1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поскольку q0 – это константа, то учитывая положительность старшего коэффициента и условие нормировки, получаемZq0 =!−1/2b−1/2h(x)dx= γ0.aПредположим, что многочлены qk , 0 ≤ k ≤ n − 1 уже определены. По свойству 1◦qn (x) − an xn =n−1Xck qk (x),k=0поэтому нужно определить коэффициенты an > 0 и ck , 0 ≤ k ≤ n − 1.
Изусловия ортогональности для любого 0 ≤ m ≤ n − 1 имеем0 = (qn , qm )h = an (xn , qm )h +n−1Xck (qk , qm )h = an (xn , qm )h + cm ,k=0откудаck = −an (xn , qk )h , 0 ≤ k ≤ n − 1.(6.1.2)120ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫДалее,n1 = (qn , qn )h =an x +n−1Xnck qk , an x +n−1Xck (xn , qk )h +n−1Xck (xn , qk )h +k=0= a2n γn − 2a2n(xn , qk )2h + a2nk=0= a2nγn −=hn−1X n−1Xck cm (qk , qm )h =n−1Xc2k(6.1.2)=k=0n−1Xn−1Xcm qmk=0 m=0k=0= a2n γn + 2an!m=0k=0= a2n (xn , xn )h + 2ann−1Xn−1X(xn , qk )2h =k=0!(xn , qk )2h.k=0Отсюда получаемan =γn −n−1X!−1/2(xn, qk )2h.(6.1.3)k=0Подставляя (6.1.3) в (6.1.2), получаемnck = −(x , qk )hγn −n−1X!−1/2(xn, qm )2h.(6.1.4)m=0Тем самым мы показали, что qn однозначно определяется весом h.4◦ . Пусть (−a, a) промежуток ортогональности и h(x) — четная функция, тогдаqn (x) = (−1)n qn (−x)Доказательство.
Поскольку весовая функция однозначно определяет ортогональные многочлены, достаточно показать, что q̃n (x) = (−1)n qn (−x)являются ортогональными многочленами на (−a, a) с весом h(x). Ясно, чтоq̃n есть многочлен степени n ≥ 0. Если qn (x) = an xn + . . ., тоq̃n (x) = (−1)n an (−x)n + . . . = an xn + . . . .Таким образом, старшие коэффициенты положительны. И, наконец, проверим условие ортогональностиZ an+m(q̃n , q̃m )h = (−1)qn (−x)qm (−x)h(x) dx =−aZ a−x=y= (−1)n+mqn (y)qm (y)h(−y) dy =−aZ ah(y)=h(−y)n+mqn (y)qm (y)h(y) dy = (−1)n+m (qn , qm )h = δnm .=(−1)−a6.1.
СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ121Утверждение полностью доказано.6.1.3. Трехчленная рекуррентная формулаСледующее утверждение уточняет свойство 1◦ , когда рассматриваетсямногочлен Qn специального вида. Пусть n ≥ 1 иqn−1 (x) = an−1 xn−1 + bn−1 xn−2 + . . . ;qn (x) = an xn + bn xn−1 + . . . ;qn+1 (x) = an+1 xn+1 + bn+1 xn + .
. . .Тогда выполняется следующее равенство, которое называется трехчленнойрекуррентной формулой:anbnbn+1an−1qn (x) +qn−1 (x) +−qn+1 (x).(6.1.5)xqn (x) =ananan+1an+1Pn+1Доказательство. По свойству 1◦ имеем равенство xqn (x) = k=0 ck,n qk (x),откуда для любого 0 ≤ m ≤ n + 1 получаем(xqm , qn )h = (xqn , qm )h =n+1Xck,n (qk , qm )h = cm,n .k=0C другой стороны, по свойству 2◦ для всех n > m + 1 имеем (xqm , qn )h = 0.Следовательно, cm,n = 0 при всех 0 ≤ m < n − 1. Таким образом, не нулевыми остаются коэффициенты cn−1,n , cn,n и cn+1,n , входящие в равенствоxqn = cn−1,n qn−1 (x) + cn,n qn (x) + cn+1,n qn+1 (x).Подставляя в последнюю формулу выражения многочленов через первыедва старших члена, получаемx(an xn + bn xn−1 + .
. .) = cn−1,n (an−1 xn−1 + bn−1 xn−2 + . . .)++ cn,n (an xn + bn xn−1 + . . .)++ cn+1,n (an+1 xn+1 + bn+1 xn + . . .).Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях xn+1 и xn , получаемxn+1 : an = cn+1,n an+1 ,xn : bn = cn,n an + cn+1,n bn+1 .Отсюда получаем, что для любого n ≥ 1cn+1,n =an,an+1cn,n =bnbn+1−.anan+1Остается заметить, чтоcn−1,n = cn,n−1 =an−1.an122ГЛАВА 6.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ6.1.4. Нули ортогональных многочленовОпределение 72. Пусть f : (a, b) → R — непрерывная функция. Точкаx0 ∈ (a, b) называется точкой перемены знака функции f, если f (x0 ) = 0, инайдется ε > 0 такое, что для всех x1 ∈ (x0 − ε, x0 ) и x2 ∈ (x0 , x0 + ε)f (x1 )f (x2 ) < 0,т.е. локально справа и слева от точки x0 функция f принимает значенияразных знаков.Теорема 47.
