1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть hk (x) — дельта-образная последовательность. Нужно показать, что для любой ϕ ∈ D(Rn )Z(hk , ϕ) → (δ, ϕ) т.е.hk (x)ϕ(x)dx → ϕ(0).RnИспользуя теорему о среднем и свойства дельта-образной последовательности, имеемZZhk (x)ϕ(x)dx =limhk (x)ϕ(x)dx = limk→∞ Rnk→∞ B(0,ε )kZhk (x)dx = lim ϕ(ξk ) = ϕ(0),= lim ϕ(ξk )k→∞k→∞B(0,εk )поскольку ξk ∈ B(0, εk ) и ξk → 0 при k → ∞.Поскольку предельным геометрическим образом графиков функций издельтаобразной последовательности (см., например, рис. 4.1) является +∞в точке x = (x1 , . . .
, xn ) = 0, то часто δ-функцию графически так и изображают — вертикальной стрелкой xk = 0, k = 1, . . . , n − 1 по xn от 0 до +∞.Рис.4.1:hk (x) = ck e−1ε2 −x2kГрафикиH(ε2kдельта-образных2− x ), hk (x) =2H(ε2k −x ),2εkпоследовательностейhk (x) =εk −|x|H(ε2kε2kвR2− x ).4.2.3. Формулы Сохоцкого.Теорема 28. В D0 (R) справедливы формулы Сохоцкогоlimε→+0111:== ∓iπδ + P .x ± iεx ± i0x(4.2.1)Доказательство теоремы 28.
Для любой пробной функции ϕ ∈ D(R) с носителем supp ϕ ⊆ [−R, R] имеемZZ R1111, ϕ) = lim (, ϕ) = limϕ(x)dx = limϕ(x)dx =(ε→+0 x ± iεε→+0 R x ± iεε→+0 −R x ± iεx ± i0Z RZ Rϕ(x) − ϕ(0)ϕ(0)= limdx + limdx,ε→+0 −R x ± iεε→+0 −Rx ± iε|{z} |{z}I1I274ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИгдеZRI2 = ϕ(0) limε→+0−Rx ∓ iεdx = ϕ(0) limε→+0x2 + ε2ZR−Rxdx ++ ε2{z}x2|ZR+ ϕ(0) limε→+0−R∓iεx=yεdx = ∓iϕ(0) limε→+0x2 + ε2Z=0R/ε−R/εdy=y2 + 1= ∓iϕ(0)arctg |+∞−∞ = ∓iϕ(0)π = (∓iπδ, ϕ).Для вычисления первого предела воспользуемся теоремой Лебега о мажорируемой сходимости.
Поскольку для любого x ∈ R ϕ(x) − ϕ(0) |ϕ(x) − ϕ(0)|, x ± iε ≤|x|а интеграл от последней функции конечен, тоZ Rϕ(x) − ϕ(0)ϕ(x) − ϕ(0) R→∞I1 =dx =dx =limε→+0x±iεx−R−RZ1ϕ(x) − ϕ(0) (4.1.4)dx = (P , ϕ).= v.p.xxRZ4.3RОперации с обобщенными функциями4.3.1. Линейная замена переменных. Начнем с наводящих соображений. Пусть f ∈ L1,loc (Rn ), A — невырожденная n × n матрица и b ∈ Rn . Дляпробной функции ϕ ∈ D(Rn ) рассмотрим действие регулярной обобщеннойфункции f (Ax + b) на ϕ(x) :ZAx+b=y(f (Ax + b), ϕ(x)) =f (Ax + b)ϕ(x)dx =RnZϕ(A−1 (y − b))dy−1=f (y)ϕ(A (y − b))= f (y),.|detA||detA|RnОпределение 36. Для любой обобщенной функции F ∈ D0 (Rn ), невырожденной n × n матрицы A и вектора b ∈ Rn определена новая обобщеннаяфункция F (Ax + b) ∈ D0 (Rn ), действующая на пробную функцию ϕ ∈ D(Rn )по формулеϕ(A−1 (x − b))(F (Ax + b), ϕ(x)) = F (x),.(4.3.1)|detA|Упражнение 14. Доказать, что F (Ax + b) ∈ D0 (Rn ).4.3.
ОПЕРАЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИПример 12. (δ(x − x0 ), ϕ(x))(4.3.1)=75(δ(x), ϕ(x + x0 )) = ϕ(x0 ).4.3.2. Нелинейная замена переменных в δ-функции.Определение 37. Пусть a : R → R и hk — произвольная дельта-образнаяпоследовательность, тогда определена обобщенная функция δ(a(x)) ∈ D0 (R)формулойD0δ(a(x)) = lim hk (a(x)).(4.3.2)k→∞Мы не будем обсуждать деликатный момент о корректности этого определения, т.е. вопрос существования этого предела и его независимости отдельта-образной последовательности, однако используем его для полученияполезной формулы.Теорема 29. Пусть a : R → R — дифференцируемая функция с простыминулями (т.е. a(x) = 0, a0 (x) 6= 0).
ТогдаX δ(x − xk ),(4.3.3)δ(a(x)) =|a0 (xk )|kгде xk — нули функции a.Доказательство теоремы 29. Пусть ϕ ∈ D(R) и supp ϕ = [−R, R]. В интервале [−R, R] находится лишь конечное число нулей xk , k = 0, . . . , m функции a. Если бы это было не так, то нашлась бы сходящаяся к нулю x∞функции a последовательность нулей xj функции a, но тогда бы a0 (x∞ ) = 0,что противоречит условию теоремы о простоте нулей функции a.Для простоты изложения будем считать, что функция a имеет лишьодин нуль x0 ∈ [−R, R]. Тогда по теореме об обратной функции найдетсяокрестность J точки x0 , на которой функция a обратима. По определениюдельта-образной последовательности hk , начиная с некоторого номера k будем иметьsupp hk = [−εk , εk ] ⊂ a(J).Для любой ϕ ∈ D(R) получаемZ RZ(4.3.2)hk (a(x))ϕ(x)dx = limhk (a(x))ϕ(x)dx =(δ(a(x)), ϕ(x)) = limk→∞ −Rk→∞ RZZ= limhk (a(x))ϕ(x)dx + limhk (a(x))ϕ(x)dx =k→∞k→∞J|Z[−R,R]\J{z=0dy=|a0 (a−1 (y))|ϕ(a−1 (y)) T.27ϕ(a−1 (y))= lim hk , 0 −1= δ, 0 −1=k→∞|a (a (y))||a (a (y))|ϕ(a−1 (0))ϕ(x0 )δ(x − x0 )= 0 −1= 0=,ϕ .|a (a (0))||a (x0 )||a0 (x0 )|a(x)=y=limk→∞a(J)hk (y)ϕ(a−1 (y))}76ГЛАВА 4.
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ4.3.2. Умножение. Наводящие соображения. Пусть G ⊂ Rn , f ∈ L1,loc (G),и g ∈ C ∞ (G), тогда для пробной функции ϕ ∈ D(G) рассмотрим действиерегулярной обобщенной функции g(x)f (x) на ϕ(x) :ZZ(g(x)f (x), ϕ(x)) =g(x)f (x)ϕ(x)dx =f (x)g(x)ϕ(x)dx = (f (x), g(x)ϕ(x)).GGОпределение 38.
Пусть F, Φ ∈ D0 (G), причем Φ — регулярная обобщеннаяфункция, порожденная бесконечно дифференцируемой функцией (обозначаемой тем же символом Φ), тогда определена обобщенная функцияΦ · F = F · Φ ∈ D0 (G),действующая на пробную функцию ϕ ∈ D(G) по формуле(Φ · F, ϕ) = (F, Φϕ) = (F · Φ, ϕ).(4.3.4)Упражнение 15. Доказать, что Φ · F ∈ D0 (G).Пример 13.(Φ · δ, ϕ) = (δ, Φϕ) = Φ(0)ϕ(0) = (Φ(0)δ, ϕ);(0 · F, ϕ) = (F, 0ϕ) = (F, 0) = 0(F, 1) = 0;ZZ1xϕ1dx =ϕdx = (1, ϕ).(xP , ϕ) = (P , xϕ) = v.p.xxR xR(4.3.5)(4.3.6)(4.3.7)Легко проверить, что так определенное умножение коммутативно и ассоциативно. Однако, его нельзя распространить на все пространство обобщенных функций с сохранением свойств коммутативности и ассоциативности.Если предположить, что мы смогли определить такое умножение, то сразуже пришли бы к противоречию0(4.3.6)=0P1x(4.3.5)=(xδ)P111 (4.3.7)(4.3.5)= (δx)P = δ · (xP ) = δ · 1 = δ.xxx4.3.3.
