1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть f1 (t) и f2 (t) — оригиналы с показателями роста α(f1 )и α(f2 ) соответственно, тогда их свертка (f1 ∗ f2 )(t) — тоже оригиналс показателем ростаα(f1 ∗ f2 ) ≤ max{α(f1 ), α(f2 )}иL[(f1 ∗ f2 )(t)](p) = L[f1 (t)](p)L[f2 (t)](p).(3.6.2)Доказательство теоремы 26. Для вещественного α > max{α(f1 ), α(f2 )} имеемZ +∞Z +∞ Z t|(f1 ∗ f2 )(t)|e−αt dt ≤|f1 (s)||f2 (t − s)| ds e−αt dt =000Z +∞ Z +∞=|f1 (s)|e−αs |f2 (t − s)|H(t − s)e−α(t−s) ds dt =00Z +∞Z +∞T.??−αs−α(t−s)=|f1 (s)|e|f2 (t − s)|H(t − s)edt ds =0t−s=u0Z+∞|f1 (s)|e=0−αsZds+∞|f2 (u)|e−αu du < ∞.0Таким образом, свертка есть оригинал.
Формула (3.6.2) доказывается аналогично предыдущим рассуждениям: без модулей с заменой α на p.66ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСАСледствие 5. Если f1 (t) непрерывный при t ≥ 0 оригинал, а f2 (t) непрерывно дифференцируем, тоdL(f1 ∗ f2 )(t) (p) = pL[f1 (t)](p)L[f2 (t)](p),(3.6.3)dtЭта формула называется формулой Дюамеля.Доказательство следствия 5.d(3.4.1)(f1 ∗ f2 )(t) (p) = pL[(f1 ∗ f2 )(t)](p) − (f1 ∗ f2 )(0) =Ldt(3.6.2)=3.7pL[f1 (t)](p)L[f2 (t)](p).Применение преобразования Лапласа к решению начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравненийРассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения спостоянными коэффициентами:a0 y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + .
. . + an−1 y 0 (t) + an y(t) = f (t)0y(0) = c0 , y (0) = c1 , . . . , y(n−1)(3.7.1)(0) = cn−1 , ak , ck ∈ C.Предположим, что правая часть f и решение y(t) со всеми его производными являются оригиналами. Применим к этому уравнению преобразованиеЛапласа. Используя обозначения Y (p) : y(t) и F (p) : f (t), а также формулу (3.4.3), получаем(a0 pn + a1 pn−1 + . .
. + an )Y (p) − c0 (a0 pn−1 + a1 pn−2 + . . . + an−1 )−− c1 (a0 pn−2 + a1 pn−3 + . . . + an−2 ) − . . . − cn−2 (a0 p + a1 ) − cn−1 a0 = F (p).ОткудаY (p) =F (p) + c0 (a0 pn−1 + a1 pn−2 + . . . + an−1 ) + . . . + cn−1 a0.a0 pn + a1 pn−1 + . . . + anПрименяя обратное преобразование Лапласа, например, по теореме 21,находим решение y(t). Таким образом, применение преобразования Лапласа сводит дифференциальное уравнение к алгебраическому, решая которое, находим и решение задачи Коши. Аналогичный метод применим и крешению задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Также можно решать интегральныеи интегро-дифференциальные уравнения, если входящие интегралы имеют вид свертки. Рассмотрим пример интегрального уравнения из теорииэлектрических цепей.3.7. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА67Пример 7. Рассмотрим простейший RC-контур, состоящий из сопротивления R и конденсатора ёмкости c. К контуру подводится напряжением E(t).Электрический ток I(t) в контуре будет удовлетворять уравнениюZ1 tRI(t) +I(s) ds = E(t).c 0Предположим, что напряжение подводится постоянным E(t) = E.
Определим какой будетток I(t). Обозначим L[I(t)] = I и применим преобразование Лапласа к этому уравнению. Применяя теорему Бореля и знаяизображение 1, находим1RL[I(t)](p) + L [(I ∗ 1)(t)] (p) = EL[1](p),cRI +EI= .cppОткудаI=EE −t1E1 (3.2.3)cR=L[1]p+=Le(p).1R p + cRRcRRСледовательно,I(t) =т.е. ток будет постепенно затухать.E −te cR ,R68ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСАГлава 4Обобщенные функцииСущность теории распределений состоит в том, что, отказываясь отзнания функции на множествах лебеговой меры нуль, мы получаем возможность определить широкий класс обобщенных функций, включая различные δ-функции и их производныеР. Рихтмайер4.1Основные и обобщенные функции4.1.1.