Каждый многочлен qn имеет n различных вещественныхкорней, лежащих внутри промежутка ортогональности (a, b).Доказательство теоремы 47. Мы докажем даже более сильное утверждение, что каждый из корней является точкой перемены знака для qn , n ≥ 1.Предположим сначала, что точек перемены знака на (a, b) нет. Тогда многочлен не меняет знак на всем промежутке ортогональности (a, b); предположим для определенности, что qn (x) ≥ 0 для всех x ∈ (a, b). Но тогдаприйдем к противоречию:Z0 = (qn , q0 )h =abqn (x) q0 h(x) dx > 0.| {z } |{z} |{z}≥0>0≥0Пусть x1 , x2 , .
. . , xm , m ≤ n есть все точки перемен знака многочлена qnна интервале (a, b). Предположим, что m < n. Тогда рассмотрим многочлен Qm (x) = (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xm ). Ясно, что qn (x) = Pn−m (x)Qm (x),где многочлен Pn−m (x) не меняет знак на (a, b), например, все время неотрицателен. Тогда снова прийдем к противоречию:Z0 = (Qm , qn )h =bZQm (x)qn (x)h(x) dx =aabQ2m (x) Pn−m h(x) dx > 0.| {z } | {z } |{z}≥0≥0≥0Следовательно, m = n.Рассмотрим несколько следствий из теоремы 47 и трехчленной рекуррентной формулы (6.1.5).Следствие 6. Для всех n ≥ 0 верны неравенства qn (b) > 0, (−1)n qn (a) > 0.Доказательство.
Предположим от противного, что qn (b) < 0. Тогда, посколькуan−1a0 lim qn (x) = lim xn an ++ . . . + n = lim xn an = +∞,x→+∞x→+∞x→+∞xxто найдется точка x0 ∈ (b, +∞) такая, что qn (x0 ) = 0. Противоречие. Аналогично доказывается второе неравенство.6.1. СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ123Следствие 7. У соседних многочленов нет общих корней.Доказательство. Пусть найдется такое n ≥ 1 и x0 ∈ (a, b) такие, чтоqn (x0 ) = qn+1 (x0 ) = 0.Подставляя точку x0 в трехчленную рекуррентную формулу (6.1.5), получаемan−1qn−1 (x0 ) = 0.anОткуда следует, что qn−1 (x0 ) = 0.
Применяя последовательно аналогичныерассуждения к парам многочленов qn и qn−1 ; qn−1 и qn−2 и т.д., получимq0 (0) = 0. Противоречие.Следствие 8. Пусть qn (x0 ) = 0 для некоторого x0 ∈ (a, b) и n ≥ 1, тогдаqn−1 (x0 )qn+1 (x0 ) < 0.Доказательство. Снова подставляя точку x0 в трехчленную рекуррентнуюформулу (6.1.5), получаем0=anan−1qn−1 (x0 ) +qn+1 (x0 ).anan+1Откудаqn−1 (x0 )a2n=−< 0.qn+1 (x0 )an−1 an+1Следствие 9.
Корни соседних многочленов перемежаются, т.е., если(n)x1(n)< x2< . . . < xn(n)суть корни qn , то для всех n ≥ 1(n+1)a < x1(n)< x1(n+1)< x2(n)< x2(n+1)< . . . < x(n)n < xn+1 < b.(6.1.6)Доказательство. Докажем утверждение индукцией по степени многочле(1)(1)на n ≥ 1. Пусть q1 (x1 ) = 0. Из следствия 3 следует, что q2 (x1 ) < 0. По(1)следствию 1 q2 (a) > 0 и q2 (b) > 0, следовательно, на интервалах (a, x1 )(2)(1)(2)и (x1 , b) есть корни многочлена q2 (x) : x1 и x2 соответственно.
Предположим, что утверждение доказано для всех 1 ≤ k ≤ n. Докажем его для(n)(n)k = n + 1. Рассмотрим интервал (xm , xm+1 ), 1 ≤ m ≤ n − 1. По следствию 3имеем:(n)(n)(n)qn−1 (x(n)m )qn+1 (xm ) < 0, qn−1 (xm+1 )qn+1 (xm+1 ) < 0,откуда(n)(n)(n)qn−1 (x(n)m )qn−1 (xm+1 )qn+1 (xm )qn+1 (xm+1 ) > 0.124ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ(n)(n)Произведение qn−1 (xm )qn−1 (xm+1 ) < 0, поскольку по предположению ин(n)(n)дукции в интервале (xm , xm+1 ) лежит в точности один корень многочле(n−1)(n)(n)на qn−1 : xm . Таким образом qn+1 (xm )qn+1 (xm+1 ) < 0.
