1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Дифференцирование свертки. Пусть F, G ∈ D0 (Rn ) и F ∗ G существует, тогда для любого мультииндекса α существуют свертки Dα (G ∗ F ),Dα G ∗ F и G ∗ Dα F , причемDα (D ∗ G) = Dα F ∗ G = F ∗ Dα G.(4.4.5)80ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИДоказательство. Пусть ϕ ∈ D(Rn ). Ввиду свойства 2) достаточно установить одно из равенств, имеем(Dα (F ∗ G), ϕ) = (−1)|α| (F ∗ G, Dα ϕ) = (−1)|α| (F (y), (G(x), Dα ϕ(x + y))) == (F (y), (Dα G(x), ϕ(x + y))) = (F ∗ Dα , ϕ).4). Отсутствие ассоциативности. Свертка в D0 (Rn ) не ассоциативна.Доказательство. Нужно предъявить обобщенные функции F1 , F2 , F3 ∈ D0 (Rn ),для которых(F1 ∗ F2 ) ∗ F3 6= F1 ∗ (F2 ∗ F3 ).Возьмем F1 = 1, F2 = δ 0 и F3 = H, тогда0 = 0∗H = 10 ∗H = (10 ∗δ)∗H = (1∗δ 0 )∗H 6= 1∗(δ 0 ∗H) = 1∗(δ∗H 0 ) = 1∗δ = 1.Стоит отметить, что в D0 (Rn ) существуют подмножества, на которыхсвертка ассоциативна, подробнее о таких обобщенных функциях можно посмотреть в книге [3, глава 2, §7, пункт 7], или других изданиях этой книги.4.5Фундаментальное решение дифференциального оператора4.5.1.
Пусть G ⊆ Rn . Под дифференциальным оператором в G мы будемпонимать выражениеXL(D) =bα D α ,0≤|α|≤kгде bα ∈ C ∞ (G) и Dα — символ производной порядка α. Попытаемся понять, как решают уравнения в пространстве обобщенных функций: как искать X ∈ D0 (G) такую, чтоL(D)X = F, где F ∈ D0 (G).(4.5.1)Начнем с "простых" правых частей F.Определение 41. Обобщенная функция E ∈ D0 (Rn ) называется фундаментальным решением, или функцией влияния оператора L(D) в Rn , еслиона является решением уравненияL(D)X = δ.Фундаментальное решение не единственно, оно находится с точностью дообобщенной функции E0 ∈ D0 (Rn ) такой, что L(D)E0 = 0 :L(D)(E + E0 ) = L(D)E + L(D)E0 = δ + 0 = δ.4.5.
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ81Фундаментальное решение дифференциального оператора с постояннымикоэффициентами (bα = const) существует. Приведем без доказательства точную формулировку этого утверждения, известного как теорема Мальгранжа — Эренпрейса [7, cтр.62].Теорема 31. Для любого не нулевого дифференциального оператора L(D) спостоянными коэффициентами фундаментальное решение E существуетв D0 (Rn ).Пример 16. Покажем, что две обобщенные функции E1 и E2 :e−|x|.2E1 = −Hshx, E2 =являются фундаментальными решениями для оператора 1 −являются решениями уравненияd2dx2в R, т.е.X − X 00 = δ.Действительно,E1 − E100 = −Hshx + (Hshx)00(4.3.9)=(4.3.10)=−Hshx + (H 0 shx + Hchx)0 =−Hshx + (shxδ + Hchx)0(4.3.10)=−Hshx + H 0 chx + Hshx(4.3.5)=(4.3.9)=−Hshx + (Hchx)0 =δ.Также имеемE2 − E200 =e−|x|−2e−|x|200(4.3.11)=0e−|x|e−|x|=+ sgn x22(4.3.11)=e−|x|e−|x|−+ δ.22Первое решение E1 было найдено при помощи следующей теоремы о нахождении фундаментального решения обыкновенного дифференциальногооператора.Pkdj∞(R) и a0 (0) = 1,Теорема 32.
Пусть L(D) = j=0 ak−j (x) dxj , где aj ∈ Cтогда фундаментальное решение E оператора L(D) задается равенствомE = f (x)H(x),где H — функция Хевисайда (2.5.1), а f — решение задачи Коши L(D)f = 0,f (0) = f 0 (0) = . . . = f (k−2) (0) = 0, (k−1)f(0) = 1.82ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИДоказательство теоремы 32. Вычислим все необходимые производные дляEE0= (Hf )0 = H 0 f + f 0 H = f δ + f 0 H = f (0)δ + f 0 H = f 0 H,00E= (f 0 H)0 = f 0 (0)δ + f 00 H = f 00 H,......
