄ = −f̄ · r̄−c2 + µr = −f r cos ν⇒rгде ν – угол между радиус-вектором r̄ и вектором Лапласа f̄rназывается – истинная аномалия.On f2cтогда из последнего выражения получим:µpуравнение орбиты — r = 1 + e cos νПолученное соотношение представляет собой уравнениеOконического сечения, фокус которого находится в т.
O на оси ,p – параметр (фокальный), e – эксцентриситет орбиты.Орбита т. M относительно O будет: эллипс (e < 1),парабола (e = 1), гипербола (e > 1). При e = 0 - орбита окружность.Обозначим e =f,µMБатяев Е. А. (НГУ)p=ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.15 / 20Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.16 / 20I Закон КеплераИтак мы получили:I Закон КеплераВсе планеты движутся по эллипсам,в одном из фокусов которых находится Солнцехотя, как видно из уравнения, орбитами могут быть и другие кривые.Из уравнения орбиты легко установить направление вектора Лапласа. Если r̄и f̄ направлены в одну сторону, тогда ν = 0, значит cos ν = 1, этот случайpсоответствует rmin =, т.е. точке орбиты, ближайшей к фокусу.1+eMВ случае орбиты в виде эллипса такая точкаnорбиты называется – перицентр (точка π)rp(если фокус Земля - перигей (Гея, греч.)aO fесли фокус Солнце - перигелий (Гелиос, греч.).Наиболее удалённая точка орбиты от фокуса называется– апоцентр (точка α) (Солнце - апогелий (афелий), Земля - апогей).Т.о.
фактически – истинная аномалия ν является полярным углом ϕ: ϕ = ν(конечно без учёта поворота орбиты относительно полярной оси)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.17 / 20Зависимость характера орбиты от величины начальной скоростиПусть орбита M – не прямолинейна, т.е. c̄ 6= 0.
Если задано начальноерасстояние r0 точки M от точки O, то характер орбиты M вполнеопределяется величиной её начальной скорости v0 .Выражение эксцентриситета:spfµ2 + c2 hc2e= == 1+h 2µµµrµ¶2µ2µ2⇒ v0 = h +. Тогда если орбита:А константа энергии h = v0 −r0r0эллипс:e<1⇒h<0⇒v0 <p2µ/r0p2µ/r0эллиптическиескорости−параболическиескоростиОна является наименьшей скоростью, которую необходимо сообщить точкеM на расстоянии r0 , чтобы она удалилось на сколь угодно большоерасстояние от т. O.pгиперболическиегипербола: e > 1 ⇒ h > 0 ⇒ v0 > 2µ/r0 −скоростипарабола: e = 1Батяев Е.
А. (НГУ)⇒h=0⇒v0 =ЛЕКЦИЯ 16−Новосибирск, 2017 г.18 / 20I-я и II-я космические скоростиI-я космическая скорость vI – это круговая скорость у поверхностиЗемли. Пусть m - масса спутника, M - масса Земли, g - ускорениесвободного падения у Земли. По II Закону Ньютона на нормаль:rpvI2vI2MmµTm = mg или m = γ 2 . Отсюда: vI = gR =RRRRгде µT = γM - постоянная Гаусса Земли.При g = 9.81 м/с2 , R = 6371 км. vI ≈ 7.91 км/сII-я космическая скорость vII– параболическая скоростьу поверхности Земли:p√vII = 2µT /R = 2 · vI ≈ 11.2 км/сБатяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