Значит в интерва(n)(n)(n+1)ле (xm , xm+1 ) лежит хотя бы один корень многочлена qn+1 : xm+1 . Итогоуже имеем n − 1 корень. Оставшиеся два корня лежат на концевых интервалах: это доказывается так же, как в базе индукции.6.1.5. Стандартизация ортогональных многочленовОпределение 73. Пусть q0 , q1 , .
. . ортогональные многочлены на интервале (a, b) с весом h. Для любой последовательности вещественных чисел αnмногочленыα0 q0 , α1 q1 , . . .будем также называть ортогональными многочленами. Выбор коэффициентов αn называется стандартизацией ортогональных многочленов.В разных задачах, где используются ортогональные многочлены встречаются следующие способы стандартизации:1) kqkh = 1, an > 0 (наше первоначальное определение);2) qn (1) = 1;3) an = 1;4) стандартизация с использованием производящей функции.Определение 74.
Функция w(x, t) называется производящей функцией ортогональных многочленов q0 , q1 , . . ., если для любого фиксированного x ∈ (a, b)при достаточно малых t имеет место разложениеw(x, t) =∞Xqn (x) nt ,αnn=0где αn — некоторые коэффициенты.Легко видеть, что справедливо соотношениеαn ∂ n w(x, t) qn (x) =.n!∂tn t=06.2(6.1.7)Классические ортогональные многочлены6.2.1. ТаблицаОпределение 75. Классическими ортогональными многочленами называются многочлены Яко́би, многочлены Лаге́рра и многочлены Эрмита.Среди многочленов Якóби выделяют также многочлены Гегенба́уэра, многочлены Чебышёва первого и второго рода, а также многочлены Лежандра.6.2. КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ125(a, b) = (−∞, +∞)(a, b) = (−1, 1)(a, b) = (0, +∞)Мн-ны Эрмита Hn (x)Мн-ны Яко́би Pn (x; α, β)Мн-ны Лаге́рра Lαn (x)h(x) = (1 − x)α (1 + x)β ,h(x) = xα e−x ,α > −1, β > −1α > −1h(x) = e−x2Мн-ны Гегенба́уэра Cn (x; λ)h(x) = (1 − x2 )λ−1/2 ,λ > −1/2Мн-ны ЧебышёваМн-ны ЛежандраМн-ны Чебышёва1-го рода Tn (x)√h(x) = 1/ 1 − x2Pn (x)2-го рода Un (x)√h(x) = 1 − x2h(x) = 1В указанных обозначениях имеемCn (x; λ) = Pn (x; λ − 1/2, λ − 1/2);Tn (x) = Cn (x, 0) = Pn (x; −1/2, −1/2);Pn (x) = Cn (x, 1/2) = Pn (x; 0, 0);Un (x) = Cn (x, 1) = Pn (x; 1/2, 1/2).6.2.2.
Уравнение ПирсонаЛегко проверить, что весовые функции классических ортогональныхмногочленов удовлетворяют дифференциальному уравнению Пирсона:(h0 (x)h(x)α0 +α1 x= β0 +β2,1 x+β2 xlim B(x)h(x) = lim B(x)h(x) = 0,x→a+0x→b−0где A(x) = α0 + α1 x и B(x) = β0 + β1 x + β2 x2 , α0 , α1 , β0 , β1 , β2 ∈ R.Верно и обратное утверждение.Теорема 48. Весовая функция является решениями уравнения Пирсона,если с точностью до линейной замены переменной это весовая функцияодного из классических ортогональных многочленов.Это утверждение не доказывается в нашем курсе, однако доказательствоможно найти в [8].6.2.3. Дополнительные свойства классических ортогональныхмногочленов126ГЛАВА 6.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫТот факт, что весовая функция классических ортогональных многочленов удовлетворяет уравнению Пирсона, позволяет получать дополнительную информацию о самих многочленах. Приведем без доказательств наиболее важные свойства.1) Классический ортогональный многочлен qn удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядкаB(x)y 00 (x) + (A(x) + B 0 (x))y 0 (x) − n(α1 + (n + 1)β2 )y(x) = 0.(6.2.1)2) Имеет место формула Родри́гаqn (x) =cn dn(h(x)B n (x)),h(x) dxn(6.2.2)где cn — некоторые постоянные, зависящие от стандартизации.3) Для любого фиксированного m ≥ 1 производные классических ортоmqnгональных многочленов ddxm, n ≥ m являются снова классическими ортогональными многочленами на том же промежутке ортогональности (с другимвесом или другой стандартизацией).4) Производящая функция классических ортогональных многочленоввыражается через элементарные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