Пробные функции. На протяжении этой главы G ⊆ Rn , n ≥ 1 —это открытое множество.Определение 30. Функция ϕ : G → C называется основной, или пробной,в G, если она финитна в G, т.е. если она бесконечно дифференцируема иимеет компактный носитель в G.Определение 31. Пусть ϕn , ϕ – пробные функции в G. Говорят, что ϕnсходится к ϕ в пространстве основных функций, если1) существует компакт K ⊂ G, содержащий носители функций ϕ и ϕn , n ∈N,2) для любого мультииндекса αGDα ϕ(x) ⇒ Dα ϕ(x)при n → ∞.
Множество основных функций с такой сходимостью обозначают как D(G), при этом сходимость обозначают какD(G)ϕn (x) −→ ϕ(x).Пример 8. Пусть ϕn (x) = ωn,1 (x). Ясно, что для каждого n ∈ N функция ϕn (x) финитна и supp ϕ = [n − 1, n + 1]. Легко проверить, что для каждого x ∈ R при n → ∞ϕn (x) → 0,6970ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИноD(G)ϕn (x) 6−→ 0.4.1.2. Обобщенные функции.Определение 32. Отображение F : D(G) → C называется обобщенной функцией, или распределением, если1) F — линейное отображение, т.е.
для любых α, β ∈ C и ϕ, ψ ∈ D(G)F (αϕ + βψ) = αF (ϕ) + βF (ψ);2) F — непрерывное отображение, т.е.D(G)ϕn (x) −→ ϕ(x) ⇒ F (ϕn ) → F (ϕ).Множество всех обобщенных функций обозначают через D0 (G). Кратко,обобщенные функции можно называть линейными непрерывными функционалами на D(G).Рассмотрим несколько примеров обобщенных функций.Пример 9.
Пусть f : G → C — локально (абсолютно) интегрируемая функция. Это значит, что дляRлюбой точки x ∈ G существует открытая окрестность Ux в G такая, что Ux |f (x)|dx < ∞. Множество таких функций обозначают как L1,loc (G). C помощью функции f определим обобщенную функцию Ff (обозначаемую часто той же буквой f ), действующую по правилуZf (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(G).Ff (ϕ) := f (ϕ) := (f, ϕ) :=(4.1.1)GПокажем, что это, действительно, обобщенная функция. Сначала нужно убедиться, что интеграл в (4.1.1) сходится для каждой ϕ ∈ D(G).
Дляэтого достаточно доказать, что всякая локально интегрируемая функцияабсолютно интегрируема на любом компакте K ⊂ G. ПосколькуK⊂G=[Ux ⇒ K ⊂x∈Gm[Uxk ,k=1тогдаZ|f (x)|dx ≤Km ZXk=1|f (x)|dx < ∞.UxkВзяв теперь произвольную ϕ ∈ D(G), получимZ ZZ f (x)ϕ(x)dx ≤|f(x)||ϕ(x)|dx≤max|ϕ(x)|Gsupp ϕsupp ϕ|f (x)|dx < ∞.4.1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ71Линейность функционала Ff следует из линейности интеграла. ОсталосьD(G)проверить непрерывность. Пусть ϕn (x) → ϕ(x), и K — компакт, содержащий носители этих функций.
ТогдаZ|(f, ϕn ) − (f, ϕ)| = |(f, ϕn − ϕ)| ≤|f (x)||ϕn (x) − ϕ(x)|dx,Kпоскольку подинтегральная функция не превосходит абсолютно интегрируемую на K функцию C|f (x)| с константой C = sup max |ϕn (x) − ϕ(x)| < ∞,n∈N x∈Kто по теореме Лебега о мажорируемой сходимости можно перейти к пределупод знаком интеграла и получить требуемый ноль.Определение 33. Всякая обобщенная функция F ∈ D0 (G), для которойнайдется функция f ∈ L1,loc (G) такая, что F = Ff называется регулярной обобщенной функцией (распределением). Если такой функции f нет,то обобщенная функция называется сингулярной.Пример 10.
