1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ЛЕБЕГОВСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА101Доказательство. ИмеемZZp|f (x) + g(x)| dx ≤|f (x) + g(x)|p−1 (|f (x)| + |g(x)|) dx =GGZZp−1=|f (x) + g(x)| |f (x)| dx +|f (x) + g(x)|p−1 |g(x)| dx ≤G(5.3.4)GZ|f (x) + g(x)|(p−1)q≤1/q(kf kp + kgkp ).GПереписывая в терминах норм, с учетом равенства (p − 1)q = p, получимkf + gkpp ≤ kf + gkp/qp (kf kp + kgkp ),что эквивалентно доказываемому неравенству.5.3.3. Полнота и сепарабельность лебеговских пространств.Лебеговские функциональные пространства Lp (G) являются сепарабельными банаховыми пространствами.
Полнота показывается нетривиально [5,с. 376, 383]. Счетным всюду плотным подмножеством (в случае, например,если G = [a, b]) является множество многочленов с рациональными коэффициентами или множество ступенчатых функций с рациональными значениями на отрезках с рациональными концами (или с двоично рациональнымиконцами).Действительно, в случае многочленов известно, что всякая непрерывнаяфункция приближается многочленами по норме непрерывных функций и,следовательно, по норме пространства Lp (a, b), так какkfe − pkp ≤ max |fe(x) − p(x)|(b − a)1/p ,x∈[a,b]где fe(x) – непрерывная на [a, b] функция, а p(x) – многочлен, приближающий fe(x). Всякую функцию f ∈ Lp (a, b) можно приблизить непрерывнымифункциями, например, такими:feδ (x) = δ −1Zbf (y)ωax−yδdy,где ω(z) – усредняющее ядро Соболева, или шапочка Соболева, т.
е. функция,обладающая свойствами:1) ω(z) – бесконечно дифференцируемая функция;2) ω(z) ≥ 0 для всех z ∈ R;3) ω(z) = 0 для всех |z| ≥ 1;R14) −1 ω(z) dz = 1.На самом деле, функции feδ будут гладкими. Таким образом, всюду плотным множеством будут являться также гладкие функции.102ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ5.4Скалярное произведение и его свойства5.4.1. Определение и примерыОпределение 57. Пусть L – линейное пространство над числовым полем F(= R или C) и функция двух аргументов (· , ·) : L × L 7→ F удовлетворяет свойствам:1) (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 ⇔ x = 0;2) (α1 · x1 + α2 · x2 , y) = α1 (x1 , y) + α2 (x2 , y) (лин-сть по 1-му аргументу);3) (x, y) = (y, x) (эрмитова симметричность).Тогда функция (· , ·) называется скалярным произведением (или внутренним произведением), а пространство L евклидовым (над R) или унитарным(над C) пространством.Отметим, что в физической литературе зачастую встречается скалярноепроизведение, линейное по второму аргументу, в этом случае комплексноесопряжение в рассматриваемых ниже примерах нужно навешивать на первый аргумент.Пример 28.
Рассмотрим несколько уже встречавшихся нам линейных пространств.Линейное пространствоарифметическое n − мерноепространство (пример 20.1))пространство матриц(пример 20.2))пространство последовательностей (пример 23.2))Лебеговское функциональноепространство (§ 5.3)пространство Соболева(определение 42)nFСкалярное произведениеnP(x, y) =xk ykk=1TMn (F)(A, B) = tr(AB )`2(x, y) =∞Pxk ykk=1L2 (G)H l (G) = W2l (G)(f, g) =(f, g) =RGP R0≤|α|≤lGf (x)g(x) dxDα f (x)Dα g(x) dx5.4.2. Неравенство Коши–Буняковского(–Шварца)Для любых x, y ∈ L справедливо неравенство|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y).(5.4.1)Доказательство.
Для любого t ∈ R имеем1)св.O.570≤3)св.O.57=(x + ty, x + ty)2)св.O.57=(x, x + ty) + t(y, x + ty) =(x + ty, x) + t(x + ty, y) = (x, x) + t(y, x) + t(x, y) + t2 (y, y) == t2 (y, y) + 2tRe(x, y) + (x, x).5.4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА103Предположим, что (x, y) ∈ R, тогда из предыдущих выкладок следует, чтодискриминант получившегося квадратного многочлена неотрицателен:D = 4(x, y)2 − 4(x, x)(y, y) ≤ 0,что эквивалентно доказываемому неравенству. Предположим теперь, что(x, y) ∈ C.