Дифференцирование. Наводящие соображения. Пусть f ∈ C ∞ (R).Для пробной функции ϕ ∈ D(R) рассмотрим действие регулярной обобщенной функции f 0 (x) на ϕ(x) :(f 0 , ϕ) =ZRf 0 (x)ϕ(x)dx = f (x)ϕ(x) |R−R −|{z}−RZRf (x)ϕ0 (x)dx = −(f, ϕ0 ).−R=0Определение 39. Пусть G ⊆ Rn и F ∈ D0 (G). Для любого мультииндекса α определена обобщенная функция Dα F ∈ D0 (G), которая называетсяобобщенной производной порядка α и действует на пробную функцию ϕ ∈ D(G)по правилу(Dα F, ϕ) = (−1)|α| (F, Dα ϕ).(4.3.8)4.3. ОПЕРАЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ77Упражнение 16. Доказать, что Dα F ∈ D0 (G).Пример 14.(δ 0 , ϕ) = −(δ, ϕ0 ) = −ϕ0 (0);Z +∞(2.5.1)ϕ0 (x)dx = ϕ(0) = (δ, ϕ).(H 0 , ϕ) = −(H, ϕ) = −(4.3.9)0Упражнение 17.
Пусть g ∈ C ∞ (R) и F ∈ D0 (R). Показать, что справедлива формула Лейбница(gF )(n) =nXCnk g (k) F (n−k) , n ∈ N.(4.3.10)k=0В частности,(gF )0 = g 0 F + gF 0 .Следующая теорема проливает свет на взаимосвязь классической производной кусочно-гладкой функции и ее обобщенным вариантом.Теорема 30. Пусть f : R → R — кусочно-гладкая функция, тогда ее клас0, рассматриваемая как обобщенная функция, и еесическая производная fкл0обобщенная производная fобсвязаны формулойX00 D0fоб= fкл+[f ]k δ(x − xk ),(4.3.11)kгде xk — точки разрыва функции f (x), и [f ]k = f (xk + 0) − f (xk − 0) —скачок функции f в точке xk .0Доказательство теоремы 30.
Подействуем fобна функцию ϕ ∈ D(R) с носителем supp ϕ = [−R, R], получимZZ R(4.3.8)000(fоб , ϕ) = −(f, ϕ ) = − f (x)ϕ (x)dx = −f (x)ϕ0 (x)dx =R−RZ xk+1XXx−0=−f (x)ϕ0 (x)dx = −f (x)ϕ(x) |xkk+1++0k:xk ∈[−R,R] xkZ xk+1Xk:xk ∈[−R,R]f 0 (x)ϕ(x)dx = −+k:xk ∈[−R,R]xk0+ (fкл, ϕ) = −=XX0(f (xk+1 − 0)ϕ(xk+1 ) +f (xk + 0)ϕ(xk )) + (fкл, ϕ) =kXX0−(f (xk − 0)ϕ(xk ) +f (xk + 0)ϕ(xk )) + (fкл, ϕ) =k=Xk0(f (xk + 0) − f (xk − 0))(δ(x − xk ), ϕ(x)) + (fкл, ϕ) =k!=(f (xk+1 − 0)ϕ(xk+1 ) − f (xk + 0)ϕ(xk ))+kkk+1→kXXk[f ]k δ(x − xk ) +0fкл,ϕ.78ГЛАВА 4.
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИПример 15. Плотность заряда электрического диполя. Посколькуδ функцию можно воспринимать как плотность распределения какой-либовеличины в точке ноль, то с помощью нее можно записать плотность распределения заряда системы из двух заряженных частиц: с зарядом −ε и +εна расстоянии l. Такая система называется электрическим диполем.
Помещая отрицательный заряд в точку x = 0, а положительный в точку x = l,получаем плотность системы%l (x) = −εδ(x) + εδ(x + l).Моментом системы называется величина p = εl. Точечным электрическимдиполем называется предельное положение описанной системы при l → 0+с сохранением момента p.