...,E (k) = (f (k−1) H)0 = f (k−1) (0)δ + f k H = δ + f k H.Отсюда получаемkkXXdj Eak−j (x)f (j) H + a0 (x)δ =L(D)E =ak−j (x) j =dxj=0j=0= HL(D)f + a0 (0)δ = H · 0 + δ = δ.4.5.2. Фундаментальное решение оператора Лапласа.Для важных в математической физике дифференциальных операторовнайдены фундаментальные решения. Здесь мы обсудим фундаментальноерешение оператора Лапласа4=nX∂2.∂x2kk=12dДля n = 1 фундаментальное решение E оператора 4 = dx2 находится спомощью теоремы 32: E = xH(x).
Для n = 2 фундаментальное решение E∂2∂2оператора 4 = ∂x2 + ∂y 2 непосредственным вычислением (проведенным на1семинарских занятиях) получается равным 4πln(x2 + y 2 ). Покажем теперь,что для n = 3 фундаментальное решение задается формулой1E=− p.(4.5.2)24π x + y 2 + z 2Заметим, что в области x2 + y 2 + z 2 6= 0 функция E — гармоническая, т.е.4E = 0. Для любой ϕ ∈ D(R3 ) имеем 2 2 2∂ E∂ E∂ E,ϕ+,ϕ+,ϕ=(4E, ϕ) =∂x2∂y 2∂z 2∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ(4.3.8)= (−1)2 E, 2 + (−1)2 E, 2 + (−1)2 E, 2 =∂x∂y∂zZZ= (E, 4ϕ) = E4ϕ dx dy dz =E4ϕ dx dy dz =R3x2 +y 2 +z 2 ≤R2ZE4ϕ − 4E ϕ dx dy dz =|{z}= limε→0+ε2 ≤x2 +y 2 +z 2 ≤R2Z= lim E 4Eε→0+ε2 ≤x2 +y 2 +z 2 ≤R2=0ϕ4ϕ dx dy dz.4.5.
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ83Применим теперь следующую формулу Грина. Для любой ограниченнойобласти V ⊂ Rn с кусочно-гладкой границей S = ∂V и любых гладких взамыкании V функций E и ϕ справедливо равенствоZ Z E Eϕ ϕ ∂E ∂ϕ(4.5.3)dV= dS, 4E 4ϕ VS∂n∂nгде∂ϕ∂n= (∇ϕ, n) — производная по внешней нормали n к поверхности S.В нашем случае поверхность S состоит из двух сферSε = {x2 + y 2 + z 2 = ε2 } и SR = {x2 + y 2 + z 2 = R2 }.Радиус R таков, что пробная функция ϕ зануляется на SR , поэтому зануляется и интеграл в правой части формулы Грина (4.5.3). На поверхности Sεнормаль n противоположна по направлению к радиус-вектору, поэтому∂E∂1−11∂E=−=−=−.=−2∂n∂r∂r 4πr4πr4πε2В итоге получаемZ E 4Eε2 ≤x2 +y 2 +z 2 ≤R2Z Eϕ ∂Edxdydz=4ϕSε∂nZϕ dS+∂ϕ Eϕ ∂E ∂ϕSR| ∂n {z ∂n∂n=0 dS =}Z∂E11 ∂ϕ1∂ϕ−ϕdS =+ ϕ 2 dS ==E∂n∂n4π r=ε ε ∂rεr=ε1 ∂ϕ1∂ϕT.?? 1=(ξ) + ϕ(ξ) 2 4πε2 = ϕ(ξ) + ε (ξ).4π ε ∂rε∂rZВ последних равенствах мы использовали теорему о среднем, по которойнайдется ξ ∈ Sε , удовлетворяющая написанным равенствам.
Переходя к пределу при ε → 0+, получаем искомое равенство(∆E, ϕ) = ϕ(0) = (δ, ϕ).Приведем для полноты картины таблицу фундаментальных решенийнекоторых из основных дифференциальных операторов математической физики. Вывод этих решений можно найти в монографии [3].Дифференциальный операторФундаментальное решение−n+2En (x) = −Γ( n2 − 1) kxk, n≥34π n/2Оператор Лапласа 42Оператор теплопроводностиВолновой оператор a =∂2∂2t∂∂t− a2 42−a 4En (x, t) =kxkH(t)√e− 4a2 t(2a πt)nE1 (x, t) =E2 (x, t) =12a H(at, n≥1− |x|),H(at−kxk)√2πaa2 t2 −kxk284ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ4.5.3. Как решают обобщенные дифференциальные уравнения.Для нахождения частных обобщенных решений дифференциального уравнения (4.5.1) с постоянными коэффициентами полезно следующее утверждение.Теорема 33. Пусть L(D) — дифференциальный оператор в Rn с постоянными коэффициентами, и E — его фундаментальное решение.