Тогда обозначим (x, y) = reiφ и рассмотрим новый вектор xe = e−iφ x.Имеем(ex, y) = (e−iφ x, y)2)св.O.57=e−iφ (x, y) = e−iφ eiφ r = r ∈ R,поэтому по уже доказанному случаю, получаем|(ex, y)|2 = (ex, xe)(y, y).Остается заметить, что |(ex, y)| = |(x, y)| и (ex, xe) = (x, x).5.4.3.
Норма, порожденная скалярным произведениемpОпределение 58. Говорят, что норма kxk = (x, x) порождена скалярным произведением, или согласована со скалярным произведением.Покажем, что это, действительно, норма.1). Ясно, что kxk ≥ 0. Если же kxk = 0, то (x, x) = 02). Имеем1)св.O.57⇒x = 0.2)св.O.57 p=(αx, αx)α(x, αx) =qp3)св.O.57α(αx, x) = αα(x, x) = |α|kxk.=kαxk =p3). Рассмотрим квадрат суммы:kx + yk2 = (x + y, x + y) = kxk2 + 2Re(x, y) + (y, y) ≤≤ kxk2 + 2|(x, y)| + kyk2(5.4.1)≤kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .Свойства нормы проверены. Отметим, что в обозначениях нормы, неравенство Коши–Буняковского принимает вид|(x, y)| ≤ kxkkyk.(5.4.2)Определение59.
Нормированное пространство N = (L, k · k) с нормойpkxk = (x, x) называется предгильбертовым, или почти гильбертовым.Если оно полно относительно этой нормы, то оно называется гильбертовым пространством.5.4.4. Тождество параллелограмма Для любых x, y ∈ L справедливоравенство2kxk2 + 2kyk2 = kx + yk2 + kx − yk2 ,(5.4.3)104ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМкоторое называется тождеством параллелограмма, в связи с его простойгеометрической интерпретацией: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Тождество легко проверяется раскрытием нормы через соответствующее скалярное произведение.Важность этого тождества заключается в том, что нормы, ему удовлетворяющие, обязательно согласованы с каким-нибудь скалярным произведением.
Сформулируем этот результат в виде теоремы, доказанной фонНейманом и Йорданом.Теорема 37. Пусть N = (L, k · k) – линейное нормированное пространство и норма k · k удовлетворяет тождеству параллелограмма (5.4.3),тогда существует скалярное произведение (·, ·), с которым эта норма согласована.Доказательство теоремы 37. Мы приведем лишь формулы для скалярного произведения, которые называются поляризационными тождествами:(x, y) =(x, y) =1kx + yk2 − kx − yk2 над R,4(5.4.4) i1kx + yk2 − kx − yk2 +kx + iyk2 − kx − iyk2 над C.
(5.4.5)445.4.5. Непрерывность скалярного произведенияТеорема 38. Пусть H — гильбертово пространств, и xn → x и ym → y.Тогда для любого z ∈ H(xn , z) → (x, z) – непрерывность по первому аргументу;(5.4.6)(z, ym ) → (z, y) – непрерывность по второму аргументу;(5.4.7)(xn , ym ) → (x, y) – непрерывность по двум аргументам.(5.4.8)Доказательство теоремы 38. Докажем лишь непрерывность по первомуаргументу, остальные свойства доказываются почти аналогично. Имеем(5.4.2)|(xn , y) − (x, y)| = |(xn − x, y)|5.5≤kxn − xkkyk → 0.Ортогонализация Грама–ШмидтаОпределение 60. Векторы x и y – ортогональны (x ⊥ y), если (x, y) = 0.Векторы x и y – ортонормальны, если они ортогональны, и норма каждогоравна единице, т.е. (zi , zj ) = δij .5.5.
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ГРАМА–ШМИДТА105Всякую счетную линейно независимую систему векторов {x1 , x2 , x3 , ...}можно ортонормировать процессом Грама – Шмидта:y1 = x1 ,y2 = x2 − (x2 , z1 )z1 ,...Pn−1yn = xn − k=1 (xn , zk )zk ,...z1 =z2 =...zn =...y1ky1 k ,y2ky2 k ,(5.5.1)ynkyn k .Теорема 39. Получившиеся векторы zk ортонормальны и для любого n ∈ Nlin{x1 , .