Вычислим плотность распределения заряда точечного электрического диполя %0 как предел (в D0 ) плотности %l :lim (%l (x), ϕ(x)) = lim (−εδ(x) + εδ(x + l), ϕ(x)) =l→0+l→0+= lim (δ, ε(ϕ(x + l) − ϕ(x))) = lim pl→0+0l→0+ϕ(l) − ϕ(0)=l= pϕ (0) = −(pδ 0 , ϕ).Таким образом, %0 = −pδ 0 .Лекция124.4Свертка обобщенных функцийНачнем с наводящих соображений. Пусть f, g ∈ S(Rn ), тогда их свертка f ∗ gсуществует и является элементом L1,loc (Rn ). Подействуем регулярной обобщенной функцией f ∗ g на пробную функцию ϕ ∈ D(Rn ) :ZZZ(f ∗ g, ϕ) =(f ∗ g)(x)ϕ(x)dx =f (x − y)g(y)dy ϕ(x)dx =RnRnRnZZZZx−y=zT ??=g(y)f (x − y)ϕ(x)dx dy =g(y)f (z)ϕ(z + y)dz dy =nRnRnRnZRZT ??=f (z)g(y)ϕ(z + y)dy dz = (f (z), (g(y), ϕ(y + z))).RnRnОпределение 40.
Пусть F, G ∈ D0 (Rn ), причем G такая, что для любойпробной функции ϕ ∈ D(Rn ) функция (G(x), ϕ(x + y)) является пробнойфункцией переменной y. Тогда определена обобщенная функция F ∗ G ∈ D0 (Rn ),которая называется сверткой F и G, и действует на пробную ϕ ∈ D(Rn ) поправилу(F ∗ G, ϕ) = (F (y), (G(x), ϕ(x + y))).(4.4.1)4.4. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ79Рассмотрим по аналогии с обычной сверткой ее простейшие свойства.0). Свертка с δ-функцией. Пусть F ∈ D0 (Rn ), тогда F ∗ δ и δ ∗ F существуют иF ∗ δ = δ ∗ F = F.(4.4.2)RЭто равенство формально часто записывают как F (x) = F (y)δ(x − y)dy.Доказательство. Пусть ϕ ∈ D(Rn ), тогда (δ(x), ϕ(x + y)) = ϕ(y) — пробнаяфункция, следовательно определена свертка F ∗ δ, при этом(F ∗ δ, ϕ) = (F (y), (δ(x), ϕ(x + y))) = (F (y), ϕ(0 + y)) = (F, ϕ).Функция (F (x), ϕ(x+y)) переменной y вообще говоря не является финитной,но она бесконечно дифференцируема, следовательно, непрерывна, поэтомуδ-функция может на нее действовать, имеем(δ ∗ F, ϕ) = (δ(y), (F (x), ϕ(x + y))) = (F (x), ϕ(x + 0)) = (F, ϕ).Упражнение 18.
Доказать, что для любой ϕ ∈ D(Rn ) и любой F ∈ D0 (Rn )функция (F (x), ϕ(x + y)) переменной y бесконечно дифференцируема.1). Линейность свертки. Пусть F1 , F2 , G ∈ D0 (Rn ) и F1 ∗ G, F2 ∗ G существуют, тогда для любых α, β ∈ C существует свертка (αF1 + βF2 ) ∗ G,причем(αF1 + βF2 ) ∗ G = α(F1 ∗ G) + β(F2 ∗ G).(4.4.3)Доказательство. Пусть ϕ ∈ D(Rn ), имеем((αF1 + βF2 ) ∗ G, ϕ) = ((αF1 (y) + βF2 (y), (G(x), ϕ(x + y))) == α(F1 (y), (G(x), ϕ(x + y))) + β(F2 (y), (G(x), ϕ(x + y))) == (α(F1 ∗ G), ϕ) + (β(F2 ∗ G), ϕ) = (α(F1 ∗ G) + β(F2 ∗ G), ϕ).2). Коммутативность свертки. Пусть F, G ∈ D0 (Rn ) и F ∗ G существует, тогда существует и свертка G ∗ F , причемF ∗ G = G ∗ F.(4.4.4)Без доказательства примем это свойство.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