Тогда, еслисвертка E ∗ F существует в D0 (Rn )., то она является решением уравнения (4.5.1).Доказательство теоремы 33. Непосредственно вычисляя, получаемXL(D)X = L(D)(E ∗ F ) =bα Dα (E ∗ F ) =0≤|α|≤k=Xbα Dα E ∗ F = δ ∗ F = F.0≤|α|≤kЗачастую частные решения ищутся не во всем пространстве обобщенныхфункций, а на каком-нибудь его подпространстве. Одним из них являетсяпространство Соболева.Определение 42. Пространством Соболева Wpl (G), G ⊆ Rn , p ∈ [1, +∞)называется множество обобщенных функций F ∈ D0 (G), у которых обобщенные производные Dα F для всех 0 ≤ |α| ≤ l являются регулярными распределениями, порожденными функциями fα , интегрируемыми в p-ой степени, т.е.Z|fα (x)|p < ∞.GПростейшая характеризация таких функций дается теоремой вложенияСоболева.Теорема 34.
Пусть G ⊆ Rn — выпуклая область и lp > n, тогда для любой F ∈ Wlp (G) найдется непрерывная функция f такая, что для любойпробной функции ϕ ∈ D(G)Z(F, ϕ) =f (x)ϕ(x)dx.GВо многих случаях обобщенные решения дифференциального уравнениясовпадают с его классическими решениями. Рассмотрим пример.Пример 17. Покажем, что решением в D0 (R) дифференциального уравненияF0 = 0(4.5.4)4.6.
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА85являются только регулярные обобщенные функции, порожденные константой (т.е. являются классическим решением).RВозьмем ϕ0 ∈ D(R) такую, что R ϕ0 (x) dx = 1, и положим c = (F, ϕ0 ).Тогда для любой ϕ ∈ D(R) имеемZ(F − c, ϕ) = (F, ϕ) − (c, ϕ) = (F, ϕ) − c ϕ(x) dx =RZ(4.5.4)= (F, ϕ) − (F, ϕ0 ϕ(x) dx) = (F, φ) = (F, ψ 0 ) = −(F 0 , ψ) = 0,RгдеZφ(x) = ϕ(x) − ϕ0 (x)ϕ(y) dy ∈ D(R)RиZxψ(x) =φ(y) dy−∞— также пробная функция.
Действительно, она бесконечно дифференцируема. Предположим, что supp φ ⊆ [−R, R] для некоторого R > 0. Тогданетрудно проверить, что для любого x ≤ −R будет ψ(x) = 0, и для любогоx≥RZZZxψ(x) =Rφ(y) dy =−∞φ(y) dy =−Rφ(y) dy = 0.RТаким образом, мы показали, что F = c.Ле4.6 Преобразование Фурье обобщенных функ- кциций медленного ростая4.6.1. Наводящие соображения. Пусть f ∈ S(Rn ), тогда, используя равен- 13ство Парсеваля для преобразования Фурье (2.8.1), для любого ϕ ∈ D(Rn )имеемZZ(2.8.1)(2.8.3)f (x)F± [ϕ](x)dx =(F± [f ], ϕ) =F± [f ](x)ϕ(x)dx =nnRZR=f (x)F± [ϕ](x)dx = (f, F± [ϕ]).RnИз этих соображений уместно было бы определить преобразование Фурье от произвольной обобщенной функции следующим образом(F± [G], ϕ) = (G, F± [ϕ])для любых ϕ ∈ D(Rn ) и G ∈ D0 (Rn ).
Однако, такое определение не совсемкорректно, поскольку необходимо, чтобы пробная функция F± [ϕ] лежала вобласти определения обобщенной функции G, т.е. в D(Rn ). Такое возможнотолько(!), если ϕ ≡ 0.86ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИТакое определение станет корректным, если мы расширим множествопробных функций до пространства быстроубывающих функций D(Rn ) ⊂ S(Rn ).Итак, на новом пространстве основных функций S(Rn ) определим сходимость по аналогии со сходимостью в D(Rn ).Определение 43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