. . , xn } = lin{z1 , . . . , zn }.Доказательство теоремы 39. Применим индукцию по n. Легко проверяется база индукции. Предположим, что утверждение теоремы уже доказанодля всех 1 ≤ k < n. Докажем его для k = n. Для любого 1 ≤ j < n получаем!n−1X1(5.5.1)(zn , zj ) =xn −(xn , zk )zk , zj =kyn kk=1!n−1X1=(xn , zj ) −(xn , zk )δkj =kyn kk=11((xn , zj ) − (xn , zj )) = 0.=kyn kВторое утверждение следует из соотношенийlin{z1 , . . . , zn } = lin{lin{x1 , .
. . , xn−1 }, zn }иzn ∈ lin{{z1 , . . . , zn−1 }, xn }.По аналогии с вещественным арифметическим пространством в евклидовых пространствах можно ввести понятие угла.Определение 61. Углом для ненулевых векторов x, y евклидова простран(x,y).ства называется величина ϕ = arccos kxkkykВвиду неравенства Коши–Буняковского угол корректно определен. Всвязи с этим понятием ясно, что ортогональность двух векторов эквивалентна прямому углу между ними.Пример 29.
В пространстве Соболева H 1 (−1, 1) рассмотрим систему функций 1, x и |x|. Ортонормируем ее относительно скалярного произведения вH 1 (см. пример 28).Во-первых, ясно, что эта система линейно независима. Действительно, α1 + βx + γ|x| ≡ 0 ⇔ α1 + (β − γ)x ≡ 0, x < 0 и α1 + (β + γ)x ≡ 0, x ≥ 0,106ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМт. е. α = 0, β − γ = 0 и β + γ = 0 ⇔ α = β = γ = 0. Заметим также, что производные 10 = 0, x0 = 1 и |x|0 = sgn(x) интегрируемы на интервале (−1, 1),поэтому 1, x, |x| ∈ H 1 (−1, 1).y10 (x) = 0,y1 (x) = 1,R1ky1 k2 = y12 (x)dx + (y10 (x))2 dx = 2,z1 (x) =−1y2 (x) = x − (x, √12 ) √12 = x −2ky2 k =R1−112R1x dx = x,=√1 .2y20 (x) = 1,−1+ (y20 (x))2 dx = 38√√x 6 x 612 ) − (|x|, 4 ) 4 =y22 (x)dxy3 (x) = |x| − (|x|,R1ky3 k2 = y32 (x)dx + (y30 (x))2 dx =−1y1 (x)ky1 kz2 =|x| − 21 ,136 ,y2 (x)ky2 k=√x 64 .y30 (x) = sgn(x),√6z3 = (|x| − 21 ) √13.Таким образом, получаем ортонормированную систему функций:√ √116x 6√ .z1 (x) = √ , z2 (x) =и z3 (x) = |x| −422135.6Проектирование5.6.1.
Проекция и ближайший векторОпределение 62. Пусть H — гильбертово пространство, E ⊂ H — его линейное подпространство. Вектор y ∈ E называется проекцией вектора x ∈ Hна множество E, если x − y ⊥ E, т.е. (x − y, z) = 0 для любых z ∈ E. Обозначают проекцию как y = PrE x.Проекция, вообще говоря, может не существовать (см.[P12, примеры 2.3.1.и 2.3.2.]). Однако, если она существует, то она единственна.Доказательство. Предположим, что для вектора x найдется еще одна проекция y 0 = PrE x, тогда из определения имеем: для любого z ∈ E(x − y, z) = 0 = (x − y 0 , z).Откуда вычитая одно из другого и беря z = y − y 0 ∈ E, получаем(y − y 0 , y − y 0 ) = 0 ⇒ y = y 0 .Определение 63. N = (X, k · k) – линейное нормированное пространство,Y ⊂ X. Вектор y ∈ Y называется вектором наилучшего приближения из Yдля вектора x ∈ X (или ближайшим к x вектором из множества Y ), еслиkx − yk = inf kx − zk.z∈Y5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