Пусть G = Rn , n ≥ 1. Для любой ϕ ∈ D(G) определим обобщенную функцию δ ∈ D0 (G) формулойδ(ϕ) = ϕ(0).(4.1.2)Эта сингулярная обобщенная функция называется δ-функцией Дирака. Вфизической литературе часто про действие такой функции пишутZδ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0),однако, пользуясь такой записью, всегда нужно четко понимать, что этоозначает (4.1.2). Сингулярность δ следует из следующих рассуждений.
Предположим, что существует fδ ∈ L1,loc (G) такая, что для каждой ϕ ∈ D(G)Z(δ, ϕ) =fδ (x)ϕ(x)dx.GТогда функция sin x1 fδ (x) будет нулевой почти всюду по мере Лебега в Rn .Действительно, для любой ϕ ∈ D(G)Z0 = sin 0ϕ(0) = (δ, sin x1 ϕ(x)) =sin x1 fδ (x)ϕ(x)dx.GТаким образом, fδ (x) = 0 почти всюду, что противоречит определению дляδ.Упражнение 12. Доказать, что δ ∈ D0 (Rn ).Пример 11. Пусть G = R. Для любой ϕ ∈ D(G) определим обобщеннуюфункцию P x1 ∈ D0 (G) формулойZ +∞Z −ε Z R !1ϕ(x)ϕ(x)(P , ϕ) = v.p.dx = lim+dx.(4.1.3)xxxε→+0−∞−RεR→+∞72ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИСимвол P показывает, что 1/x не является локально интегрируемой, поэтому нужно использовать предел в виде главного значения по Коши.
Вдальнейшем, при возникновении функций, не являющихся локально интегрируемыми, мы уже не будем использовать этот символ, но будем пониматьдействие порождаемых ими обобщенных функций в виде соответствующегопредела.Поскольку функция ϕ финитна, то начиная с некоторого R > 0 будемиметь включение suppϕ ⊂ [−R, R], поэтому предел по R можно не рассматривать. А предел при ε → +0 существует и конечен, посколькуZ RZ RZ RZ RZ −εϕ(x)ϕ(−y)ϕ(x)ϕ(x) − ϕ(−x)ϕ(x)dx +dx = −dy +dx =dx,xxyxxεεεε−Rинтегрируема на отрезке [0, R].а функция ϕ(x)−ϕ(−x)xЛинейность и непрерывность P x1 практически очевидна.Упражнение 13. Показать, что1(P , ϕ) = v.p.x4.2+∞Z−∞ϕ(x) − ϕ(0)dx.x(4.1.4)Сходимость обобщенных функций4.2.1.
Все операции, определяемые для обобщенных функций, мотивированы аналогиями, возникающими при рассмотрении регулярных обобщенныхфункции. Мы будем называть такие аналогии наводящими соображениями.Первой операцией рассмотрим предельный переход в D0 (G).Наводящие соображения. Пусть fn , f — абсолютно интегрируемые на Gфункции, и fn → f почти всюду, причем |fn | < |f |. Тогда по теореме Лебегао мажорируемой сходимости для любой ϕ ∈ D(G)ZZ(fn , ϕ) =fn (x)ϕ(x)dx →f (x)ϕ(x)dx = (f, ϕ).GG0Определение 34.
Пусть Fn , F ∈ D (G). Говорят, что Fn сходится к F приn → ∞, если(Fn , ϕ) → (F, ϕ) для любой ϕ ∈ D(G).D 0 (G)Лекция11При этом пишут Fn −→ F .4.2.2. Дельта-образные последовательности. Рассмотрим несколько примеров сходимости обобщенных функций.Определение 35. Последовательность функций hk : Rn → R называетсядельта -образной последовательностью, если выполнены следующие условия:1) hk (x) ≥ 0 для всех k ∈ N и x ∈ Rn ;2) существует последовательность εk > 0 такая, что εk → 0 при k → ∞,и для Rвсех k ∈ N носитель supp hk = B(0, εk ) = {x ∈ Rn | kxk ≤ εk };3) Rn hk (x)dx = 1 для каждого k ∈ N.4.2. СХОДИМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ73Теорема 27. Всякая дельта-образная последовательность сходится в D0 (Rn )к δ-функции.Доказательство теоремы 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
